Характеристика десятичной системы счисления в доу
Обновлено: 04.07.2024
Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы, поэтому ее долго называли арабской.
В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.
5 •10 3 + 4 • 10 2 + 5 • 10 + 7.
Десятичной записью числа х называется его представление в виде:
х = ап • 10 п + ап-1 • 10 п-1 +. + а1 • 10 + а0, где ап, ап-1. а1, a0 принимают значения:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и ап¹0.
Краткая запись числа выглядит так: ап ап-1. а1 a0.
Числа 1,10,10 2 ,10 3 . 10 n называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.
10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.
10 – основание системы счисления, поэтому она называется десятичной.
Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три разряда - классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.
Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.
Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать с дошкольниками. Например:
Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите примеры деятельности дошкольников в соответствии с этапами развития числа:
а) непосредственное сравнение множеств,
б) опосредованное сравнение множеств,
в) сравнение множеств на основе счета,
г) запись чисел и действий.
2. Придумайте правило счета для дошкольников в целях предотвращения ошибок.
3. Сформулируйте вопросы дошкольникам с целью уточнения их представлений о количественном и порядковом значении числа.
4. Придумайте диалог с дошкольником, показывающий происхожде-ние названия чисел второго десятка и круглых чисел в пределах 100.
Лекция 6
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. Понятие текстовой задачи.
2. Способы решения задачи.
3. Основные этапы решения задачи.
4. Моделирование в процессе решения задачи.
Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы, поэтому ее долго называли арабской.
В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.
5 •10 3 + 4 • 10 2 + 5 • 10 + 7.
Десятичной записью числа х называется его представление в виде:
х = ап • 10 п + ап-1 • 10 п-1 +. + а1 • 10 + а0, где ап, ап-1. а1, a0 принимают значения:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и ап¹0.
Краткая запись числа выглядит так: ап ап-1. а1 a0.
Числа 1,10,10 2 ,10 3 . 10 n называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.
10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.
10 – основание системы счисления, поэтому она называется десятичной.
Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три разряда - классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.
Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.
Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать с дошкольниками. Например:
Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите примеры деятельности дошкольников в соответствии с этапами развития числа:
а) непосредственное сравнение множеств,
б) опосредованное сравнение множеств,
в) сравнение множеств на основе счета,
г) запись чисел и действий.
2. Придумайте правило счета для дошкольников в целях предотвращения ошибок.
3. Сформулируйте вопросы дошкольникам с целью уточнения их представлений о количественном и порядковом значении числа.
4. Придумайте диалог с дошкольником, показывающий происхожде-ние названия чисел второго десятка и круглых чисел в пределах 100.
Анализируя системы записи чисел (нумерации), которые имели место в истории культур разных народов, можно сделать вывод о том, что все письменные системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.
К непозиционным системам счисления относятся: иероглифическая, алфавитная, римская и некоторые другие системы. Непозиционная система счисления — это такая система записи чисел, когда содержание каждого символа не зависит от места, на котором он написан. Эти символы являются как бы узловыми числами, а алгорифмические числа комбинируются из этих символов. Например, число 33 в непозиционной, римской нумерации записывается так: XXXIII. Здесь знаки X (десять) и I (единица) используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую величину: X — десять единиц, I — единицу, независимо от места, на котором эти знаки стоят в ряду других.
В отличие от первой в позиционных системах каждый знак имеет разное значение в зависимости от того, на каком месте в записи числа он стоит. Например, в числе 222 цифра 2 повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы, вторая — два десятка, а третья — две сотни. В этом случае мы имеем в виду десятичную систему счисления. Наряду с десятичной системой счисления в истории развития математики имели место двоичная, пятеричная, двенадцате-ричная и др.
Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Важным преимуществом позиционных систем является простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.
Появление позиционных систем обозначения чисел было одной из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло не случайно. Его следует рассматривать как закономерную ступень в культурном развитии народов. Подтверждением этого является самостоятельное возникновение позиционных систем у разных народов: у вавилонян — более чем за 2 тыс. лет до н. э.; у племен майя (Центральная Америка) — в начале новой эры; у индусов — в IV—VI вв. н. э.
Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.
Система счисления – это совокупность приемов и правил записи чисел с помощью цифр
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 * 102 + 5 * 101 + 7 * 100 + 7 * 10-1 = 757,7.
н епозиционные системы счисления
В непозиционных системах все цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
Основание системы счисления - количество символов, используемых для представления числа в данной системе счисления.
Например: в 10-тичной системе счисления основание – 10 (для записи чисел используются цифры от 0 до 9), в 2-ичной системе счисления основание – 2 (для записи чисел используются 2 цифры 0 и 1) Двоичная СС содержит в себе две цифры – 0 и 1 (0 - отсутствие электрического сигнала; 1 - наличие сигнала).
Двоичная система счисления
- В двоичнойсистемесчисления всего две цифры, называемые двоичными ( binary digits ). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит , ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки
Восьмеричная
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ш естнадцатеричная
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), C(12), D(13), E(14), F(15 )
К достоинству двоичной системы счисления относится – простота совершаемых операций, возможность автоматической обработки информации с использованием двух состояний элементов ПК и операцию сдвиг
- Переведите 101011012 в десятичную систему счисления
Решение: 10101101 2 = 1 * 2 7 + 0 * 2 6 + 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 173 10
Система счисления — это способ записи (представление) чисел с помощью определённого набора письменных знаков.
Десятичная система счисления — это позиционная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Знаки, употребляемые для записи чисел, называются цифрами.
Название системы счисления зависит от её основания. Основание системы счисления — это количество цифр, которые используются в данной системе счисления для записи чисел. Так как в системе, которую мы рассматриваем, 10 цифр, то она имеет основание 10, поэтому данная система счисления называется десятичной .
В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от её позиции в записи числа. Для примера возьмём число 777, которое состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает семь сотен, вторая — семь десятков, а третья — семь единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции в записи числа, десятичную систему счисления также называют позиционной.
Позиционной называют такую систему счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в записи числа.
Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными, записанные с помощью двух — двузначными, так же по количеству цифр в числе дают названия и другим числам:
Однозначные числа: 1, 2, 4.
Двузначные числа: 14, 77, 92.
Трёхзначные числа: 122, 345.
Шестизначные числа: 537633, 987345.
Двузначные, трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. числа называют многозначными.
Следует помнить, что цифра и число не одно и то же.
Цифра – это только письменный знак, используемый для записи числа. Число может быть обозначено не одной, а несколькими цифрами (например, 75) или может быть выражено словами (семьдесят пять).
Все вычисления в математике выполняются в позиционной десятичной системе счисления. Кратко об особенностях десятичной системы можно прочитать в данной статье.
Что такое десятичная система счисления
В десятичной системе для представления чисел использует десять арабских цифр от 0 до 9, соответственно основанием десятичной системы счисления является число 10.
Историки, изучающие культуру древнего востока, в Индии обнаружили плиту с начертанием числа в позиционной десятичной системе. Возраст найденного артефакта составляет порядка 1,5 тысяч лет. Здесь же в древней Индии впервые используется ноль, как самостоятельная цифра.
Рис. 1. Индийские цифры, эволюция индийских цифр.
Развернутая форма представления десятичного числа
Важным понятием в позиционном подходе представления чисел является понятие разряда. Различают разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Любое десятичное число можно представить, в так называемом развернутом виде, когда число записывается в виде суммы разрядных слагаемых, представленных в виде произведения значащей цифры разряда и числа десять в степени соответствующего разряда.
Например, десятичное число 46758 в развернутом виде будет выглядеть следующим образом:
46758 = 4 * 10^4 + 6 * 10^3 + 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 8 * 10^0
46758 = 4 * 10000 + 6 * 1000 + 7 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1
Прямой перевод числа из десятичной системы
Перевод целого десятичного числа в какую-либо систему счисления выполняется путем поочередного деления самого числового значения, а затем полученных частных на основание системы счисления, в которую производится перевод.
Например, для перевода десятичного числа в двоичную систему выполняют деление на два, в восьмеричную – на восемь, в шестнадцатеричную – на шестнадцать. В принципе, десятичное число можно перевести и в пятеричную и семеричную системы, выполнив деление на пять или семь.
Выполнив первый шаг деления на, например, два, остаток запоминают, а полученное частное снова делят на основание. Эту операцию выполняют до тех пор, пока последнее частное не будет меньше или равно делителю.
Записывать сформированное число в новой системе счисления необходимо начиная с итогового частного и затем друг за другом выписывая остатки от деления от последнего к первому.
Например, прямой перевод числа 27 из десятичной системы в двоичную выполняют так:
27 / 2 = 13 и остаток 1
13 / 2 = 6 и остаток 1
6 / 2 = 3 и остаток 0
3 / 2 = 1 и остаток 1
Таким образом, 27 в двоичном формате это число 11011.
Для перевода чисел в пределах можно пользоваться таблицей соответствия десятичных и двоичных чисел
Рис. 2. Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел.
Обратный перевод числа в десятичную систему
Для перевода чисел в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой. При этом числовые значения записываются в виде суммы произведений цифр разрядов на основание текущей системы счисления в степени разряда.
Например, двоичное число 11011 можно представить так:
1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 =27
Для упрощения вычислений удобно пользоваться таблицей степени двойки
Рис. 3. Степени двойки.
Что мы узнали?
В десятичной позиционной системе для представления числовых значений используются десять арабских цифр. Числа в такой системе можно представлять в развернутом виде. Перевод десятичных чисел в другую систему выполняется путем поочередного деления на основание новой системы счисления. Обратный перевод удобно выполнять с использованием развернутой формы записи числа.
Читайте также: