Функции в задачах с параметрами в курсе старшей школы
Обновлено: 07.07.2024
Загрузить презентацию (946 кБ)
Загрузить презентацию (876 кБ)
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Модель профильного обучения включает в себя базовые общеобразовательные и профильные предметы, а также элективные курсы. Функция элективных курсов – реализация личностно-ориентированного учебного процесса, позволяющего учитывать интересы, склонности и способности учащихся и создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.
Практика работы в школе показывает, что уравнения и неравенства с параметром - это один из сложнейших разделов школьного курса математики, представляющий для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Выбор метода решения, запись ответа совершенствуют умения наблюдать, сравнивать, анализировать, строить схемы и графики, выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметром проверяют не только умение работать по алгоритму, но и способность к поиску нестандартных решений, формируя при этом творческий подход к выполнению заданий.
Цель курса:
- создание базы математических знаний, умений и навыков, способствующих рациональному решению задач с параметром;
- приобщение учащихся к творческой и исследовательской деятельности, обеспечивающей в будущем интеллектуальную и социальную самореализацию;
- формирование представлений о значимости математики как инструмента познания окружающего мира и двигателя научно-технического прогресса.
Задачи курса:
- формирование у учащихся навыков решения уравнений и неравенств с параметром различными способами;
- стимулирование исследовательской деятельности школьников;
- формирование логического и творческого мышления учащихся;
- повышение математической культуры;
- развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики;
- подготовка к итоговой аттестации и продолжению образования.
Методы, применяемые на занятиях, подобраны в соответствии с содержанием курса, особенностями тематики и органично сочетают лекции, семинары, практикумы.
В процессе преподавания элективного курса важным компонентом являются средства обучения:
- печатные пособия (учебники, раздаточный и дидактический материалы);
- наглядные пособия (плакаты, графики, таблицы);
- электронные образовательные ресурсы (мультимедийные средства обучения).
При планировании элективного курса учтена возможность включения разнообразного иллюстративного материала, мультимедийных и интерактивных моделей, использование компьютерной информационной базы для организации самостоятельной работы школьников при повторении теоретического материала и тестирования для проверки и контроля знаний.
Специфика работы учителя во многом определяется уровнем подготовки учащихся, их способностями, а самое главное – их мотивацией. Поэтому в программе даны варианты заданий, для решения которых потребуется различный уровень знаний и умений. В зависимости от темы занятия педагог выступает как информатор, консультант, наблюдатель, эксперт или занимает позицию активного участника учебного процесса.
Программа курса разработана для классов естественно-математического, социально-экономического профилей в старшей школе и предназначена для организации систематического изучения вопросов, связанных с параметром. Элективный курс продолжительностью 34 часа рассчитан на учащихся 11-х классов, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к предмету, и желающих овладеть различными умениями, навыками и приемами для решения математических задач с параметром.
- современным целям общего образования;
- основным положениям концепции профильной школы.
МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое, алгоритмическое и творческое мышление, и позволяет школьникам научиться решать задачи повышенной сложности.
В процессе преподавания элективного курса используются технологии, ориентированные на получение учащимися практики, позволяющей овладеть общеучебными умениями и навыками для успешного усвоения программы профильной школы. Активную учебно-познавательную деятельность, направленную на личностное развитие каждого ученика, формирование и развитие ключевых и предметных компетенций школьников обеспечивает применение:
- лекционно-семинарской системы обучения;
- информационно-коммуникационных технологий;
- дифференцированного обучения;
- исследовательского метода в обучении;
- проблемного обучения;
- технологии деятельностного метода, позволяющей выявлять познавательные интересы и способности школьников;
- личностно-ориентированогообучения.
В результате изучения курса учащиеся приобретут умения:
- описывать реальные ситуации с помощью математических моделей;
- анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений и неравенств с параметром;
- отстаивать своё мнение по выбору способа решения нестандартных задач с параметром;
- применять свойства функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств с параметром;
- строить и читать графики функций;
- логически мыслить, рассуждать, выдвигать гипотезы, делать выводы, обосновывать полученные результаты;
- работать с различными источниками информации.
Результат обучения выражается в повышение математической культуры, в проявлении умения осуществлять исследовательскую деятельность и применять полученные знания для решения практических задач.
Отчётность по освоению курса предусматривает проверку домашних заданий, самостоятельных работ, тестов, оценивание качества исследовательских проектов. По итогу курса проводится защита групповых и индивидуальных заданий исследовательского типа, рефератов и творческих работ.
Литература:
- Ильясов И. И. Структура процесса учения — М.: 1986.
- Махмутова М. И. Современный урок — М.: 1981.
- Пидкасистый П. И. Педагогика — М.: 2004.
- Прессман Л. П. Методика и техника эффективного использования средств обучения в учебно-воспитательном процессе — М.: 1985.
- Профильное обучение: программы элективных курсов здоровьесберегающей направленности: Учебно-методическое пособие / Под ред. Т.В. Черниковой. – М.: ТЦ Сфера, 2006. – 304 с. (Педагогическое мастерство).
- Скаткин М. Н. Совершенствование процесса обучения — М.: 1971.
Содержание курса
1. Начальные представления о параметре (0,5 ч.)
Вводная беседа. Назначение, структура и краткое содержание учебного курса. Понятие параметра, уравнения и неравенства с параметром.
2. Способы решения задач с параметром (3,5 ч.)
Знакомство со способами решения уравнений и неравенств с параметром (аналитическим, функциональным и функционально-графическим), рассмотрение общих схем и закономерностей в поиске решений. Систематизация задач по типу ограничений, накладываемых на параметр. Графическая интерпретация задач с параметром: построение графического образа на координатной плоскости (хОу) и на плоскости (хОа). Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений. Сравнительный анализ аналитического, функционально-графического способов при решении уравнений и неравенств с параметром.
Практическая работа №1
3. Задачи с параметром (17 ч.)
Приемы решения рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем с параметром. Рассмотрение уравнений и неравенств, содержащих различные функции. Выбор оптимального метода решения.
Практическая работа №2
4. Комбинированные задачи с модулем и параметром (4 ч.)
Комбинированные задачи с модулем и параметром. Обобщенный метод областей. Перенос метода интервалов с прямой на плоскость. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметром и модулем, и их комбинации.
Практическая работа №3
5. Конструирование задач с параметром (2 ч.)
6. Задачи единого государственного экзамена (5 ч.)
7. Защита рефератов и творческих работ (2 ч.)
Выступления учащихся с рефератами по различным вопросам темы, практическому применению задач с параметрами, проблемам организации эффективной деятельности при решении математических задач разных типов и вопросам саморегуляции. Защита творческих работ и демонстрация презентаций.
В разработке представлен материал к спец.курсу "Решение задач с параметром". Подробно разбирается один из типов задач, где исследование свойств функции позволяет решить задачу более рационально. Материал может быть интересен учителям математики старших классов и выпусникам школ, готовящимся к сдаче профильного экзамена.
Использование свойств функции при решении задач с параметром
Бочкова Татьяна Владиславовна
Учитель математики ГБОУ Республики Марий Эл
Аннотация. В работе рассматривается решение задач с параметром, основанное на исследовании свойств функции. Материал может быть полезен учителям математики и обучающимся в процессе подготовки к единому государственному экзамену на профильном уровне. В качестве примеров взяты аналоги задания №18 из экзаменационных вариантов.
Ключевые слова: функция; параметр; монотонность; ограниченность; система уравнений; система неравенств; область значений.
Использование свойств функции при решении задач с параметром.
Задачи с параметром у многих обучающихся вызывают затруднения. Зачастую бывает непонятно, с чего начать, какие приёмы использовать, какую последовательность рассуждений выбрать. Однако, решению и этих задач можно научиться, если составить некоторую классификацию методов и приёмов решения. Одним из таких методов является исследование функции, входящей в состав уравнения или неравенства. Рассмотрим наиболее важные свойства, которые позволят значительно упростить решение задач с параметром.
Монотонность функции.
Полезно вспомнить следующие важные утверждения о монотонности функции:
Если функция y=f(x) монотонна на промежутке I, то уравнение f(x)=c имеет не более одного корня на промежутке I.
Если функция f(x) – монотонно возрастает, а функция g(x) – монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня.
Строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно один раз. То есть, если f(x)- строго монотонна и f(a) = f(b), то a=b.
Решим несколько задач с использованием этих утверждений.
Пример 1. Найти все значения параметра а, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень: 27х 6 + (3а – 4х) 3 + 3х 2 + 3а = 4х.
Перепишем уравнение в следующем виде: 27х 6 +3х 2 =(4х-3а) 3 +(4х-3а)
Заметим, что и левая, и правая части уравнения представляют собой некоторую функцию f(t) = t 3 +t. Причём левая часть равенства - это f(a), где а=3х 2 , а правая часть – f(b), где b = 4x-3a. Поскольку f(a) = f(b), то по свойству монотонности следует, что a = b. Имеем: 3х 2 = 4х-3а. Это квадратное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если его дискриминант будет неотрицателен. То есть достаточно решить неравенство 4-9а≥0, из которого следует, что а≤4/9.
Пример 2. Найти все значения параметра а, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень:
Sin 14 x + (a -3sinx) 7 + sin 2 x + a = 3sin x.
Перепишем уравнение в следующем виде:
sin 14 x + sin 2 x = (3sin x – a) + (3sin x – a)
Левая и правая части равенства представляют собой некоторую функцию f(t), при чём, имеет место равенство f(a) = f(b), где а = sin 2 x, b = 3sin x – a.
По свойству монотонности: a = b, значит, имеем уравнение
sin 2 x = 3sin x – a, или sin 2 x – 3sin x + a = 0
Пусть sin x = c, где -1≤ с ≤ 1. Тогда с 2 -3с + а = 0. Это уравнения имеет хотя бы одно решение, если его дискриминант неотрицателен. То есть
D = 9 – 4a ≥ 0, откуда a ≤ 9/4.
Заметим, что значение переменной с ограничено, поэтому стоит подробнее рассмотреть квадратичную функцию f(c) = c 2 – 3c + a. Абсцисса вершины параболы равна с0 = 1.5 1. Значит отрезку [-1;1] может принадлежать только меньший корень уравнения. Это возможно лишь тогда, когда функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Поэтому моделью данной задачи будет следующая система неравенств:
Заметим, что полученный отрезок полностью удовлетворяет условию а ≤ 9/4. Значит то и есть искомые значения параметра а.
Пример3. Найти все значения параметра а, для каждого из которых любой корень уравнения принадлежит отрезку [1;3]:
Для решения введём несколько вспомогательных функций:
Заметим, что функции g(x) и h(x) строго возрастают, поэтому функция f(x) тоже возрастает, как сумма двух возрастающих функций. Кроме того, учитывая область определения логарифма, x 1/3.
Так как функция f(x) строго монотонна, то исходное уравнение имеет не более одного корня. Пусть х0 – искомый корень и он принадлежит отрезку [1;3] – это удовлетворяет ОДЗ. В силу возрастания функции f(x), это возможно лишь тогда, когда на концах отрезка функция f(x) принимает значения разных знаков. То есть, необходимо решить следующую систему неравенств:
Ответ:
Ограниченность функции.
Следующую категорию задач тоже вряд ли удастся решить с помощью обычных алгебраических преобразований. Однако, исследование функции на ограниченность и оценка множества значений может привести к верному решению. Напомним несколько верных неравенств, связанных с ограниченностью функции:
Так же могут быть полезны следующие утверждения:
Если max f(x)=c и min g(x)=c, то уравнение f(x)=g(x) имеет те же корни, что и система
Если max f(x)=c и min g(x)=c, то неравенство f(x) ≥g(x) имеет те же решения что и система
Чтобы имело решения неравенство f(x) ≥ g(x) необходимо, чтобы выполнялось неравенство max f(x) ≥ min g(x)/
Пример4. При каких значениях параметра а система уравнений имеет хотя бы одно решение? Укажите эти решения для каждого найденного а.
1). Так как y 2 ≥ 0, а 4cos2 x ≤ 4, то а ≤ 4.
2). Так как √y≥0 и z 2 ≥0, то а ≥ 0.
Из 1) и 2) имеем 0≤ а ≤ 4.
3). Сумма модулей в правой части третьего уравнения неотрицательна, значит, выполняется условие (а – 4) 2 – 4 ≥ 0 или а(а – 4) ≥ 0. Решением этого неравенства будет объединение промежутков (-∞;0] и [4;+∞).
Учитывая все три условия, имеем: а = 0; 4.
4). Решим систему уравнений при а = 0.
Из второго уравнения следует, что y = 0 и z = 0. Тогда первое уравнение имеет вид: 4 сos 2x = 0, где x = π/4+πn/2.
Третье уравнение при найденном значении х является верным равенством. Значит, при а = 0 решением системы являются следующие решения: х = π/4+πn/2, y = z = 0.
5). Решим систему уравнений при а = 4.
Первое уравнение: 4 + y 2 = 4 cos 2x.
Так как левая часть равенства не менее 4, а правая часть равенства не превосходит 4, то равенство возможно лишь при y = 0, cos 2x = 1. То есть, х=πn.
Второе уравнение имеет вид: z 2 = 4, то есть z = -2; 2.
Проверим выполнение третьего уравнения при найденных значениях переменных: если а = 4, y = 0, z = 2, то 4 = 0+0+4 или 4 = 4. Значит, найденные значения являются решениями системы. Если а = 4, y = 0, z = -2, то 4=8+0+4 – это неверное равенство, значит z = -2 не может быть решением.
Имеем: при а = 4, х = πn, y = 0, z = 2.
Ответ: x = π/4+πn/2, y = z = 0, при а = 0
х = πn, y = 0, z = 2, при а = 4.
Пример 2. При каком значении параметра а уравнение имеет хотя бы один корень
Перепишем уравнение в следующем виде:
1). Рассмотрим функцию и её поведение слева и справа от точки х = 2.
Если х2, то при раскрытии модуля, независимо от параметра а, получим линейную функцию с отрицательным угловым коэффициентом k = 2x+2x-5x=-x. Значит, при х 2 функция f(x) убывает.
Если хk = 2x+2x+5x=9x, или k = 2x-2x+5x=5x. Значит, при хf(x) возрастает.
Значит в точке х = 2 функция f(x) принимает наибольшее значение.
Квадратичная функция h(x) принимает свое наименьшее значение в вершине параболы при х = 2. Тогда, функция g(x) в точке х = 2 так же принимает своё наименьшее значение.
Так как fнаиб(х) = gнаим(х), то х = 2 – корень уравнения.
Найдём, при каком значении а, х=2 удовлетворяет уравнению.
Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2019. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень) / Под ред. И.В. Ященко.-М.: МЦНМО, 2019.-288с.
Математика входит в число обязательных учебных предметов. В качестве одного из типичных недостатков современной математической подготовки учащихся в нашей стране чаще всего называют почти полное неумение работать с заданиями. Подавляющее большинство упражнений в учебниках имеют направление на проверку умений “вычислять, упрощать, решать” и тому подобные.
В связи с координальной перестройкой образования, обучение в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базового, профильного, элективного. Каждый из курсов этих типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. При этом очевидно, что практически уровень учебных достижений учеников одного класса и одной школы различен, исключений здесь нет.
В программах по математике для неспециализированных школ отдельно темы не отводится на изучение параметра. Для обобщения некоторых разделов этим задачам отводится незначительное место.
11кл. Мордкович А. Г
10кл. Мордкович А. Г
Материалы, предоставленные в теоретической части и виде примеров.
-параметра
-уравнения с параметром
-система уравнений с параметром
-решить уравнение с
Параметром
-решить неравенство с параметром
-уравнение степени не выше второй
-уравнение степени не выше второй, корни которых удов определ
-уравнение вида f(x)=a
-неравенство степени не выше второй
Исследовать свойства функции :
Найти значение функции :
Материалы, предоставленные в виде задач.
Исследовать свойства функции на :
-взаимное расположение графиков
-уравнение с модулем
-уравнение степени не выше второй
Целями изучения данного курса, как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики являются следующие :
- обобщение знаний свойств функций на задачах с параметрами;
- расширение кругозора, повышение математической грамотности;
- подготовка базы для получения дальнейшего образования.
Для достижения этих целей решаются определенные задачи.
Элективный курс по теме:
Математическое образование в системе профильного образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющее, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой - удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.
Решение таких задач будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокого уровня сложности, формированию математической культуры учащихся.
Задачи : - выделить этапы знакомства с параметрами в школьном курсе
математики;
- повторить свойства функций;
- обобщить способы решения неравенств и уравнений с параметром;
- рассмотреть решение конкурсных задач с параметрами.
Постановка цели. Проверка владения базовыми умениями. 1
§1. Функционально - графический метод решения функций с параметрами (2ч)
2Основные приемы и метода решений задач с параметрами решаемые методом наглядно-графических интерпретаций.
Решение задач методом наглядно-графических интерпретаций.
Практическое занятие. 1
§2. Свойства функций в задачах с параметрами (4ч)
Область определения функции
Область значения функции
Экстремальные свойства функций.
Монотонность функций.
Дидактический материал для учителя
Постановка цели. Проверка владения базовыми умениями.
Цели: проверка и актуализация знаний.
2. Актуализация знаний.
Ход занятия.
На данном занятии надо рассказать о целях и задачах изучения курса, о важности получаемых знаний для подготовки аттестации в средней школе и особенно для поступления в ВУЗы.
Проверка базовых знаний осуществляется за счет вводного тестирования.
1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:
а) у = -2; б) у = х-2; в) у = х2-2.
2. Область определения функции у = х-4 :
3. Найдите значение функции у= -1 при х=-2 :
4. На рисунке найдите точку K', симметричную точке K(1;-5) относительно оси
5. На рисунке найдите точку А' симметричную точке A (2; 3) относительно начала координат.
6. Функция у = х при хО :
а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.
7. График функции у= называется :
а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.
8. Какой из графиков параллелен прямой у=-х :
а) х-у=3; б) у = 1-х; в) 2х-3-у-1 = 0.
9. Графику какой функции принадлежит точка А(2; 4) :
а)у =-2х2; б) У = x3; в) у= ?
10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
у = -4х -1 и y=2х+ 5:
а(0;5); б) (l;7); в) (-1;3).
1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:
а) у = +1; б) у = +1; в) у = х5+1.
2. Область определения функции у = х+3 :
3. Найдите значение функции у= +2x при х=0. 5 :
4. На рисунке найдите точку M', симметричную точке M(-4;3) относительно оси
5. На рисунке найдите точку А' симметричную точке A (2; 1) относительно оси
6. Функция у = при хО :
а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.
7. График функции у= 3x2 называется :
а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.
8. Какой из графиков параллелен прямой у= х :
а) х-у=-3; б) у =-2х-2; в) 2х+3у+1= 0.
9. Графику какой функции принадлежит точка M(-2;-4) :
а)у =2х2; б) У = x3; в) у= ?
10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций
а(18;12); б) (-6;-12); в) (6;0).
2. Актуализация знаний.
Определение: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у =f(х).
Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
Значение у, соответствующее заданному значению х, называют
значением функции.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Они обозначаются D(f) и E(f) соответственно.
Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Для закрепления учащимся предлагается ответить на вопросы.
1. Найдите область определения функции, заданной формулой :
а)У = ; б)у = 2; b) Y= 6; G) у = ;
d) y = ; e) y= 2 ; k) y= .
Так, например, задача решить (относительно x) квадратное уравнение общего вида ax2+bx+c=0 является примером задачи с тремя параметрами a, b, c. В этом случае говорят, что надо решить уравнение с параметрами a, b, c.
Задача решить (относительно x) линейное неравенство общего вида ax+b>0 является примером задачи с двумя параметрами a и b. В этом случае говорят, что надо решить неравенство с параметрами a, b.
Задача решить (относительно x и y)систему уравнений x2+y2=1
Является примером задачи с одним параметром a. В этом случае говорят, что надо решить систему уравнение с параметром a.
На наших занятиях мы рассмотрим зависимость свойств функций от параметра. Решение задач такого типа не является простым решением и требует предварительного навыка решения простых задач. Задачи с параметрами является обобщением любых математических задач.
§1. Функционально - графический метод решения функций с параметрами
Основные приемы и метода решений задач с параметрами решаемые методом наглядно-графических интерпретаций.
Цели:- рассмотреть виды семейств кривых, с помощью которых решаются задаче с параметрами;
решение типовых задач на усвоения функционально - графический метод решения функций с параметрами.
Методы обучения: лекция
Знакомство с основными приемами и методами решений задач с параметрами будем начинать с метода наглядно-графических интерпретаций.
В зависимости от того, какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной, можно соответственно выделить два основных графических приема:
1. построение графического образа на координатной плоскости (x,y);
2. построение графического образа на координатной плоскости (x,a);
Уравнение F(x,y,a)=0 при каждом фиксированном значении параметра a задает на плоскости XOY линию. При изменении параметра a получают множество линий, которые называются семейством линий.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся семейства линий.
1.Ax+By+a=0 (где A, B, a- произвольные числовые коэффициенты) - семейство
параллельных прямых, причем
при A=0 эти прямые параллельны оси OX,
при B=0 эти прямые параллельны оси OY,
а в остальных случаях - наклонные с угловым коэффициентом K=-A/B.
Пример: Уравнение -2x-y+a=0 задает семейство прямых с угловым коэффициентом K=-2
и пересекающих ось OY в точках (0;a).
2.A(x-a)+y-b=0 (где A, b, a- произвольные числовые коэффициенты)- семейство прямых (кроме параллельных оси OY, проходящих через одну и туже точку M(a;b)
и имеющих изменяющийся угловой коэффициент K=-A. Точка M называется центром поворота
Пример: Уравнение y-3=A(x-2) задает семейство прямых, проходящих через M(2;3)
3. Уравнение (x-a)2+(y-b)2=n (где a, b, n- произвольные числовые коэффициенты)
при n>0 – задает семейство концентрических окружностей радиуса R=n с центром в точке C(a;b);
при n=0, это будет сама точка C;
при n 0 или n 2, то есть lgb>2, b>100.
Задача 2. При каком натуральном значении параметра a уравнение x3+3x2-9x-a=0 имеет ровно два корня?
Решение: Уединим параметр x3+3x2-9x=a.
Решим уравнение графически, построив графики функции y= x3+3x2-9x и y= a.
y(-3)=(-3)3 +3(-3)2 -9(-3)=27. y(1)=1+3-9=-5. Построим схематично график функции y=
y(1)=1+3-9=-5. Построим схематично график функции y= x3+3x2-9x.
Графиком функции y=a является прямая, параллельная оси Ox. Графики функции пересекаются в двух точках, если a=27 и a=-5.
Задача 3. Решите неравенство x+ax+1.
Решение появиться только с момента касания (полож. 2).
значение параметра, соответствующего касанию, можно найти, потребовав от системы y2= x+ a;
иметь одно решение, что равносильно для уравнения (х+1)2 = х+а иметь один корень. Отсюда получаем а = 3/4. Значит, при а 1, то решением будет отрезок [-а ; х2' ], где ж2' - больший из корней х< и х2 (положение IV).
Задача 4. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
y2-x2-2x+4y+3=0, имеет решения.
Левую часть второго уравнения системы разложим на множители. Имеем
х-1, то очевидно рассматриваемые графики общих точек не имеют.
y=(x-a)2, иметь одно решение, что в свою очередь заставляет уравнение х-1=(х-а)2иметь один корень. Отсюда легко получить а = 3/4. Таким образом, исходная система не имеет решений, если -3
С одной стороны, используя свойства числовых неравенств (возведение обеих частей в четную степень, можно показать, что неравенство x>2 равносильно x>4.
C другой стороны, функциональный подход позволяет рассуждать так: перепишем исходное неравенство в виде x >4. Далее, учитывая характер монотонности функции y=x,получаем x>4.
Задача 1. Найдите все значения я, при которых область определения функции
содержит ровно одно целое число.
1- преобразовать выражение в скобках, разложить его на множители, выяснить, когда полученное произведение неотрицательно;
2- выразить область определения D(y) через параметр;
3- произвести отбор нужных значений параметра.
Основной момент решения состоит в проведении тождественных преобразований показательных, степенных и алгебраических выражений. Без правильного выполнения этого шага невозможно дальнейшее решение задания.
1) Проведем тождественные преобразования в основании степени. функции. По
определению степени с показателем 0,5 число х лежит в D(y) только если (ax-a4(x-a)0. Так как по условию х стоит в основании логарифма, а а — под знаком логарифма, то х>0, х1,a>0. Рассмотрим три случая: а = 1, 0 1.
2) Если a=1, то (ax — a4(x-a)0 при всех натуральных х, то есть а=1 не удовлетворяет условию задачи.
3) Пусть 0 1. Так как показательная функция с основанием а возрастает и степенная фунция z = x возрастает, то получаем, что или, или. Значит, D(y)= есть отрезок с концами в точках a и 4 .
Задача 2 на проверку знаний свойств логарифмической, показательной и линейной функций.
Найти все значения параметра a, при которых в области определения функции y=log(aax-2-ax) лежат числа 13, 15, 17, но не лежат числа 3, 5, 7.
1) По определению логарифма x D(y, в том и только том случае, если aax-2 >ax. При a=1 область определения пуста.
Рассмотрим два случая.
2. a>1. Тогда показательная функция с основанием a возрастает и поэтому aax-2 >ax, ax-2>x, (a-1)x>2. Так как a>1, то a-1>0. Значит, D(y)=(). В этом промежутке лежат числа 13, 15, 17, только тогда, когда его левый конец меньше 13. А для того, чтобы в нем не было чисел 3, 5, 7 нужно, чтобы левый конец был не меньше 7.
2) Получаем двойное неравенство на параметр a> 1:, 7(a-1)2 0,a1, x>0,x1. Рассмотрим два случая:01.
Пусть a>1. Так как показательная функция с основанием a>1 возрастает и степенная функция z=x возрастает, то тогда Значит D(y) есть отрезок с концами в точках a и 3.
4) Если a10, то в D(y)=[3;a] есть двузначное число, например 10.
Если a принадлежит (1;10, то отрезок с концами a и 3 расположен левее 10 и не содержит двузначных чисел.
Задача 4. В области определения функции у =(a a –) взяли все целые
положительные числа и сложили их. Найдите все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше10.
Решение. 1) Графиком дробно-линейной функции z= или z=5- x+2 является гипербола. По условию Х > 0. При неограниченном возрастании Х дробь
монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 0, а значение функции z возрастает, и приближаются к 5. Кроме того, z(0)=1.
2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства аa > а х+2.
При а = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция y нигде не определена.
При 0 0, то z(x) > z (0) = 1. Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства,. Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.
4) При а > 1 показательная функция с основанием a возрастает и неравенство
равносильно неравенству. Если, а 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 0. При неограниченном возрастании x дробь монотонно и приближается к нулю, а значение функции z возрастании и приближается 7. Кроме того, z(0)=1.
2). По определению логарифма область определения D(y) состоит из решений неравенства.
При a=1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция y нигде не определена.
При a>1 показательная функция с основанием a возрастает и неравенство равносильно.
Если a7, то любое положительное число является его решением и указанную в условии сумму нельзя найти.
Ключевые слова: параметр, задачи с параметрами.
Методически было бы правильно каждый пройденный тип уравнений и неравенств завершать задачами с использованием параметра. Во-первых, школьнику трудно привыкнуть к параметру за два-три занятия — нужно время. Во-вторых, использование подобных задач улучшает закрепление пройденного материала. В-третьих, оно способствует развитию его математической и логической культуры, а также развитию интереса к математике, поскольку открывает перед ним новые методы и возможности для самостоятельного поиска.
Ниже хотелось бы представить некоторые задачи с параметрами, которые в школьном курсе математики у учащихся вызывают трудности.
Задача 1: Найти все значения, которые может принимать сумма x+a, если пара чисел (x, a) является решением неравенства
Читайте также: