Квадратная уравнение определение кратко 9 класс определение кратко и понятно самое важное

Обновлено: 05.07.2024

Предложенный урок разработан на основе системы развивающего обучения. Вашему вниманию на примере введения определения квадратного уравнения наглядно представлена реализация всех восьми основных этапов урока, направленного не только на усвоение нового материала, но и на его понимание и осознание.

После каждого вопроса или задания учителя в скобках представлены правильные ответы и решения, ожидаемые от учащихся.

Математический анализ определения понятия квадратного уравнения.

Определение.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах+вх+с=0, где х - неизвестное, а, в, с - действительные числа, где: а0.

Родовое понятие - уравнение.

Видовые отличия:

1) имеет вид ах+вх+с=0

(х - неизвестное; а, в, с - действительные числа);

Определение имеет конъюнктивную структуру, так как видовые отличия разделены запятой (что равносильно союзу "и").

Смысл определения: знание определения квадратного уравнения необходимо при решении некоторых сюжетных задач, при решении квадратных неравенств и их систем, к тому же многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией, при исследовании которой нужно знание определения квадратного уравнения.

Происхождение: понятие квадратного уравнения связано с понятием квадрата числа и с понятием квадратного корня.

Ход урока

Этап актуализации знаний.

Учитель предлагает классу решить следующую задачу:

Конверт с новогодней открыткой стоит 17 рублей. Конверт дешевле открытки на 5 рублей. Найти стоимость открытки.

Решение:

Пусть х рублей - стоимость открытки, тогда (х-5) рублей - стоимость конверта. Составим и решим уравнение:

Ответ: открытка стоит 11 рублей.

- Как вы решали эту задачу?

(Исходя из условия задачи, мы составили и решили уравнение)

- А что называется уравнением?

(Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой)

- Как называется уравнение, которое вы составили при решении данной задачи?

(Это линейное уравнение).

Этап мотивации учащихся.

Учитель предлагает классу решить еще одну задачу:

Найдите два последовательных натуральных числа, квадрат суммы которых больше суммы их квадратов на 112.

Ребята решают указанную задачу в парах (в группах):

пусть х - одно из искомых натуральных чисел, тогда (х+1) - другое искомое натуральное число. Исходя из условий задачи, запишем уравнение

Преобразовав полученное выражение, ученики придут к уравнению

На этом этапе у детей возникает затруднение, поскольку с уравнениями подобного вида они еще не встречались.

Этап постановки учебной задачи.

- Итак, с подобными уравнениями мы еще не знакомы. Какая же перед нами возникает задача?

(Дать определение этому уравнению и в дальнейшем изучить его свойства).

Этап планирования изучения и преобразования условий поставленной задачи.

- Что значит дать определение понятия?

1) дать название этому объекту (или ввести новый термин),
2) указать ближайшее родовое понятие,
3) выделить его свойства,
4) составить модель понятия).

План записывается на доске.

Этап моделирования.

- Давайте ответим на поставленные вопросы. Как вы предлагаете назвать такое выражение (х + х - 56 = 0)?

(Дети, очевидно смогут определить данное выражение как квадратное уравнение, поскольку они уже знакомы с понятиями уравнения и линейного уравнения. Если же этого не произойдет, то новый термин должен ввести учитель).

- Ну а на второй вопрос мы с вами уже ответили. Какое же у данного объекта (в смысле у квадратного уравнения) ближайшее родовое понятие?

- А теперь попытайтесь в парах составить модель квадратного уравнения. Иными словами: запишите квадратное уравнение в общем виде.

Возможно, ученики предложат следующие модели:

Этап преобразования модели.

Все модели, полученные учениками, выписываются на доску.

- А теперь давайте обсудим результаты вашей работы. Обратимся к (1) модели. Пусть тот, кто составил эту модель, объяснит нам ход своих рассуждений.

(Ученик, скорее всего, сошлется на задачу, которую им предложил учитель на этапе мотивации: эта задача свелась к уравнению вида х + х - 56 = 0).

Тогда учитель запишет на доске: 5х - 4х - 56 = 0.

(Это квадратное уравнение).

- Подходит ли к нему предложенная модель?

Таким образом, ученики приходят к правильной модели (3): ах + вх + с = 0.

- Ответьте на вопрос: чем характеризуется любое уравнение?

(В любом уравнении есть неизвестное число, обозначенное буквой).

- Что в нашей модели играет роль неизвестного?

- А что такое а, в и с?

- Может ли быть такое: а=0?

(Нет, так как уравнение при а=0 не будет квадратным).

- Подведем итог. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

(Квадратным уравнением называется уравнение вида ах + вх + с = 0 , где а, в и с - заданные числа, а0, х - неизвестное)

На доске и у учеников в тетрадях появляются следующие записи:

1. ах + вх + с = 0
УРАВНЕНИЕ	(х - неизвестное)	- КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ.
2. а0

- Теперь давайте запишем тему урока.

Учитель на доске, а ученики в тетрадях записывают тему урока "Понятие квадратного уравнения".

№1. Какие из следующих уравнений являются квадратными:

а) 17 - 4х + 5х = 0,
б) 17х + 24 = 0,
в) 3х + 4 = 0,
г) х - х = 0,
д) 26 - 13х = 0.

№2. Сможете ли вы записать квадратное уравнение, если его коэффициенты таковы:

Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель подводит итоги урока, выслушав ответы учащихся на следующие вопросы.

Однако, интересно, а будет ли выполняться равенство 0 × a = 0 2 , если вместо нуля поставить произвольное число? Например, какое удвоенное число равно своему квадрату, то есть x × 2 = x 2 ? Или утроенное x × 3 = x 2 ?

Поставим задачу в общем виде: найти число, квадрат которого, равен произведению этого числа на конкретное данное число a. Построим модель: xx = ax или x 2 = ax.

Так как мы ищем число, отличное от нуля, то, разделив обе части построенного равенства на x, получим, что x = a.

То есть, если удвоенное число равно своему квадрату, то это число 2, а если утроенное, то 3.

Можно этот факт запомнить — вдруг пригодится.

…Инструктаж судьи на одном из этапов туристической эстафеты:

— Вам необходимо огородить участок прямоугольной формы, площадью 1 ар для стоянки. Дополнительные очки той команде, которая затратит как можно меньше страховочной верёвки. На старт, внимание, начали!

1 ар — это 100 квадратных метров. Участок может иметь размеры 20 × 5 или 25 × 4. Но наша команда знает, что наименьший периметр прямоугольника при его заданной площади будет в том случае, если он — квадрат (теперь и вы это помните!). Отлично! Значит необходимо найти сторону квадрата, если его площадь равна 100. Ну, это легко! Ещё с младших классов, благодаря большой вычислительной практике, помним, что число 10 умноженное на себя даёт сто.

Хорошо, что мы не на уроке математики, а то пришлось бы составлять уравнение x 2 = 100…

Если воспользоваться свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), то можно получить уравнение, чтобы найти длину большей части этого отрезка: x 2 = 1 — x.

…В каком прямоугольном треугольнике стороны выражаются тремя последовательными натуральными числами?

Пусть n длина меньшего катета, тогда второй катет и гипотенуза выражаются как (n +1) и (n +2).

По теореме Пифагора все длины увязываем в уравнение:

n 2 + (n +1) 2 = (n +2) 2 …

Пифагорейцы исследовали фигурные числа, в частности, треугольные (их можно изобразить в виде треугольника).

Треугольное число с номером n можно найти как половину произведения n× (n+1). Для ответа на вопрос, является ли треугольным число 45 и если да, то каков его номер, надо решить уравнение n× (n+1) = 90…

Задумайте два натуральных числа от 1 до 20. Найдите их сумму и произведение. Сообщите мне. Я отгадаю задуманные вами числа. Вам интересно, как я это сделаю.

или Определение квадратного уравнения

Квадратным называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые заданные действительные числа, причём a ≠ 0, а x принимается за неизвестное.

Числа a, b, c называют так:

a — старшим или первым коэффициентом,

b — вторым,

c — свободным или третьим 1 .

5x +2x 2 — 7 = 0,

3 — x +2x 2 = 0,

А вот число 5 в третьем уравнении является свободным коэффициентом, а в первом уравнении — вторым коэффициентом.

Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x. Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.

Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры — дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой — сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое — произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье — произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.

Тогда квадратными будут уравнения:

mx 2 + nx + k = 0 (относительно x, m ≠ 0),

xa 2 + ya + z = 0 (относительно a, x ≠ 0).

Уравнение y 2 + xy + x 2 = 0 можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x, либо только относительно y.

Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.

(Любое ли равенство является уравнением — разговор особый и не в рамках этой книги.)

Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.

Возникает первый вопрос: обязательно трёх?

Другими словами количество слагаемых — это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.

Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида

ax 2 + bx = 0 (c = 0, ab ≠ 0),

ax 2 + c = 0 (b = 0, ac ≠ 0),

ax 2 = 0 (b = c = 0, a ≠ 0).

Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!

Тем не менее, это — квадратные уравнения, потому что их можно записать так

ax 2 + bx +0 = 0,

ax 2 +0 · x + c = 0,

ax 2 +0 · x +0 = 0.

Так как количество слагаемых левой части уравнений ax 2 + bx = 0, ax 2 + c = 0, ax 2 = 0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.

Таким образом, отсутствие в записи конкретного уравнения свободного члена или слагаемого с первой степенью неизвестного не даёт нам права сомневаться в том, что уравнение всё-таки квадратное. Однако и наличие их не является веской причиной отнести уравнение к квадратным. Об этом чуть ниже.

Следующим возникает вопрос, а почему, собственно a ≠ 0? (Конечно, искушённый читатель знает почему.) Можно ли, например, уравнение вида ax 2 + (a — 1) x + a = 0 (или в общем виде f (a) x 2 + g (a) x + h (a) = 0) называть квадратным?

Давайте похулиганим и поставим в качестве первого коэффициента ноль. Тогда уравнение примет вид bx + c = 0.

Но это же линейное уравнение! Оно имеет свою теорию, свои изюминки.

Теперь понятно, что требование a ≠ 0 необходимо для сохранения в квадратном уравнении второй степени — квадрата — неизвестного. Вот этот признак будет определяющим!

В дальнейшем, говоря о квадратном уравнении, мы будем помнить, что старший коэффициент не равен нулю, не оговаривая это каждый раз. Договорились?

Тогда уравнение f (a) x 2 + g (a) x + h (a) = 0 правильно называть уравнением с параметром второй степени, которое при определённых условиях может быть квадратным, а может им и не быть (стать линейным).

Однако не будем торопиться. Наличие второй степени неизвестного — необходимый, но не достаточный признак квадратного уравнения.

Рассмотрим следующие уравнения:

ax 2 + by + c = 0 и ax 2 + bx 3 + c = 0.

Выполним сравнительный анализ этих уравнений с квадратным ax 2 + bx + c = 0 по трём признакам:

— наличие второй степени неизвестной,

— наибольшая степень неизвестной,

Зафиксируем для каждого уравнения эти параметры.

Результаты сравнительного анализа организуем в таблицу.

Итак, что мы имеем?

Наличие второй степени неизвестного является общим для всех трёх уравнений. Но по двум другим признакам сравнения, квадратное уравнение отличается: в квадратном уравнении вторая степень неизвестной является наибольшей и неизвестная только одна.

Именно это и важно!

Собственно говоря, квадратным является целое рациональное (или по-другому — алгебраическое) уравнение второй степени с одним неизвестным 2 .

Процесс ограничения класса алгебраических уравнений можно представить в двух направлениях:

алгебраическое уравнение → первой степени, второй степени и так далее;

алгебраическое уравнение → с одной неизвестной, с двумя неизвестными и так далее.

ax + b = 0 — уравнение первой степени с одной неизвестной;

ax + by + c = 0 — уравнение первой степени с двумя неизвестными;

ax 2 + bx + c = 0 — уравнение второй степени с одной неизвестной;

ax 2 + bxy + cy 2 + kx + ly + m = 0 — уравнение второй степени с двумя неизвестными.

Тогда ближайшими родовыми понятиями для квадратного уравнения будут: алгебраическое уравнение второй степени или алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Выбирая в качестве родового понятия разные объекты, мы сможем получить различные формулировки определения квадратного уравнения. Попробуйте!

Наконец, рассмотрим правую часть равенства в определении квадратного уравнения. Она представляет собой конкретное число — ноль. А может быть что-нибудь другое?

Рассмотрим уравнение ax 2 + bx + c = m, где m число отличное от нуля. Тогда мы, основываясь на равносильности преобразований уравнений 3 , можем записать

ax 2 + bx + c — m = 0

ax 2 + bx + (c — m) = 0

ax 2 + bx + c₁ = 0.

То есть мы, собственно, получили квадратное уравнение.

ax 2 + bx + c = mx + n

ax 2 + bx + c — mx — n = 0

ax 2 + bx — mx + c — n = 0

ax 2 + (b — m) x + (c — n) = 0

ax 2 + b₁ x + c₁ = 0.

Таким образом, уравнения двух приведённых выше видов

ax 2 + bx + c = m и ax 2 + bx + c = mx + n есть смысл назвать сводящимися к квадратным. То есть, если в правой части стоит многочлен с одной (той же, что и в левой части!) неизвестной степени не выше первой, то с помощью соответствующих преобразований квадратное уравнение мы получим без проблем.

Если же в правой части будет стоять многочлен с одной неизвестной второй степени, то квадратное уравнение может и не получиться.

Ситуация первая: ax 2 + bx + c =ay 2 + by + c.

Ситуация вторая. Преобразуйте самостоятельно, например, два следующих уравнения:

ax 2 + bx + c = kx 2 + mx + n

ax 2 + bx + c = ax 2 + mx + n.

Получилось ли у вас квадратное уравнение в первом случае? А во втором? Как будет называться уравнение, которое сведётся не к квадратному?

Определите условие, при котором уравнение такого вида всё-таки будет сводиться к квадратному 4 .

Как ещё один пример рассмотрите уравнение

Таким образом, наличие второй степени неизвестной в записи уравнения не всегда будет означать, что оно квадратное.

Очевидно, что если в правой части стоит многочлен с одной переменной степени выше второй, то квадратного уравнения мы ни при каких условиях не получим.

Итак, есть квадратные уравнения, а есть уравнения, сводящиеся к квадратным.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Определение квадратного уравнения, его виды и способы решения

Определение : квадратным уравнением называется уравнение вида

где х - переменная , а,b и с -некоторые числа, причем, а ≠ 0.

1) Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах 2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах 2 + bх = 0, где b ≠ 0;

2) Квадратное уравнение называют приведённым, если его первый коэффициент равен 1.

Различные способы решения квадратных уравнений :

Но прежде, чем исследовать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

не имеют корней;

имеют ровно один корень;

имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен.

Суть метода состоит в том, что корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношением: х = .

у ₁ = 5 ; у ₂ = 6 вернемся к корням исходного уравнения х ₁ = 5/2, x ₁ = 2,5 и x ₂ = 6/2, x ₂ = 3. Ответ: 2,5; 3.

y 2 – 5y – √12 · √3 = 0;

y 2 – 5y – 6 = 0.

Находим числа, сумма которых равна 5, а произведение равно - 6.

Легко видеть, что это будут числа 6 и - 1. Тогда исходное уравнение будет иметь корни:

В знаменателе уберем иррациональность. Получим:

Ответ: 2√3; -√3/3.

Рассмотренный метод очень эффективен при решении задач , он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений, а не тратить время на вычисление дискриминанта. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

2.3. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0 , получим приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета

1. Если а + b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х ₁ = 1, х ₂ = .

Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

Согласно теореме Виета

2. Если а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

Дано уравнение: 345х 2 – 137х – 208 = 0. Решим данное уравнение, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0 , (345 – 137 – 208 = 0), то

Решим уравнение 2х 2 – 6х + 4 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Так как а + b + с = 0, 2 – 6 + 4 = 0, то

Используя это свойство, решим уравнение 15х 2 – 8х – 7 =0.

Так как a + b + c =0, 15 – 8 - 7 =0, то

Решим уравнение 2 x 2 + 3 x + 1 = 0 также, применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Я вполне допускаю мысль о том, что не всё сразу понятно в этом определении. Не беспокойтесь! Сейчас во всём разберёмся!

Числа и называются коэффициентами квадратного уравнения:

Обратите внимание на то, что число стоит перед , число стоит перед , а число это просто какое-то число, явно не связанное с .

Ограничение для старшего коэффициента

В определении квадратного уравнения есть очень важное ограничение для старшего коэффициента . Ограничение заключается в такой записи . Эта запись говорит о том, что число может принимать любые значения, кроме нуля!

Попробуем разобраться, почему необходимо это ограничение. А что будет, если не учитывать это ограничение? Что тогда произойдёт с уравнением? Давайте снимем ограничение . Ну, не нравится нам это ограничение!

Предположим, что . Что же мы получим в этом случае?
А вот что! Подставим в уравнение вместо число , получим: . Так как , то уравнение примет вид: .

Но, позвольте! Уравнение такого вида является линейным или его ещё можно назвать уравнением первой степени. Ничего общего с квадратным уравнением оно не имеет! А мы-то ведём речь о квадратном уравнении!

Итак, делаем очень важный вывод ограничение крайне необходимо! Потому что если мы не будем его учитывать, то вместо квадратного уравнения получим линейное.

Таким образом, в квадратном уравнении старший коэффициент в ни в коем случае не может быть равным нулю! Никогда. Так как иначе квадратное уравнение превратится в линейное.

Повторим ещё раз определение квадратного уравнения.
«Квадратным уравнением называется уравнение вида , где –переменная, и – некоторые числа, причём, .
Я надеюсь, теперь всем понятен смысл этого определения, включая ограничение!

А вот с числами и всё гораздо проще! Числа и запросто могут быть равными нулю! В этом случае получается неполное квадратное уравнение. Об этом мы говорили в предыдущей статье.

Читайте также:

Квадратная уравнение определение кратко 9 класс определение кратко и понятно самое важное

Оглавление

Ограничение для старшего коэффициента