Математические методы обработки экспериментальных данных кратко

Обновлено: 02.07.2024

Обработка экспериментальных данных сводится к систематизации всех цифр, классификации и анализу. Особое внимание уделяется математическим методам обработки и анализа опытных данных, например, установлению эмпирических зависимостей, уравнений регрессии и прочее.

Рассмотрим особенности некоторых наиболее широко применяемых математических методов.

Теория случайных ошибок – дает возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеряемой величины и оценить возможность ошибки. В данной теории применяются следующие характеристики измерений:

1. Дисперсия ( ) – характеризует однородность измерений. Чем выше дисперсия, тем больше разброс измерений.

где – дисперсия воспроизводимости результатов;

– текущее значение измеряемой величины в отдельных опытах серии ;

– среднее арифметическое значение измеряемой величины параллельных опытов;

– число опытов в данной серии.

2. Коэффициент вариации – характеризует изменчивость измерений. Чем выше данный коэффициент, тем больше изменчивость измерений относительно средних значений.

где – коэффициент вариации.

3. Доверительный интервал – интервал значений , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью:

4. Доверительная вероятность ( ) – это вероятность (достоверность) того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, т.е. в зону . Эта величина определяется в долях или процентах.

5. Уровень значимости – . Из него следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из измерений, где:

Иначе приходится браковать одно из измерений.

6. Точность выполнения измерений:

где – среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения (средняя ошибка).

В исследованиях часто по заданной точности и доверительной вероятности измерения определяют минимальное количество измерений.

7. Критерий Стьюдента ( ) – применяется при оценке надежности полученных результатов. Табличное значение данного критерия находят в таблицах в соответствии с уровнем значимости и числа степеней свободы ( ).

8. Ошибка полученного среднего результата:

9. Относительная ошибка измерений:

Если относительная ошибка больше 10 %, то полученные результаты анализируют на наличие грубых ошибок при помощи расчетного критерия Стьюдента:

Если , то такое измерение Х_i считается грубой ошибкой, его исключают из ряда измерений, и проводят повторную обработку экспериментальных данных.

Регрессионный анализ – исследование закономерностей связи между явлениями, которые зависят от многих, иногда неизвестных, факторов.

Часто между переменными и существует связь, но не вполне определенная, при которой одному значению соответствует несколько значений . В таких случаях связь называют регрессионной.

В результате проведения регрессионного анализа получают математическую модель процесса, которая описывается уравнениями регрессии.

В конечном итоге полученную модель процесса необходимо подвергнуть проверке на адекватность, т.е. сопоставлению полученной теоретической функции с результатами измерений.

Одним из критериев адекватности является критерий Фишера. Первоначально рассчитывают опытное значение критерия Фишера и сравнивают его с табличным значением , который принимают при требуемой доверительной вероятности (обычно = 0,95). Если – модель адекватна.

Опытное (экспериментальное) значение критерия Фишера вычисляют по формуле:

где – дисперсия адекватности;

– дисперсия воспроизводимости.

Методы графического изображения результатов исследований – применяют в случае, когда результаты измерений, представленные в табличной форме, не позволяют достаточно наглядно охарактеризовать закономерности изучаемых процессов.

Графическое изображение более наглядно, позволяет понять физическую сущность исследуемого процесса, выявить общий характер функциональной зависимости изучаемых переменных величин, установить минимум и максимум функции. Для графического изображения результатов измерений чаще всего применяют систему прямоугольных координат. Прежде, чем строить графическую зависимость, необходимо знать ход (течение) исследуемого процесса.

Точки на графике необходимо соединять плавной линией так, чтобы она по возможности проходила ближе ко всем экспериментальным точкам. Если соединить точки прямыми отрезками, то получим ломаную кривую. Она характеризует изменение функции по данным эксперимента. Обычно функции имеют плавный характер. Резкое искривление графика может объясняться погрешностями измерений (рисунок 5.1 а).

а) плановая зависимость: 1 – кривая по результатам непосредственных измерений; 2 – плавная кривая; б) при наличия скачка; в) при трех переменных: 1 – z₅=const; 2 – z₄=const; 3 – z₃=const; 4 – z₂=const; 5 – z₁=const

Рисунок 5.1 – Графическое изображение функции y=f(x)

Иногда при построении графика одна или две точки резко удаляются от кривой. В таких случаях необходимо проанализировать физическую сущность явления. Если нет основания полагать, что скачок функции существует, то такое резкое отклонение является грубой ошибкой или промахом. Избежать подобной ситуации можно при использовании первоначального анализа результатов измерений на наличие грубых ошибок. Кроме того, необходимо повторить измерения в области этих скачков.

Часто при графическом изображении результатов эксперимента приходится иметь дело с тремя или более переменными, т.е. . В этом случае применяют метод разделения переменных. Одной из величин ( ) в пределах интервала задают несколько последовательных значений. Для двух остальных переменных строят графики при постоянном значении . В результате на одном графике получают семейство кривых (рисунок 5.1 в).

При графическом изображении результатов важную роль играет также выбор координатной сетки, которая бывает равномерная и неравномерная (рисунок 5.2).

а) полулогарифмическая; б) логарифмическая;
в) вероятностная сетка

Рисунок 5.2 – Координатная сетка

Также необходимо помнить, что чем крупнее масштаб, тем выше точность снимаемых значений. Как правило, графики не превышают размеров 20х15 см, что удобно при снятии отсчетов и дает погрешность ± 0,1…0,2 мм.

Кроме графиков экспериментальные данные можно представлять в виде диаграмм, номограмм и др.

Иногда в сочетании с графическим методом используется метод подбора эмпирических формул . Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента и имеют тем большую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента. Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов:

1. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы.

2. Вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствуют принятой формуле.

Подбор формул необходимо начинать с самых простых выражений типа ( , где и – постоянные коэффициенты.

При анализе графического материала необходимо по возможности стремиться к использованию линейной функции. Для этого применяют метод выравнивания, который заключается в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют в виде линейной функции.

Например, если экспериментальный график имеет вид показанный на рисунке 5.3, то необходимо применить формулу ( ). Заменяя ( ) и ( ), получим ( ). При этом кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке.

Рисунок 5.3 – Один из видов эмпирической формулы

Графический метод выравнивания может быть применен в тех случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой.

При подборе эмпирических формул широко используют также полиномы:

где – постоянные коэффициенты.

Для определения коэффициентов кроме графического метода, применяют методы средних и наименьших квадратов.

Читайте также: