История развития степеней кратко

Обновлено: 25.06.2024

История степеней. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона. В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

История возникновения степеней Управление Образования Городской округ "Охинский« Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 2017 г.

Содержание Введение История возникновения степени числа Так что же такое степень Где в жизни применяется степень числа Приложение Список литературы

Введение Дорогой друг! Сегодня мы приоткроем тебе не одну тайну. Цель: Ты узнаешь что такое степень. Актуальность: где применяется. Задачи: когда она появилась.

Простейшие математические выражения были известны людям еще в глубокой древности. В то же время постоянно шло совершенствование как самих операций, так и их записи на том или ином носителе. В частности, в Древнем Египте обратили внимание на то, что когда происходит умножение какого-либо числа на одно и то же число много раз, то на это тратится огромное количество ненужных усилий. Древняя тайна (История возникновения степени числа)

Более того, такая операция вела к значительным финансовым затратам: согласно действовавшим тогда установкам на оформление любых записей, каждой действие с числом должно было подробно описываться. Если вспомнить, что даже самый простейший папирус стоил весьма внушительную сумму денег, то не стоит удивляться тем усилиям, которые египтяне приложили, чтобы найти выход из этой ситуации.

В конце XVI-начале XVII века нидерландский математик Симон Стивен обозначал неизвестную величину кружком ◯, а внутри его указывал показатель степени. Например: ➀➁➂ обозначали x, x², x³.

Впоследствии известный французский математик Рене Декарт усовершенствовал написание этого выражения, предложив при обозначении степени чисел просто приписывать ее в правом верхнем углу над основным числом. Например: а2,а 3. Этим обозначением мы пользуемся и до сих пор.

Завершающим аккордом в письменном оформлении степени чисел стала деятельность небезызвестного Никола Шюке, который смело ввел в научный оборот сначала отрицательную, а затем и нулевую степень. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента. Он сделал также проницательное замечание, что если к верхней строке добавить отрицательное число -n (Шюке обозначал его: 0-n ), то в нижней ему будет соответствовать дробь 1/an

Другими словами, степень числа- это действительное число, которое показывает сколько раз число надо умножить само на себя!

Где в жизни применяется степень числа? Степень числа применяется для записи больших чисел например 1000000000000=1012 Степени нужны при подсчете, сколько вам потребуется линолеума на пол. Когда считают площадь квадратной комнаты или объем кубической. Когда считают площадь квадратной плитки, когда считают площадь круга и объем бочки.

Приложение Я провел исследовательскую работу. В процессе своих расчетов я определил, что в нашей школе 39 кабинетов по образовательным предметам и 9 кабинетов в младшей школе. Площадь одного кабинета, в среднем 55м2, 53м2,56м2 и 58м2. Из них 15 кабинетов – 56м2;5 кабинетов -58м2; 13 кабинетов -53м2 и 7 кабинетов- 55м2. 9 кабинетов младших классов из них 3 кабинета- 56м2 и 6 кабинетов- 58м2. Я решил подсчитать сколько квадратных метров линолеума ушло на кабинеты!?

Для этого я умножил количество кабинетов на их площадь (м2): 15каб*56м2=840м2 5 каб *58м2=290м2 13каб *53м2=689м2 7 каб *55м2=385м2 3каб *56м2=168м2 6 каб *58м2=348м2 Затем я сложил все полученные результаты: 840м2+290м2+689м2+385м2+168м2+348м2 Чтобы положить линолеум во всех этих кабинетах надо закупить 2720м2

Вот в простой жизни, мы, применяем степень! Знание математики в той или иной степени помогает нам в жизни! Учите математику, друзья!

Краткое описание документа:

Презентация не тему "История возникновения степеней".

Презентация состоит из

2. Содержание (введение, история возникновения степени числа, что такое степень числа, где в жизни применяется степень числа, список литературы)

3. Цель, актуальность, задачи

4.. Приложение - исследовательская работа.

Подготовил презентацию ученик 5В класса.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 922 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Педагогика дополнительного образования детей и взрослых

Сейчас обучается 2330 человек из 83 регионов

Курс повышения квалификации

Педагог дополнительного образования: современные подходы к профессиональной деятельности

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 611 578 материалов в базе

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

18.02.2018 4490
PPTX 10.3 мбайт
73 скачивания
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Брызгалова Даната Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

ГИА для школьников, находящихся за рубежом, может стать дистанционным

Время чтения: 1 минута

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Новые курсы: преподавание блогинга и архитектуры, подготовка аспирантов и другие

Время чтения: 16 минут

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-тренинг: нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему История возникновения степени числа (7 класс). Презентация на заданную тему содержит 6 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

История возникновения степени числа Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

Никола Шюке Никола Шюке, француз, бакалавр медицины. Автор рукописного трактата по арифметике и алгебре "Наука о числах, в котором он смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента. Символика Шюке приближается к современной.

Из практики решения все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Вместо нашего знака 2 он писал , вместо он писал. Орем словесно формулирует правила действий со степенями, например (в современной записи):

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно описал 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени·, а именно:

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого – при введении понятия умножения на дробь и т. п.

2. Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начиная с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений. Степенной функцией называют функцию вида

, где а - постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями а и вместо равенства запишем: где r -рациональное число. Для r=0 и r=1 по определению соответственно имеем: y=1, y=x.

Графиком первой из этих функций на ПЛОСКОСТИ является прямая, параллельная оси Ох, а второй - биссектриса l-го и 3-го координатных углов.

При r = 2 графиком функций является парабола у = х2. Декарт, который первое неизвестное обозначал через z, второе -через у, третье - через х, записывал уравнение параболы так: (z - абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

Декарт с помощью подстановки

Получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

, изображающее окружность, расположенную в одной плоскости(zx) с параболой. Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (x), разбивает уравнение на два уравнения и , каждое из которых представляет собой определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения.

Декарт, как и Ферма, часто пользовался параболой и возможности окружностью для построения корней уравнений, так как старался прибегать к вспомогательным кривым более низкого порядка. Ньютон же, наоборот, руководствовался в таких случаях не степенью уравнения вспомогательной кривой, а легкостью ее вычерчивания. При графическом решении, например, уравнений 4-й степени предпочитал не параболу, а эллипс.

Не только при r= 2, вообще при r = 2п (т. е. r = 2, 4, 6,. ) график степенной функции есть парабола . Функция монотонно возрастает на полусегментеи убывает на полуинтервале ]. В интервале (0; 1) парабола у = х2 лежит ниже биссектрисы у=x. Парабола y= х2 расположена

При r=3 соответствующее уравнение изображает так называемую кубическую параболу. Эту кривую французский математик, отец начертательной геометрии, Г. Монж (1746-1818) использовал для построения действительных корней кубических уравнений. График этой функции, как и вообще степенной функции с натуральным нечетным показателем (у = х2п+1), говорит о том ,что функция монотонно возрастает на интервале (), т. е. при всех значениях х: при положительных значениях х значения функции положительно, а при отрицательных-отрицательны: кубическая парабола, как у=х2 , касается оси Ох. Кубическая парабола применяется в технике, например на железнодорожных линиях, как вставка, смягчающая крутой поворот от прямолинейного к круговому участку пути. Ньютон обобщил понятие параболы, назвав параболическими кривыми все линии, изображаемые уравнением

Ныне термин параболические кривые применяют обычно для линий изображаемых уравнением

Где с - положительное вещественное число, т - положительное рациональное. При m 0, x- любое действительное число.

Еще в 1679 г. Лейбниц в одном из своих писем к голландскому физику и математику Христиану Гюйгенсу рассматривал уравнения вида и т. п.

Одним из замечательных достижений Эйлера было установление связи между показательной и тригонометрической функциями.

Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений. Известно, например, что при распадении радиоактивного вещества его масса т уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз. Если обозначить через to (период полураспада) промежуток времени, необходимый для того, чтобы от первоначальной массы вещества осталась половина ее, то оставшаяся через t лет масса выразится так:

, т. е. радиоактивный' распад (изменение количества вещества в зависимости от времени) совершается по закону, выражаемому показательной функцией. Если, взять, к примеру, уран-238, то для него лет. Поскольку возраст Земли начисляется примерно в 5-7 млрд. лет, то можно утверждать, что в наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.

Другим примером может служить размножение живых организмов - явление, при описании которого прибегают к показательной функции.

Степень с натуральным показателем.

Пусть а – произвольное действительное число, а n – натуральное число, больше или равно 2. Тогда n-я степень числа а есть произведение n чисел ,каждое из которых равно а:

Число а в выражении называется основанием, а n – показателем степени. Первой степенью действительного числа а называется само это число а. По аналогии с n–й степенью числа а первую степень этого числа следовало бы записывать как

, но поскольку это выражение равно а, то единицу в записи обычно опускают и пишут просто а.

Степени с натуральными показателями обладают рядом важных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Теорема 1. Степень положительного числа с любым натуральным показателем положительна.

Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.

Действительно, если а>0, то как произведение n положительных чисел положительно. Если а n

Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где (a, это все равно, что доказать формулу

Если m>n, то число m-n будет натуральным; следовательно, по теореме 1.

Теорема 2. доказана.

Следует обратить внимание на то, что формула

(a доказана нами лишь в предположении, что m>n. Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались

И мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению

Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основания степени прежним, то есть.

Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа.

Что и требовалось доказать.

Формулу иногда полезнее читать справа налево:

Определить x из уравнений:

Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше то основание, которое больше. Другими словами, если a>b>0,

То при любом натуральным n

Пример. Какое число больше: ?

Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

Так как 9>8, то. Следовательно,

Теорема 2. Если 0

Доказательство. Пусть m>n. Тогда m=n+k, где k- некоторое натуральное числа. Поэтому,

Если 0>a>1, то. Следовательно,

1. Данные выражения представьте в виде степеней с одинаковыми показателями, и сравнить их по величине:

2. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями и сравнить их по величине:

3. Что больше: или ?

Свойства степеней с целыми показателями

Свойства степеней с натуральными показателями:

Эти свойства оказываются справедливыми и для степеней с любыми целыми (положительными, отрицательными и нулевыми)показателями, если только числа a и b не равны нулю.

Докажем, например, что при a

Где, m и n - любые целые числа.

Поскольку для натуральных чисел m и n формула уже доказана, то нам остается рассмотреть 3 случая:

1) числа m и n отрицательны;

2) одно из чисел m и n положительно, а другое отрицательно;

3) хотя бы одно из чисел m и n равно нулю.

Случай 1. Пусть m и n – отрицательные числа. Тогда по определению степени с отрицательным показателем

Так как m и n отрицательны, то - m и –n положительны.

Значит,. Используя определения степени с отрицательным показателем запишем:

Случай 2. Один из показателей m и n положителен, а другой – отрицателен. Пусть, например, m>0, а n b>0 и n отрицательно, то, то есть из двух степеней с положительными основаниями и одинаковыми отрицательными показателями больше та, основание которой меньше.

Если а>1, то из двух степеней и больше та, показатель которой больше. Под m и n здесь подразумеваются любые целые числа, а не только натуральные.

2. При каком показателе n степень не зависит от основания a?

Извлечения корня из степени. Возведении корня в степень. Извлечение корня из корня.

Пусть а – произвольное положительное число, а m и n- натуральные числа, причем m делится без остатка на n. Тогда

Другими словами, верна следующая теорема.

Теорема 1. Чтобы извлечь корень из степени положительного числа, показатель которой делится нацело на показатель корня, достаточно показатель подкоренного выражения разделить на показатель корня, оставив основание степени прежним.

Доказательство. На основании правила возведения степени в степень имеем:

Но это и означает, что.

Теорема 2. Чтобы корень из положительного числа возвести в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное число, оставив показатель корня без изменения, то есть при a>0.

Если n – нечетное число, то формула верна и для a 0 и m, n, k – натуральные числа, то

2) если a>0 и k- общий делитель чисел m и n, то

Доказать формулу - это значит, что

По правилу возведения корня в степень

Показатель mkn степени делится нацело на показатель nk корня.

Следовательно, по теореме 1. Поэтому.

Это и означает, что.

Формула легко вытекает из.

Теорема 4. Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели этих корней, не изменяя подкоренного числа, то есть

Доказательство. По теореме 2

Величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного числа разделить на их общий множитель; поэтому Итак,.

Но по определению корня это и означает, что.

Общие свойства степенных функций.

Степенными функциями называются функции вида у =, где а и r - заданные действительные числа. Согласно этому определению показатель степени r может быть как рациональным, так и иррациональным. Но поскольку мы еще не знаем, что такое степень с иррациональным показателем, то пока ограничимся лишь случаем, когда число r рационально. Кроме того, мы будем считать, что а = 1. После того как функция у = будет изучена, исследование функции у= не представит особых затруднений.

Поскольку степеньс рациональным показателем r определена, вообще говоря, лишь для положительных значений Х, то и функцию у = мы будем рассматривать только для положительных значений аргумента х.

Степенные функции обладают следующим основными свойствами.

Свойство 1. При положительных значениях аргументах степенная функция у= принимает только положительные значения.

Действительно, если r =0, то =1>0. Если, где m и n - натуральные числа, то. Но x>0; значит, также больше нуля, потому и >0. Если , где m и n – натуральные числа, то.

Но следовательно, и

На рисунках 102-104 вы видите графики степенных функций у= при различных значениях r. Каждая из приведенных кривых расположена выше оси x. это и служит графическим подтверждением 1-го свойства степенной функции.

Имеем: : Так как , причем оба эти числа положительны. Поэтому и , то есть , или.

Так как , то по 2-му свойству степенной функции

Или , что и требовалось доказать.

Свойство 4. Если число r положительно, то при неограниченном приближении x к 0 соответствующие значения функции у= неограниченного приближаются к 0. При неограниченном возрастании x соответствующие значения функции у= неограниченно возрастают.

Если число r отрицательно, то при неограниченном приближении x к нулю соответствующие значения функции у= неограниченно возрастают; при неограниченном росте x соответствующие значения функции у= неограниченно приближаются к нулю.

Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1: а)б)в)

Вычислите: а) б) в) г)

Упростите выражение: а) б)

Представьте выражение в виде степени: а)

Сократите дробь: а)б) в)г) д) е)

Упростите выражение и найдите его значение: а) б)

Эта работа основана на реальных исторических фактах, которые подразумевают под собой историю развития степени. Через этот проект можно заметить развитие истории этих действий и увидеть научные изменения, которые были образованы много лет тому назад, до наших дней.

Благодаря этому проекту, учащиеся смогут развить умственный кругозор. Исторические сведения повысят интерес школьников к изучению математике. На уроках математике, на открытых уроках и различных мероприятиях просвещающих учащихся поможет распознать истинную историю развития степени.

Читайте также: