Фундаментальная система решений кратко

Обновлено: 02.07.2024

Здесь каждая буква относится к своей группе обозначений, $x_1. x_n$ — это неизвестные числа или переменные, подлежащие поиску, $a_11. a_$ — множители, содержащиеся при неизвестных, $b_1. b_m$ — свободные члены таблицы из чисел, получаемой на основе приведённой СЛАУ.

В компактной форме СЛАУ принято записывать в виде формулы вида $A \cdot X = B$. В этой формуле под большой буквой $A$ подразумевается матрица множителей при неизвестных системы, а буквами $X$ и $B$ обозначены вектор-столбец неизвестных системы и свободных членов.

Матрица $A$ называется основной матрицей системы, вот как она будет выглядеть:

$A = \begin a_ & … & a_ \\ \vdots & … & \vdots \\ a_ & … & a_ \end$, $b=\begin b_1 \\ \vdots \\ b_m \end$

Если через длинную черту после матрицы множителей при неизвестных записан столбец свободных членов, то матрицу называют расширенной матрицей системы.

Необходимая терминология

Решением системы называют такие $n$ значений неизвестных $x_1=c_1, x_2=c_2…x_n-c_n$, что при их использовании все её уравнения становятся верными соблюдающимися равенствами. Найденное решение системы можно записать в виде таблицы неизвестных одним столбцом:

$C= \begin c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end$.

В зависимости от количеств групп переменных, подходящих для соблюдения всей системы, различают совместные и несовместные СЛАУ. Объединённая в систему группа равенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Готовые работы на аналогичную тему

Среди первого типа существуют определённые СЛАУ, имеющие только одно решение и неопределённые, под такие подпадают все, которые можно решить с получением больше одного ответа.

Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю. Если в системе хотя бы один из свободных членов ненулевой, то она называется неоднородной, другие же СЛАУ с нулевым $B$ наоборот однородны.

Общее, частное и фундаментальное решения

Частным решением системы называется индивидуальное записанное в одну строчку, тогда как общее $X_o$ записывается через свободные переменные в одну строчку, оно представляет собой некое множество чисел, подходящих под данные условия. Общее $X_o$ включает в себя все индивидуальные.

Фундаментальной же системой решений (ФСР) называется совокупность $(n-r)$ векторов, являющихся линейно независимыми векторами системы. Здесь $r$ — это ранг исследуемой матрицы, согласно теореме Капелли, он равен количеству её основных неизвестных. Найти его можно путём разрешённых преобразований над изучаемым объектом, в частности, можно использовать метод Гаусса или другие.

Фундаментальная система решений частенько представлена как сумма всех возможных решений:

Здесь $С_1, C_2. C_$ — некоторые постоянные.

Приведена пример, в котором все свободные члены ненулевые:

$\begin x_1 – x_2 + x_3-x_4=4 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=8 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=20 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=4\\ \end$.

Ранг всех матриц соответсвует двойке, рассчитаем базисный минор:

Избавимся от двух нижних равенств из примера и получим:

Общим решением системы будет строчка $(6-\fracc_3-c_4; 2-\fracc_3-2c_4;c_3; c_4)$.

Теперь посмотрим, что буде в случае с нулевым столбцом за чертой:

$\begin x_1 – x_2 + x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2+2x_3+3x_4=0 \\ 2x_1+4x_2+5x_3+10x_4=0 \\ 2x_1-4x_2+x_3-6x_4=0 \end$.

Ранг также соответствует двойке, а её решениями будут

$c_1=-\frac c_3-c_4; c_2=-\fracc_3-2c_4$. Константы же $c_3$ и $c_4$ выберем любые, например, возьмём их равными $c_3=0;c_4=1$.

Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув здесь. Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_$, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_$, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_$, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_$, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_$, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_$, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_$, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_$, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений.

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$, а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$, можем подставлять любые числа и находить $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$, $x_2$ и $x_3$, а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$.

Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

Для лучшего понимания хода роботы можете посмотреть видео-урок по данном задании.

Системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений можно разделить на однородные и неоднородные.

В данной статье все определения, свойства и примеры рассматриваются для системы линейных алгебраических уравнений — СЛАУ.

Однородной системой уравнений называют систему из линейных уравнений вида $\sum_^na_i\cdot x_i=0$ .

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Однородная СЛАУ всегда имеет как минимум одно решение — нулевое, то есть всегда является совместной.

СЛАУ будет иметь бесконечное множество решений в том случае, если ранг матрицы коэффициентов A будет меньше количества неизвестных переменных n: A Примечание 2

Ранг матрицы равен максимальному порядку миноров матрицы, не равных нулю. Простой способ найти ранг на практике — выполнить преобразования (исключение нулевых строк, умножение на ненулевое число, сложение и т.д.), после чего определить ранг матрицы как количество ненулевых строк.

В том случае, когда определитель квадратной матрицы СЛАУ равен нулю, система имеет нетривиальное решение.

Нахождение решений однородной СЛАУ осуществляется по методу Гаусса. Порядок действий при этом таков:

Систему записывают в виде матрицы, затем с помощью различных преобразований приводят ее к треугольному виду.
Записывают уравнения, умножая неизвестные переменные на соответствующие элементы матрицы.
Решают систему, начиная с последнего уравнения, в котором остается только одна переменная.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

В основном решение однородной системы представляют в виде набора линейно независимых векторов $ \overrightarrow,\;\overrightarrow,\;. \;\overrightarrow,$ называемого фундаментальной системой решений однородной системы.

Решением системы будет являться также любая линейная комбинация векторов $\overrightarrow b$ вида $a_1\overrightarrow,\;a_2\overrightarrow,\;. \;a_n\overrightarrow$ , где коэффициенты $a_1,\;a_2,\;. \;a_n$ – любые вещественные числа.

Фундаментальная система решений — базис векторного пространства, образованного решениями системы.

Фундаментальное решение системы B принято записывать как $\overrightarrow B=a\cdot\overrightarrow b$ .

Сформулируем (без доказательства) теорему о размерности фундаментальной системы решений.

Фундаментальная система решений для СЛАУ, у которой A

Взаимосвязь решений однородной и неоднородной системы уравнения

Отличие неоднородной системы от однородной состоит в том, что в правой части уравнений системы находятся ненулевые коэффициенты.

Чтобы найти решение неоднородной системы, используют общее решение однородной. Общее решение неоднородной СЛАУ $\overrightarrow>$ будет иметь вид:

где $\overrightarrow>$ — общее решение соответствующей однородной системы, $\overrightarrow>$ – частное решение заданной неоднородной системы.

Соответствующую однородную систему получают, приравняв к нулю коэффициенты в правых частях уравнений.

Пояснение на примерах

Рассмотрим несколько примеров задач на решение однородных и неоднородных СЛАУ.

Решить систему уравнений $\left\-\frac12x_1+\frac12x_2-x_3=0\\-x_1-\frac12x_2+\frac32x_3=0\\-\frac32x_1-x_3=0\end\right.$

Система является однородной. Составим матрицу коэффициентов и найдем ее ранг.

Ко второй строке прибавлена первая строка, умноженная на (-2).
К третьей строке прибавлена первая, умноженная на (-3).
К третьей строке прибавлена вторая, умноженная на (-1).

Получили, что ранг матрицы равен 3, как и число переменных. Найдем, чему равен определитель матрицы.

Определитель не равен нулю, то есть можно сделать вывод о том, что система имеет одно тривиальное решение.

Сделаем проверку и продолжим решение по методу Гаусса. Запишем систему с коэффициентами матрицы после преобразований.

Получили, что решением будут нулевые значения переменной.

Найти общее и фундаментальное решения системы $\left\-4x_1-4x_2+2x_3=0\\-10x_1-8x_2+12x_3=0\\-6x_1-4x_2+10x_3=0\end\right.$ .

Сначала определим ранг матрицы коэффициентов.

К первой строке прибавили третью, умноженную на (-1).
От второй строки отняли третью, умноженную на 2.
Исключили одну из одинаковых строк.
Ко второй строке прибавили первую, умноженную на 3.

Ранг матрицы А=2.

Найдем общее решение. Запишем систему в виде: $\left\2x_1-8x_3=0\\-4x_2-14x_3=0\end\right.$

Выразим переменные $x_1$ и $x_2$ через $x_3: \left\x_1=4x_3\\x_2=-\frac4x_3\end\right.$

Общее решение системы: $ \left(4x_3;\;-\frac4x_2;\;x_3\right)$

Количество фундаментальных решений: $n-A=3-2=1$ . Чтобы найти вектор \overrightarrow B фундаментального решения, зададим произвольное значение переменной $x_3$ . Примем $x_3=4$ , чтобы избавиться от дробей.

Фундаментальная система решений: \overrightarrow $B=\;(16;\;-14;\;4).$

Ответ: $\left(4x_3;\;-\frac4x_2;\;x_3\right) и \;(16;\;-14;\;4).$

Записать общее решение неоднородной системы. Известно, что соответствующая однородная система выглядит как в предыдущем примере, а частное решение имеет вид: (-2; 1; 3).

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной и частного решения. Тогда:

Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно.

Однородная СЛАУ, записанная в матричном виде, $A X=\Theta$ всегда совместна, так как $X=\Theta$ всегда является ее решением.

Заметим, что если $x_, x_$ - это два решения однородной СЛАУ, то их линейная комбинация также будет решением однородной СЛАУ:

$$Y=\lambda_ x_+\lambda_ x_$$ $$A Y=A\left(\lambda_ x_+\lambda_ x_\right)=\lambda_ A x_+\lambda_ A x_=\lambda_ \Theta+\lambda_ \Theta=\Theta$$

Если однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевое решение, то определитель матрицы системы равен нулю.

Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ $\left\ 3 x-2 y=-1 \\ x+3 y=7 \end\right.$ ненулевые решения.

$$\Delta=\left|\begin 3 & -2 \\ 1 & 3 \end\right|=9-(-2)=9+2=11 \neq 0$$

Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение $x=y=0$

Ответ. Система имеет только нулевое решение.

Фундаментальная система решений

Рассмотрим множество всех столбцов, которые являются решениями исходной системы.

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\ x_+x_-3 x_-x_=0 \\ x_-x_+2 x_-x_=0 \\ 4 x_-2 x_+6 x_+3 x_-4 x_=0 \\ 2 x_+4 x_-2 x_+4 x_-7 x_=0 \end\right.$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

$$A=\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \end\right)$$

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей - четыре первых, от четвертой - две первых:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 10 & -5 \end\right)$$

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & -4 \end\right)$$

От четвертой строки отнимем $\frac$ третьей и третью строку умножим на $\frac$ :

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$$

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end\right)$$

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

$$A \sim\left(\begin 1 & 1 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \end\right)$$

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь $x_, x_$ - независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_, x_, x_$ - зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ - количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_=1$ , $x_=0$ получаем, что $\left\ x_=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_=1-\frac \cdot 0=1 \\ x_=3 \cdot 0=0 \end\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_=0$ , $x_=2$, будем иметь, что , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

$$X_=\left(\begin -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end\right), X_=\left(\begin 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end\right)$$

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

$$X=C_ X_+C_ X_=C_\left(\begin -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end\right)+C_\left(\begin 12 \\ 0 \\ -5 \\ 2 \\ 6 \end\right)$$

где коэффициенты $C_, C_$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

Придавая константам $C_, C_$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

Читайте также: