Двоичная система в школе

Обновлено: 02.07.2024

познакомить с понятиями двоичная система счисления, двоичное кодирование, формировать представления о позиционных системах счисления .

Задачи урока:

расширить представление обучающихся о позиционных системах счисления;

сформировать навыки перевода целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную и из десятичной системы счисления в двоичную;

развитие умений анализировать полученные результаты.

Личностные УУД:

личностное, профессиональное, жизненное самоопределение;

смыслообразование, то есть установление учащимися связи между целью учебной деятельности и её мотивом.

Регулятивные УУД:

целеполагание, как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, того, что ещё неизвестно;

планирование – определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

прогнозирование – предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

оценка – выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения;

Коммуникативные УУД:

планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками - определение цели, функций участников, способов взаимодействия;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

Познавательные УУД:

самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Организационный момент:

Я рада нашей встречи с Вами

Надеюсь будем мы друзьями.

Друг другу помогайте,

В мир знаний смело Вы шагайте!

Я хотела бы, чтобы девизом нашего урока стали слова:

С малой удачи начинается большой успех.

Повторение и обобщение предыдущих знаний

Разминка для ума (ребята отвечают на вопросы):

Действие производимое с клавишей (нажатие)

Ноль или единица в информатике (бит)

Символ - разделитель (пробел)

Простейший прибор для вычислений (счеты)

Гибкий магнитный диск (дискета)

Так называют специалистов в своей области (ас)

Взломщик компьютерных программ (хакер)

Печатающее устройство (принтер)

Указатель местоположения на экране (курсор)

Место хранения информации (память)

Всемирная глобальная сеть (Интернет)

Карманное вычислительное устройство (калькулятор)

Подготовка к восприятию нового материала, мотивация

Сегодня на уроке вы имеете возможность показать свои знания не только по информатике, но и по математике.

Вопросы ученикам:

1. С каким универсальным техническим устройством мы работаем на уроках информатики? (Это устройство называется компьютер).

2. Для чего была изобретена ЭВМ? (ЭВМ изобретена для работы с числами).

3. Зачем нужны числа? (Для практических вычислений)

4. На каком школьном учебном предмете вас учат работать с числами?

(С числами работаем на математике).

5. Сколько цифр используется для представления чисел? (10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

6. Какие сигналы используются в компьютере и как они обозначаются?

(включено, выключено; 0,1)

7. Сколько цифр используется? (Используется 2 цифры: 0 и 1).

8. Какая это система счисления? (Это двоичная система счисления).

- Предположите, какая тема нашего урока. Итак, тема сегодняшнего нашего урока звучит: “Двоичная система счисления”

Что вы знаете о системе счисления? ( Вычерчивание кластера)

Как вы понимаете, информация о системах счисления этим не исчерпывается.

Исходя из этого, давайте попытаемся с вами определить цели урока

4. Усвоение новых знаний

Система счисления – это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на два класса:

позиционные – количественное значение каждой цифры зависит от ее место положения (позиции) в числе;

непозиционные – цифры не меняют своего количественного значения при изменении их положения в числе.

Я, думаю, вы задались вопросом. А для чего нам нужны системы счисления? Я хочу вам, ответь на этот вопрос, все компьютерное программирование строится по принципу двоичного кодирования. Сегодня на уроке мы познакомимся с принципом двоичного кодирования и научимся переводить числа из десятичной системы счисления в произвольную.

Для того, что бы перейти к двоичной системе счисления мы сначала поговорим об операциях с 10 системой счисления. А именно разложение на разрядные единицы числа 444

444 = 400 + 40 + 4

Но мы можем применить и другую запись разложения числа на разряды:

4 * 10 2 + 4 * 10 1 + 4 * 10 0 - эта запись называется развернутой формой записи числа

Давайте закрепим, записав в развернутой форме число 245: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 5 * 10 0 , именно эту запись мы применяем в информатике.

Вспомнив десятичную систему счисления мы переходим к двоичной системе и переводу числа записанного в двоичной системе в десятичную. Для этого познакомимся с алгоритмом перевода из двоичной системы в десятичную.

Алгоритм перевода чисел из двоичной системы в десятичную

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа .

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

Запишите в развернутой форме двоичное число 1001001 2 = 1*2 6 +0*2 5 +0*2 4+ 1*2 3 +0*2 2 +0*2 1+ 1*2 0 = 64+8+1=73 10

Выполните в парах задание:

Переведите в десятичную систему счисления числа 11101 2 , 10101 2 , 11100 2 ,

Проверьте правильность выполнения задания на доске (на обратной стороне)

11101 2 =1*2 4+ 1*2 3 +1*2 2 +0*2 1+ 1*2 0 =16+8+4+1=29 10

10101 2 =1*2 4+ 0*2 3 +1*2 2 +0*2 1+ 1*2 0 =16+4+1=21 10

11100 2 =1*2 4+ 1*2 3 +1*2 2 +0*2 1+ 0*2 0 =16+8+4=28 10

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77.

А сейчас проведем с вами физкультминутку:

Прочитайте задание, постарайтесь определить в какой системе счисления оно записано, выполните упражнения необходимое количество раз:

Потянись, следя глазами, десятью руками к солнцу.

Раз одиннадцать, не меньше, влево-вправо наклоняйся

Обернись, расставив руки, сотню раз к дверям, к оконцу.

И, заняв за партой место, делом дальше занимайся.

Систематизация знаний

А теперь давайте посмотрим, получиться ли у вас перевести самостоятельно. Обратите внимание на ваших столах лежат карточки с заданиями, но так же есть свободные столы, где тоже есть карточки. Ваша задача: записать номер карточки, решить задание, пересесть на свободное место. За 5 минут постараться решить правильно как можно больше заданий.

№ 12 1100110 = 104

Взаимопроверка

Время вышло. Займите свои места, обменяйтесь тетрадями, Внимание на доску: от вашей внимательности и объективности зависит оценка, которую вы поставите своему соседу по парте.

Работа в группах

Задание: нарисуйте по точкам Робота.

Пояснение к заданию: каждая координата точки записана в двоичной системе координат. Вам надо перевести координаты точек в десятичную систему счисления и, применяя знания по математике, построить точки на системе координат, соединить их. Точки одного объекта обозначены одной буквой.

Система счисления – это совокупность правил для записи чисел.

Цифры – знаки, c помощью которых записываются числа.

Алфавит – множество всех цифр, используемых для записи чисел.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа.

Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

Алфавит десятичной системы состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число, записанное в десятичной системе счисления, в развернутой форме записывается в виде суммы степеней 10 с коэффициентами-цифрами, используемыми в свернутой форме записи этого числа.

Сегодня мы познакомимся с двоичной системой счисления – позиционной системой счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

Рассмотрим перевод целых чисел, представленных в двоичном коде, в десятичную систему счисления.

Число, записанное в двоичной системе счисления, в развернутой форме записывается в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами, используемыми в свернутой форме записи этого числа.

А теперь вы узнаете, как можно получить двоичный код (записать в двоичной системе счисления) любое целое десятичное число.

Для этого нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на два до тех пор, пока не получится частное, равное нулю.

Запись исходного числа в двоичной системе счисления составляется из полученных остатков, выписываемых последовательно справа налево.

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании очень простых таблиц сложения и умножения, которым может позавидовать каждый первоклассник!

Арифметические операции в двоичной системе счисления осуществляются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Рассмотрим операцию сложения.

В двоичной системе счисления один плюс один – это один-ноль, поэтому ноль остается в младшем разряде, а единица переносится в старший разряд.

Операция умножения в двоичной системе счисления сводится к сдвигам множителя и сложениям. Понаблюдайте, как это происходит, на примере.

Посмотрите, как происходит двоичное вычитание. При вычитании из нуля единицы занимаем единицу в старшем разряде.

Сегодня на уроке мы познакомились с двоичной системой счисления, научились переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную и из десятичной системы счисления в двоичную.

Этих знаний и умений достаточно, чтобы объяснить секрет чудесной таблицы.

Вот так таблица будет выглядеть, если записать содержащиеся в ней числа в двоичной системе счисления.

В строке I записаны все числа, в двоичном изображении которых есть единицы первого разряда (1); в строке II записаны все числа, у которых есть единицы второго разряда (2); в строке III — числа, имеющие единицы третьего разряда (4), и в строке IV — числа, имеющие единицу четвертого разряда (8).

Если задуманное вами число есть, например, только в строках IV и II, то оно может быть представлено суммой 8 и 2. Следовательно, это 10.

Сегодня на уроке мы познакомились с двоичной арифметикой – узнали, как выполняются арифметические операции с двоичными числами. Вы убедились, что все происходит по тем же правилам, что и в привычной нам десятичной системе счисления.

Вся компьютерная техника построена на использовании двоичных кодов: с их помощью представляют, хранят, обрабатывают и передают по компьютерным сетям самые разные виды информации!

Кто-то только входит в IT-мир, кто-то объясняет информатику своему чаду.

Довольно быстро вы обнаружите, что не так-то просто объяснить, как работает двоичный счёт.

Это вам очевидно, что после 11 идёт 100, а новичку это ещё долго может быть непонятно.

Так вот, чтобы увеличить скорость понимания, мы решили сделать дидактический материал.

Проблема

То же самое касается школьных методов перевода: во-первых, методы эти академически сухи, во-вторых, не интуитивны — например, не очевидно, почему после каскадного деления на 2 нужно ставить биты задом наперёд.

А если непонятно, то и не интересно. А если нет интереса, то и запоминается с трудом.

Мы это всё учли, и решили сделать интересное и постепенное объяснение.

Что мы предлагаем

Далее, мы решили попробовать совсем не школьный метод — объяснение двоичного счёта на пальцах: это когда загнутый палец это 0, а разогнутый это 1.

Провокативно? Да. Запоминается? 100%.

А уже потом с помощью анимации объяснить идею перевода прямо на пальцах, и потом опять же на пальцах пересчитать число 132 в средние пальцы уже на обеих руках.

На десерт показываем, где двоичная и 16-ричная системы применяется в реальной жизни.

Двоичная система — это например QR-коды вокруг нас.

А 16-ричная система это в основном коды цветов в CSS и хеши разных стилей, от MD5 до UUID.

У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Ещё в 19 в. у многих племён Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа: 3 — два-один, 4 — два-два, 5 — два-два-один и 6 — два-два-два. О всех числах, больших 6, говорили: “много”, не индивидуализируя их.

Египтяне впервые ввели десятичную систему счисления, правда без позиционного обозначения. В развитии математики в государствах ислама получила распространение десятичная позиционная система счисления с применением нуля, ведущая своё происхождение от индийской математики. Возникновение десятичной системы счисления связано со счётом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 12 (счёт дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre-vingts, то есть буквально четыре-двадцать, означает 80 , 40, 60 и др.

Вавилонские математики широко пользовались созданной ещё шумерами шестидесятеричной позиционной системой счёта; на основе этой системы были составлены различные вычислительные таблицы: деления и умножения чисел, квадратов и кубов чисел и их корней (квадратных и кубических).

1 обычно используют следующий алгоритм: 1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению; 2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P . Перевод чисел из 2, 8, 16 системы счисления. При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления " width="640"

Перевод чисел в 2, 8, 16 системы счисления

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю.
Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .

Перевод чисел из 2, 8, 16 системы счисления.

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления

Системы счисления анатомического происхождения

Единичная Загнутый палец
Десятичная Пальцы обеих рук
Пятеричная Пальцы одной руки
Двенадцатеричная Фаланги 4 пальцев
Двадцатеричная Пальцы рук и ног

Алфавитные системы счисления

Славянская, Древнеармянская , Древнегрузинская, Древнегреческая (Ионическая)

Двоичная, Восьмеричная, Шестнадцатеричная

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Системы счисления

Непозиционные

Позиционные

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе.

В непозиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от её позиции в числе

XI (11) дописывая цифру справа от числа, прибавляем её

IX (9) дописывая цифру слева от числа, отнимаем её

Системы счисления

Позиционные

Непозиционные

В позиционных СС основание системы равно количеству цифр (знаков в её алфавите) и определяет во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях

Алфавит системы счисления

Если взять правило, по которым строятся числа в десятичной системе счисления, заменив основание 10 на натуральное число N , можно построить позиционную систему счисления с основанием N.

Читайте также: