Функция область определения и область значений функции 9 класс кратко

Обновлено: 04.07.2024

Что такое область определения функции? что такое область значения функции? Давайте, в этой статье разберемся в понятиях числовой функции и ее характеристиках и свойствах.

Определение функции.

Функция y=f(x) — это когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y или другими словами такая зависимость переменной y от переменной x.

х — называется независимой переменной или аргументом.

y – называется зависимой переменной или значением функции.

Множество чисел, где x∈X или D(f) — называется областью определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.

Область значений функций, когда задаем правило или функцию, которая позволяет по произвольно выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующее значение y.

Переменную х или аргумент мы придумываем сами и подставляем в правило, которое задали или функцию. Далее рассчитываем переменную y или значение функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная х называется областью определения функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная y называется областью значения функции.

Графиком функции y=f(x), x∈X называется множество точек (x; f(x)) координатной плоскости.

Разберём пример №1:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x 2

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	16	9	4	1	0	1	4	9	16

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

Следовательно, раз нет ограничений по переменной x она существует от -∞ до +∞ или краткая запись x∈(-∞; +∞). Область определения, это диапазон чисел, которые можно подставить в определенную формулу графика, если ограничений нет, то D(f) = (−∞; +∞).

А теперь рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y принимает положительные значение, так как и самое минимальное значение 0. Следовательно, y∈[0; +∞).

Если посмотрим на график, то увидим, что графика ниже нуля нет. Следовательно, область значения функции E(f) = [0; +∞).

Разберём пример №2:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x+1?

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5

Рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y также принимает значения как в положительном, так и в отрицательном направлении. Следовательно, ограничений у переменной y нет, y∈(−∞; +∞). Область значения функции E(f) = (−∞; +∞).

Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .

График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Содержание

1 Графики элементарных функций
- 1.1 Линейная функция
- 1.2 Обратная пропорциональность
- 1.3 Степенная функция
- 1.4 Показательная функция
- 1.5 Логарифмическая функция
- 1.6 Тригонометрическая функция
- 1.7 Обратные тригонометрические функции
Графики элементарных функций

Линейная функция

Линейная функция — это функция вида y=kx+b , где k и b некоторые действительные числа.

Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .

2) Функция монотонно убывает при k .

3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac , где k — отличное от нуля, действительное число

Графиком функции y=\frac является гипербола.

1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

$Гипербола в первой и третьей четверти y=\frac 1x$

2) Если k , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

$Гипербола во второй и четвертой четверти y=-\frac 1x$

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [0; +\infty) .

Графиком функции y=x^2 является парабола.

2) Если n=3 , то y=x^3 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R .

Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.

3) Если n=\frac , то y=x^\tfrac или y=\sqrt . D(f) : x \in [0; +\infty ); \: E(f) : y \in [0; +\infty )

$График степенной функции y=x^<\frac 12> или y=\sqrt x$

4) Если n=\frac , то y=x^\tfrac или y=\sqrt[3] . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R

$График степенной функции y=x^<\frac 13> или y=\sqrt[3]x$

Показательная функция

Показательная функция — это функция вида y=a^x , где a=const, a > 0, a \neq 1

D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in (0; +\infty ) .

Графиком показательной функции является экспонента.

1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1 .

2) Функция монотонно убывает при 0 .

Например: y=\left (\frac \right )^

$График показательной функции y=\left ( \frac12 \right )^x$

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция — это функция вида y=\log_x , где a — действительное число, a > 0, \: a \neq 1

D(f) : x \in (0; +\infty ); \: E(f) : y \in R .

1) Функция монотонно возрастает при a > 1 .

$График возрастающей логарифмической функции y=\log_<2> x$

2) Функция будет монотонно убывать при 0 .

$График убывающей логарифмической функции y=\log_<\tfrac 12> x$

Тригонометрическая функция

К тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\sin x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi

2) y = \cos x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi

3) y = tg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq \frac<\pi>+\pi n\right \>, n \in \mathbb; \: E(f) : y \in R ; основной период функции T= \pi

4) y = ctg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq 0+\pi n\right \>, n \in \mathbb; \: E(f) : y \in R ; основной период функции T= \pi

Обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\arcsin x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in \left [ -\frac<\pi>; \frac<\pi> \right ]

2) y=arccos x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in [0; \pi]

3) y=arctg x . D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (-\frac<\pi>; \frac<\pi> \right )

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

Запомните!

Обозначают область определения функции как:

Запомните!

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Область определения функции с дробью

№ 233 (2) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

Правило для определения области определения функции

Запомните!

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

№ 242 (3) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.

x_1;2 =
−b ± √ b 2 − 4ac

2a

x_1;2 =
−0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9)

2 · 1

x_1;2 ≠
−0 ± √ 0 − (−36)

2

Решим линейное неравенство.

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Примеры определения области определения функции

№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

№ 242 (4) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

√ x + 2 ≠ 0

x 2 − 7x + 6 ≠ 0

√ x + 2 ≠ 0 (1)

x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

Решаем первое уравнение.

x_1;2 =
−b ± √ b 2 − 4ac

2a

x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

x_1;2 =
−(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6

2 · 1

x_1;2 =
7 ± √ 49 − 24

2

x_1;2 =
7 ± √ 25

2

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

x ≠ −2

x ≠ 1

x ≠ 6

x − 4 ≥ 0

x + 2 ≥ 0

x ≥ 4

x ≥ −2

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

¾ получат возможность воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения результатов.

¾ научатся абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых понятий;

¾ получат возможность развивать математическую грамотность;

¾ научатся формировать навыки самоконтроля и самооценки.

Вложение Размер

funktsiya._oblast_opredeleniya_i_oblast_znacheniy_funktsii.ppt 1.88 МБ

funktsiya._oblast_opredeleniya_i_oblast_znacheniy_funktsii.docx 21.06 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

функция. Область определения функции. Область значений функции. Алгебра 9 класс

Давайте вспомним: Какую зависимость называют функцией? Как читают запись y = f(x) ? Что называют аргументом функции? Что такое область определения функции? Что называют значением функции? Как читают запись f(2) = 6 и что она означает? Что называют областью значений функции?

Определение функции. Обозначение функции. у( х ) - функция х - аргумент зависимая переменная независимая переменная

Область определения функции. Область определения функции у(х) это все значения аргумента - Х Обозначение области определения - D( у )

Область значений функции. Область значений функции у(х) это все значения - У _ Обозначение области значений - Е ( у )

x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y -8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6

g(2) = g(- 2) = g(x) = 0 при x = g(x) = 1 при х = или х = D(g) = E(g) =

f(-3) = f(- 1) = f(x) = - 1,5 при x = f(x) = 2 при х = х = , x = D(f) = E(f) =

а) f(2) = ? б) D(f) = ? Решение: а) f( 16 ) = ? б) D(f) = ? Решение:

График функции (х; у)- координаты точки в плоскости у( х )- функция х - аргумент у – ордината точки (координата оси ОУ ) х – абсцисса точки (координата оси ОХ )

Область определения линейной функции y( х) = k x + b , k≠0 y x k > 0 y x k 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Область значений линейной функции y( х ) = k x + b , k≠0 y x k > 0 y x k 0 у > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Область определения линейной функции y( х) = k x + b , k= 0 y x y( х) = b y x y( х) = -b D( у ) = (-∞ ; + ∞) х Є (-∞ ; + ∞) -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О х 0 х > 0 I ч. II ч. III ч. IV ч.

Область значений линейной функции y( х) = k x + b , k= 0 y x y( х) = b y x y( х) = -b Е ( у ) = b -∞ + ∞ -∞ + ∞ О О I ч. II ч. III ч. IV ч. Е ( у ) = - b b -b

Область определения прямой пропорциональности y( х) = k x y x k > 0 y x k 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Область значений прамой пропорциональности y( х ) = k x y x k > 0 y x k 0 у > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Область определения обратной пропорциональности , х≠0 y x k > 0 y x k 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Область значений обратной пропорциональности , х≠0 y x k > 0 y x k 0 y > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Область определения квадратичной функции , а≠0 y x а > 0 y x а 0 х > 0 I ч. III ч. II ч. IV ч.

Область значений квадратичной функции , а≠0 y x а > 0 y x а 0 y
- актуализируют знания о понятии функции, области определения и области значений функции;
- научатся применять знания при решении задач;
- познакомятся с функциональной символикой
- получат возможность воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения результатов.
- научатся абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых понятий;
- получат возможность развивать математическую грамотность;
- научатся формировать навыки самоконтроля и самооценки.
- систематизируют и расширят представления о функциях;
- выработают умение находить значения функции по заданным значениям аргумента и обратно;
- выработают умение находить область определения и область значений функции;
- научатся понимать и использовать функциональную символику при решении задач.
- Компьютер с проектором, раздаточный материал (приложение 1), презентация.
I. Организационный момент.

Определение с учащимися темы, цели, задач урока и мотивация через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений.

II. Вхождение в тему (Просмотр видеоролика )

Откройте тетради, запишите дату и тему урока.

- Приведите примеры известных вам функций ( ответы учащихся ).

III. Актуализация и изучение нового материала.
- Некоторые факты и функции вы вспомнили. Чтобы вам было немного проще восстанавливать в памяти ранее изученный материал, я предлагаю ответить на следующие вопросы (Слайд 2 презентация)
- Я вижу, что некоторые из вопросов вызвали трудности. Почему? Как будем решать эту проблему? (Работа с учебником.) Изучите стр.3 – 4 учебника и найдите ответы на вопросы, которые вызвали у вас затруднения. (Учащиеся изучают материал).
- А сейчас в парах проговорите друг другу ответы на вопросы. Если возникают разногласия, то можно попросить помощи у учителя. (Идёт работа в парах)
- Итак, на все вопросы получены ответы. А теперь мы с вами буем заниматься практической работой, будем на различных примерах находить область определения и область значений функции, учиться использовать функциональную символику в записи решений. Но прежде я хочу вас познакомить с некоторыми общепринятыми математическими обозначениями. (Слайд 3-5 презентация)
- Примеры записи:
- E(f) = (-15; 2,6) ∪ [10; + ∞ ) – промежуток (или объединение промежутков)
- D(f) = – перечисление элементов
- D(f) = R – указание числового множества
IV. Решение базовых задач. (Слайд №6 – 10)
- Теперь всё готово для решения задач. Внимательно слушайте ответы одноклассников, готовьтесь дополнять или вносить исправления в ответы.
Задание 5 выполняют в тетради письменно.

V. Работа с графикми функций (слайды 11-37)

VI. Самостоятельная работа.
- Теперь вам будет предложен небольшой тест для проверки того, как вы поняли материал данного урока. (Приложение 1)
- Давайте обсудим задания, которые вызывали затруднение. (Разбор заданий)
VII. Итоги урока.
- Сегодня на первом уроке алгебры мы создали базу для усвоения целой группы следующих тем. Насколько эта база прочная – покажет время.
Домашнее задание: п.1, №3, №8 – обязательно; №13(а, в) – по желанию.
- Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: учебник для 9 класса. М.: Просвещение, 2012.
- Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. - М.: Интеллект-Центр, 2012.
- Глазков Ю.А. и др. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре: 9 класс. – М.: Экзамен, 2013.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Квадратичная функция. Функция. Свойства функций. Область определения и область значений функции. Четные и нечетные функции.

Квадратичная функция. Функция. Свойства функций. Область определения и область значений функции. Четные и нечетные функции.

Уточнить понятие функции, её основных характеристик - области определения и области (множества) значений.

Уточнить понятие функции, её основных характеристик - области определения и области (множества) значений.

Урок "Числовая функция. Область определения и область значений функции", 9 класс

Цели урока: Образовательная: систематизация знаний учащихся по теме, научить находить область определения, область значений функции; уметь строить графики кусочных функций, научить находить область .

Урок алгебры в 10 классе для детей с нарушением слуха по теме: "Функция. Область определения и область значений функций".

План-конспект урока закрепления изученного материала.

Функция. Область определения и область значений функции

Функция.Область определения и область значений функции.

Урок алгебры в 9 классе "Определение числовой функции. Область определения и область значений функции"

Читайте также: