Колебания связанных систем кратко

Обновлено: 05.07.2024

Определить парциальные и нормальные частоты связанной колебательной системы.

Рассчитать коэффициенты связи и связанности.

Изучить зависимость времени обмена энергий от коэффициента связи в сложной колебательной системе.

Ознакомиться с процессом передачи энергии в зависимости от коэффициента связанности.

Изучить гармонические колебания с изменяющейся амплитудой (биения). Определить период биений и период колебаний.

Определить момент инерции физического маятника.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

1) Два физических маятника на кронштейне, связанные упругой связью ‑ пружиной;

Все радиотехнические приёмные и передающие устройства содержат в качестве своих важнейших элементов связанные колебательные электромагнитные системы, что придает большую значимость изучения таких колебательных систем. На примере механической системы, состоящей из двух связанных между собой маятников, происходит изучение некоторых основных закономерностей связанных колебаний любого типа.

Примеры связанных колебательных систем с двумя степенями свободы.

Рис.1. Двойной физический маятник

Рис.2. Связанные маятники

Рис.4. Колебания балки, подвешенной на двух пружинах

а) индуктивная связь

б) емкостная связь

в) гальваническая связь

Рис.5. Колебания в системе, состоящей из связанных

Закономерности СКС будем рассматривать на примере двух связанных маятников (рис. 2).

Рассматриваемая колебательная система, как система с двумя степенями свободы, разбивается на две парциальные системы (ПС), характеризующиеся парциальными частотами n₁ и n₂ (в этом случае парциальной системой является каждый из маятников, при неподвижном втором (рис.6)). Парциальная система характеризуется одной степенью свободы.

Парциальные частоты зависят от жесткости пружины, определяются длиной маятника и регулируются изменением высоты подвески грузов.

В линейных системах связанные колебания могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний, число которых равно числу парциальных систем. Нормальными колебаниями называются свободные колебания линейных колебательных систем. В колебательных системах с конечным числом степеней свободы число различных возможных нормальных колебаний равно числу степеней свободы. На рис.7 показаны нормальные колебания связанных маятников.

Так если изучаемая колебательная система характеризуется числом степеней свободы i = 2, то и нормальных частот будет две (₁ и ₂). Если дать одинаковые начальные отклонения маятников в одну сторону, то каждый из маятников будет совершать гармонические колебания с нормальной частотой ₁. Если же в начальный момент маятники отклонены на одинаковый угол в разные стороны, то колебания будут гармоническими, частота этих колебаний и является второй нормальной частотой ₂. Существование нормальных частот ‑ одно из замечательных свойств СКС. Все возможные колебания СКС являются суммой нормальных колебаний, соответственно распределённых. Например, все движения СКС двух маятников может быть представлено в виде

где А₁, А₂, ₁, ₂ ‑ амплитуды и фазы, определяемые из начальных условий; и ‑ коэффициенты распределения, которые показывают относительную силу колебаний с частотами ₁ и ₂ во второй координате или в каком отношении находятся амплитуды одного и того же колебания в одной и другой координате.

В физических и радиотехнических задачах приходится решать, при каких условиях можно пренебречь связью, и решать вопрос насколько существенно сказывается на процессах в данной парциальной системе наличие второй парциальной системы и процессы, происходящие в ней. Характер взаимодействия между парциальными системами, а, следовательно, каждой из них определяется двумя факторами:

величиной коэффициента связи , зависящего от свойств системы;

соотношением парциальных частот , что может быть отражено путем введения коэффициента связанности .

Коэффициент связи  для равных, парциальных частот (n₁=n₂), может быть определен по формуле

(1)

или , (1’)

где  = ₂ ‑ ₁, а . Коэффициент связи можно изменить, передвигая пружину.

. (2)

Если оба маятника расстроены (n₁n₂) и слабо связаны, то каждый сохраняет приблизительно свою частоту. Если мы отклоним и приведём в колебание первый маятник, то второй почти не будет колебаться. А если и будет второй маятник совершать колебания, то амплитуда не будет достигать максимального значения (рис.8). И чем большее различие парциальных частот, тем меньшей энергией обмениваются системы при взаимодействии.

Иное дело при равенстве парциальных частот. Коэффициент связанности в этом случае равен

, (3)

где . Впервые понятие связанности и его числовую характеристику ‑ коэффициент связанности ‑ ввёл учёный Л.И. Мандельштам.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Если отклонить один из маятников, а второй задержать на месте, а затем одновременно отпустить оба маятника, то в результате действия пружины второй маятник постепенно начнет раскачиваться. Так как энергия, сообщенная первому маятнику, будет передаваться отчасти второму, то амплитуда колебаний первого маятника будет постепенно убывать, в то время как амплитуда второго маятника ‑ нарастать. Всё это будет продолжаться до тех пор, пока первый маятник не остановится, а второй (если потери на трение малы) не будет качаться почти с такой же амплитудой, как и первый в самом начале (рис.9).

Затем маятники меняются ролями: второй раскачивает первый, и процесс полностью повторяется, ибо маятники одинаковы. Маятники будут совершать то нарастающие, то убывающие по амплитуде колебания и через время _обм будут обмениваться энергией. Время обмена энергией определяется выражением

, (4)

где _обм ‑ время обмена энергией; _1, ₂ ‑собственные частоты колебательной системы. Такие колебания называются биениями, а время, равное 2_обм ‑ периодом биений

. (5)

Уравнение биений имеет вид

(6)

Разность частот (₂ ‑ ₁) существенно меньше их суммы, поэтому функции и меняются со временем гораздо медленнее, чем функции и .

Вследствие этого колебания маятников происходят по гармоническому закону, но амплитуда колебаний не постоянна, а медленно меняется с течением времени по гармоническому закону. Таким образом, колебания маятников при равенстве парциальных частот носят характер биений, при этом периодически происходит перекачка энергии от одного маятника к другому. В полной перекачке энергии и заключён физический смысл понятия сильной связанности системы.

При очень малой связи время обмена состояния становится очень большим. Время обмена состояния _обм должно быть меньше, чем время затухания первой парциальной системы _1затух_, иначе колебания первого маятника затухнут раньше, чем он успеет сколько-нибудь заметно раскачать второй маятник, т.е. должно быть _1затух >> _обм. Время полной перекачки энергии от одного маятника к другому зависит от силы связи и при n₁=n₂=n это время можно определить по формуле

. (7)

Для выполнения последнего необходимо, чтобы коэффициент связи не был слишком мал. С увеличением коэффициента связи время обмена уменьшается.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Момент инерции каждого маятника может изменяться перемещением призм О₁ и О₂ или грузов-чечевиц. Упругая связь может изменяться передвижением по стержням маятников зажимов пружин С₁ и С₂.

Установить зажимы пружин, чечевиц и призм маятников одинаковым образом, закрепить их, снять пружину.

Передвижением грузов или призм добиться одинаковости периодов собственных колебаний маятников и найти их собственные частоты .

;

, (8)

где N ‑ число колебаний физического маятника; t ‑ время N колебаний.

Изменяя соотношение между парциальными частотами, проследить характер взаимодействия между системами:

А. СИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ.

а) Надеть пружину и, удерживая неподвижно в вертикальном положении второй маятник, определить парциальную частоту n₁ первого маятника, давая ему начальное отклонение 5-7 о от положения равновесия (рис.6а).

;

, (10)

где t₁ ‑ время N₁ колебаний.

Аналогично определить парциальную частоту n₂ (придерживая первый маятник, второй отклоняем на 5-7 о (рис.6 б).

. (11)

небольшой грузик. Если один из двух указанных маятников мы выведем из положения равновесия и дадим ему возможность колебаться, то и другой маятник вскоре начнет колебаться.

Рис. 144. Связанные маятники.

Если, не будучи связаны, системы имеют собственные частоты то после установления связи первая система будет испытывать колебательное движение, представляющее собой результат сложения двух колебаний с частотами и аналогичное движение, представляющее собой результат сложения двух колебаний с теми же частотами будет испытывать и вторая система. Эти общие для обеих связанных систем частоты колебаний называют нормальными частотами связанных колебаний. Меньшая из частот связанных колебаний всегда меньше обеих собственных частот; большая из частот связанных колебаний всегда больше обеих собственных частот. Таким образом,

(прямые скобки здесь означают, что берутся арифметические, а не алгебраические значения разности частот).

Так, например, в случае маятников, изображенных на рис. 144, если гири и длины нитей этих маятников взять одинаковыми (чтобы их собственные частоты были равны), можно наблюдать, как качания первого маятника, возбудив качания второго маятника, начинают замирать, причем первый маятник останавливается, когда амплитуда второго достигает максимума; после этого второй маятник начинает раскачивать первый и т. д.

Рис. 145. График колебаний двух связанных систем с одинаковыми собственными частотами.

Если для этого опыта взять гири массой по и подвесить их на нитях длиной по на расстоянии друг от друга и связать их нитью в с грузиком в посредине, то первый маятник отдаст всю энергию второму маятнику и сам остановится приблизительно через 10 качаний, после чего через новых 10 качаний второй маятник передаст всю энергию первому маятнику и т. д. Если заменить грузик, связывающий маятники, гирькой в два раза большей массы (100 г.), то полная передача энергии будет осуществляться через каждые пять качаний.

свободные колебания связанных систем, состоящих из взаимодействующих одиночных (парциальных) колебат. систем. С. к. имеют сложный вид вследствие того, что колебания в одной парциальной системе влияют через связь (в общем случае диссипативную и нелинейную) на колебания в другой. В линейных системах С. к. могут быть представлены в виде суперпозиции нормальных колебаний, число к-рых равно числу парциальных систем, но частоты не совпадают с собственными частотами уединённых парциальных систем. С. к., являющиеся суперпозицией двух или неск. нормальных колебаний с близкими частотами, воспринимаются как биения.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

- свободные колебания связанных систем, состоящих из взаимодействующих одиночных (парциальных) колебат. систем.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Полезное

Смотреть что такое "СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ" в других словарях:

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ — собственные колебания в сложной колебательной системе с 2 и более степенями свободы, которую можно рассматривать как совокупность нескольких связанных систем с 1 степенью свободы каждая (напр., 2 связанных колебательных контура) … Большой Энциклопедический словарь

связанные колебания — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN related waveforms … Справочник технического переводчика

связанные колебания — собственно колебания в сложной колебательной системе с двумя и более степенями свободы, которую можно рассматривать как совокупность нескольких систем с одной степенью свободы каждая, взаимодействующих между собой. * * * СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ… … Энциклопедический словарь

связанные колебания — susietieji svyravimai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. coupled oscillations vok. gekoppelte Schwingungen, f rus. связанные колебания, n pranc. oscillations accouplées, f … Fizikos terminų žodynas

связанные колебания — susietieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. coupled oscillations vok. gekoppelte Schwingungen, f rus. связанные колебания, n pranc. oscillations accouplées, f … Fizikos terminų žodynas

Связанные колебания — Собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой простейших (парциальных) систем (см. Связанные системы.). С. к. имеют сложный вид вследствие того, что колебания в одной парциальной системе через связь влияют на … Большая советская энциклопедия

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ — собственные колебания в сложной колебат. системе с двумя и более степенями свободы, к рую можно рассматривать как совокупность неск. связанных, т. е. взаимодействующих друг с другом, систем с одной степенью свободы каждая (напр., 2 колебат.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ — собств. колебания в сложной колебат. системе с двумя и более степенями свободы, к руго можно рассматривать как совокупность неск. систем с одной степенью свободы каждая, взаимодействующих между собой … Естествознание. Энциклопедический словарь

связанные колебания координат системы — связанные колебания Колебания обобщенных координат системы, когда колебания одних координат обязательно сопровождаются колебаниями других координат. [ГОСТ 24346 80] Тематики вибрация Синонимы связанные колебания EN coupled oscillations DE… … Справочник технического переводчика

Связанные колебания координат системы — 134. Связанные колебания координат системы Связанные колебания Колебания обобщенных координат системы, когда колебания одних координат обязательно сопровождаются колебаниями других координат Источник: ГОСТ 24346 80: Вибрация. Термины и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Основным является сессионный cookie, обычно называемый MoodleSession. Вы должны разрешить использование этого файла cookie в своем браузере, чтобы обеспечить непрерывность и оставаться в системе при просмотре сайта. Когда вы выходите из системы или закрываете браузер, этот файл cookie уничтожается (в вашем браузере и на сервере).

Другой файл cookie предназначен исключительно для удобства, его обычно называют MOODLEID или аналогичным. Он просто запоминает ваше имя пользователя в браузере. Это означает, что когда вы возвращаетесь на этот сайт, поле имени пользователя на странице входа в систему уже заполнено для вас. Отказ от этого файла cookie безопасен - вам нужно будет просто вводить свое имя пользователя при каждом входе в систему.

Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:

Если одной из систем сообщили энергию и она совершает колебательное движение, то постепенно она передает свою энергию второй системе. Скорость передачи энергии зависит от того, насколько сильна связь, т. е. от степени связи χ .

Если у обеих систем одинаковая собственная частота, то после того, как система 1 придет в состояние покоя (ее энергия обратится в нуль), изменится направление потока энергии. Обе системы будут совершать биения, сдвинутые по времени на Т_б/2.

Биения возникают в результате сложения собственных (нормальных) колебаний обеих систем.

Имеются два возможных типа колебаний связанных систем, при которых устанавливается обмен энергией:

₁

₀

D	жесткость системы 1, равная жесткости системы 2,	Ньютон / метр
D_св	дополнительная жесткость, обусловленная связью,	Ньютон / метр
m	масса системы 1, равная массе системы 2,	кг

то для частот f₁ и f₂ собственных колебаний получаем

Жесткости систем или периоды Т = 1/f собственных колебаний определяют степень связи.

Выражения (1), (2) и (3) справедливы только для случая, когда массы, собственные частоты и жесткости систем одинаковы.

Читайте также: