Диагональный метод кантора кратко

Обновлено: 02.07.2024

Менее формально, для универсальной функции должно выполняться следующее: "сечение" функции [math] U_n [/math] является вычислимой функцией и все вычислимые функции одного аргумента встречаются среди [math]U_n[/math] (отсюда универсальность). Универсальная функция нужна, например, для того, чтобы показать, что существует перечислимое неразрешимое множество (на самом деле это множество таких [math] n [/math] , для которых [math] U(n, n) [/math] определено).

Аналогично определяется универсальная функция для класса всюду определенных вычислимых функций одного аргумента.

Для класса всюду определенных вычислимых функций одного аргумента не существует всюду определенной вычислимой универсальной функции.

Отметим, что функция [math]u(n) = U(n, n)[/math] называется диагональной (отсюда и пошло название метода).

В. А. Успенский Лекции о вычислимых функциях — М.: ГИФМЛ, 1960, с. 203

Эта статья посвящена концепции множеств и теории чисел. Не следует путать с диагонализацией матрицы. См. Диагонализацию (значения) для нескольких других вариантов использования этого термина в математике.

Иллюстрация диагонального аргумента Кантора (в основании 2) для существования несчетных множеств . Последовательность внизу не может встречаться в перечисленных выше последовательностях.

Бесконечное множество может иметь такую же мощность , как надлежащее подмножество самого по себе, как изображенным биекциям е ( х ) = 2 х из натуральных к четным числам демонстрирует. Тем не менее, как показывает диагональный аргумент Кантора, существуют бесконечные множества различной мощности.

В теории множеств , диагональ Кантора , также называемый диагонализация аргумент , то диагональная слэш аргумент , то анти-диагональный аргумент , то диагональный метод , и диагонализация доказательство Кантора , был опубликован в 1891 году Георгом Кантором как математическое доказательство , что существуют бесконечные множества которое нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с бесконечным множеством натуральных чисел . Такие множества теперь известны как несчетные множества , и размер бесконечных множеств теперь рассматривается в рамках теории кардинальных чисел, которую начал Кантор.

Диагональный аргумент не был первым доказательством Кантора несчетности действительных чисел , которое появилось в 1874 году. Однако он демонстрирует общую технику, которая с тех пор использовалась в широком диапазоне доказательств, включая первую теорему Геделя о неполноте и ответ Тьюринга. к Entscheidungsproblem . Аргументы Диагонализация часто также является источником противоречий , как парадокс Рассела и парадокс Ричарда .

СОДЕРЖАНИЕ

Бесчисленное множество

В своей статье 1891 года, Кантор рассмотрел множество T всех бесконечных последовательностей из двоичных цифр (т.е. каждая цифра равна нулю или один). Он начинает с конструктивного доказательства следующей теоремы:

Если s ₁ , s ₂ ,…, s _n ,… - любое перечисление элементов из T , то мы всегда можем построить элемент s из T, который не соответствует ни одному s _n в перечислении.

Доказательство начинается с перечисления элементов из T , например:

s ₁ =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	. )
s ₂ =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	. )
s ₃ =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	. )
s ₄ =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	. )
s ₅ =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	. )
s ₆ =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	. )
s ₇ =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	. )
.

Затем создается последовательность s , выбирая 1-ю цифру как дополнительную к 1-й цифре s ₁ (заменяя 0 s на 1 с и наоборот), 2-ю цифру как дополнительную ко 2-й цифре s ₂ , 3-ю цифру как комплементарная 3 цифры с ₃ -х , и в целом для каждого п , то п - й цифра в качестве дополнения к п й цифре с _п . В приведенном выше примере это дает:

с ₁	знак равно	( 0 ,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	. )
с ₂	знак равно	(1,	1 ,	1,	1,	1,	1,	1,	. )
с ₃	знак равно	(0,	1,	0 ,	1,	0,	1,	0,	. )
с ₄	знак равно	(1,	0,	1,	0 ,	1,	0,	1,	. )
с ₅	знак равно	(1,	1,	0,	1,	0 ,	1,	1,	. )
с ₆	знак равно	(0,	0,	1,	1,	0,	1 ,	1,	. )
с ₇	знак равно	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0 ,	. )
.
s	знак равно	( 1 ,	0 ,	1 ,	1 ,	1 ,	0 ,	1 ,	. )

По построению s отличается от каждого s _n , поскольку их n- е цифры различаются (выделено в примере). Следовательно, s не может встречаться в перечислении.

Основываясь на этой теореме, Кантор затем использует доказательство от противного, чтобы показать, что:

Множество T несчетно.

Доказательство начинается в предположении , что T является счетным . Тогда все его элементы можно записать в виде перечисления s ₁ , s ₂ , . s _n , . Применение предыдущей теоремы к этому перечислению дает последовательность s, не принадлежащую перечислению. Однако это противоречит тому, что s является элементом T и, следовательно, принадлежит перечислению. Это противоречие означает, что исходное предположение неверно. Следовательно, T несчетно.

Действительные числа

Инъекция из T в R осуществляется путем преобразования двоичных строк в T в десятичные дроби , например преобразования t = 0111 . в десятичную дробь 0,0111 . Эта функция, определяемая как f ( t ) = 0. t , является инъекция, потому что она сопоставляет разные строки с разными числами.

Построить биекцию между T и R немного сложнее. Вместо преобразования 0111 . в десятичное число 0,0111 . его можно преобразовать в число с основанием b : 0,0111 . _b . Это приводит к семейству функций: f _b ( t ) = 0. t _b . Функции f _b ( t ) являются инъекционными, за исключением f ₂ ( t ) . Эта функция будет изменена , чтобы произвести взаимно однозначное соответствие между Т и R .

Эта конструкция использует метод, разработанный Кантором, который был опубликован в 1878 году. Он использовал его для построения взаимно однозначного соответствия между закрытым интервалом [0, 1] и иррациональными числами в открытом интервале (0, 1). Сначала он удалил счетное бесконечное подмножество из каждого из этих множеств, так что между оставшимися несчетными множествами существует взаимно однозначное соответствие. Поскольку существует взаимное соответствие между счетно бесконечными подмножествами, которые были удалены, объединение двух взаимно однозначно приводит к взаимному соответствию между исходными наборами.

Метод Кантора можно использовать для изменения функции f ₂ ( t ) = 0. t ₂ для создания взаимно однозначного соответствия от T до (0, 1). Поскольку некоторые числа имеют два двоичных разложения, f ₂ ( t ) даже не инъективен . Например, f ₂ (1000…) = 0,1000 . ₂ = 1/2 и f ₂ (0111…) = 0,0111 . ₂ = 1/4 + 1/8 + 1/16 +… = 1/2 , поэтому и 1000 . и 0111 . отображаются на одно и то же число 1/2.

Для того, чтобы изменить е ₂ ( т ) , заметим , что это биекция для счетного подмножества (0, 1) и счетного подмножества , кроме Т . Это не биекция для чисел в (0, 1), которые имеют два двоичных разложения . Они называются двоичными числами и имеют вид m / 2 n, где m - нечетное целое число, а n - натуральное число. Поместите эти числа в последовательность: r = (1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, . ). Кроме того, f ₂ ( t ) не является взаимно однозначным соответствием (0, 1) для строк в T, появляющихся после двоичной точки в двоичных разложениях 0, 1 и чисел в последовательности r . Поместите эти окончательно константные строки в последовательность: s = ( 000 . 111 . 1 000 . 0 111 . 01 000 . 00 111 . 11 000 . . 10 111 . . ). Определите биекцию g ( t ) от T до (0, 1): если t - n- я строка в последовательности s , пусть g ( t ) будет n- м числом в последовательности r ; в противном случае g ( t ) = 0. t ₂ .

Чтобы построить биекцию от T к R , начните с касательной функции tan ( x ), которая является биекцией от (−π / 2, π / 2) к R (см. Рисунок справа). Затем заметьте, что линейная функция h ( x ) = π x - π / 2 является биекцией из (0, 1) в (−π / 2, π / 2) (см. Рисунок слева). Сложная функция тангенс ( ч ( х )) = тангенс (π х - π / 2) является биекцией из (0, 1) в R . Компоновка этой функции с г ( т ) производит функция тангенса ( ч ( г ( т ))) = тангенс (π г ( т ) - π / 2) , который представляет собой взаимно однозначное соответствие от Т до R .

Общие наборы

Иллюстрация обобщенного диагонального аргумента: множество T = < n ∈ℕ: n ∉ f ( n )> внизу не может находиться где-либо в диапазоне f : ℕ → P (ℕ). Пример отображения f соответствует примеру перечисления s на рисунке выше .

Обобщенная форма диагонального аргумента был использован Кантором , чтобы доказать теорему Кантора : для каждого множества S , то силовой агрегат из S , то есть, множество всех подмножеств из S (здесь записывается в виде P ( S )) - не может быть в биекция с самой S. Это доказательство происходит следующим образом:

Пусть f - любая функция из S в P ( S ). Достаточно доказать, что f не может быть сюръективным . Это означает , что некоторые члены Т из Р ( S ), то есть некоторое подмножество S , не является в изображении из F . В качестве кандидата рассмотрим набор:

Для каждого s в S либо s находится в T, либо нет. Если ы в Т , то по определению T , ев не в е ( ы ), так что Т не равна F ( ов ). С другой стороны, если s не находится в T , то по определению T , s находится в f ( s ), так что снова T не равно f ( s ); ср. рисунок. Более полное изложение этого доказательства см. В теореме Кантора .

Последствия

Заказ кардиналов

Кантор определяет отношение порядка мощностей, например, и , в терминах существования инъекций между базовыми множествами, и . Аргумент в предыдущем абзаце затем доказал, что такие множества несчетны, то есть , и мы можем встроить натуральные числа в функциональное пространство, чтобы оно у нас было . В контексте классической математики , это исчерпывает возможности и диагональное аргумент , таким образом , может быть использовано для установления , что, к примеру, хотя оба рассматриваемых множества являются бесконечными, существует на самом деле более бесконечные последовательности единиц и нули , чем есть натуральные числа. Регенты результат , то также следует , что понятие множества всех множеств противоречиво: Если S были множеством всех множеств, то P ( S ) будет в то же время быть больше , чем S и подмножество S . | S | | Т | S Т N → < 0 , 1 >> \ к \ > ¬ ( | N → < 0 , 1 >| ≤ | N | ) > \ к \ | \ leq | > |)> | N | | N → < 0 , 1 >| <\ displaystyle | > |

Принимая во внимание закон исключенного среднего , каждое подсчетное множество (свойство с точки зрения сюръекций) также уже является счетным.

Открытые вопросы

Диагонализация в более широком контексте

Парадокс Рассела показал, что наивная теория множеств , основанная на схеме неограниченного понимания , противоречива. Обратите внимание, что есть сходство между построением T и множеством в парадоксе Рассела. Следовательно, в зависимости от того, как мы модифицируем схему понимания аксиом, чтобы избежать парадокса Рассела, такие аргументы, как несуществование набора всех наборов, могут или не могут оставаться действительными.

Аналоги диагонального аргумента широко используются в математике для доказательства существования или отсутствия определенных объектов. Например, обычное доказательство неразрешимости проблемы остановки - это, по сути, диагональный аргумент. Кроме того, диагонализация изначально использовалась, чтобы показать существование классов произвольной сложности, и сыграла ключевую роль в первых попытках доказать, что P не равно NP .

Версия для новых основ Куайна

Приведенное выше доказательство не соответствует теории множеств " Новые основы " У. В. Куайна . В NF схема понимания наивных аксиом модифицируется, чтобы избежать парадоксов, вводя своего рода "локальную" теорию типов . В этой схеме аксиом

это не набор - то есть, не удовлетворяет схему аксиом. С другой стороны, мы могли бы попытаться создать модифицированный диагональный аргумент, заметив, что

это множество в NF. В этом случае, если P ₁ ( S ) - это множество одноэлементных подмножеств S, а f - предполагаемая биекция из P ₁ ( S ) в P ( S ), можно использовать доказательство от противного, чтобы доказать, что | P ₁ ( S ) | Смотрите также

В математике , диагональный аргумент или диагонального аргумента , был обнаружен немецким математиком Георгом Кантора и опубликован в 1891 году . Он позволил последнему дать вторую демонстрацию в не- счетности множества действительных чисел , более простых, по словам самого Кантора, чем первый , он был опубликован в 1874 году , и которые используются аргументы анализа, в частности, вложенные сегменты теорема . Диагональный аргумент эксплуатировался в более общих рамках Кантора в той же статье для его теоремы о мощности из множества частей набора .

Диагонали аргумент применит к отношениям или функциям (возможно частичной) с двумя аргументами на те же поле Е , или, что то же самое, функция к каждому элементу Е связывает функция , определенная на Е . Это по существу , использует диагональ из E × E : множество пар ( х , х ) для й в Е , отсюда и название.

Он был адаптирован для многих демонстраций. Парадоксы, которые сыграли роль в основании теории множеств, такие как парадокс Рассела (вдохновленный теоремой Кантора ), а также парадокс Ричарда, основаны на диагональных рассуждениях. Теорема о неполноте, которую Гёдель использовал для леммы существенной. Теория вычислимости широко используется, начиная с демонстрации неразрешимости проблемы остановки . Таким образом, диагональный аргумент стал классикой математических доказательств .

Резюме

Счетное и непрерывное

Мы можем полагаться на десятичную развертку действительных чисел. Из перечисления действительных чисел (что равносильно их нумерации) мы конструируем новое действительное число, n-й десятичный знак которого отличается от n-го десятичного знака n-го действительного числа в перечислении. Следовательно, эта новая реальность не может существовать ранее в этом перечислении. Десятичные знаки могут быть представлены в виде полубесконечной таблицы с двумя записями, n-я строка которой включает список десятичных знаков n-го действительного числа. Список извлеченных десятичных знаков читается по диагонали, отсюда и имя аргумента диагонали или диагонального аргумента .

Диагональный аргумент дает процесс построения на основе любого перечисления вещественных чисел числа, которое не фигурирует в перечислении, и, следовательно, имеет следствие, что никакое перечисление действительных чисел не является исчерпывающим.

Десятичное представление вещественного числа - это последовательность цифр. Аргумент действительно действителен для перечисления последовательностей целых чисел. В последнем случае это также несколько проще, так как не возникает проблема двойного представления десятичных знаков.

Несчетность реалов

Чтобы доказать, что несчетно , достаточно доказать несчетность подмножества [0, 1 [из, поэтому построить для любой счетной части D из [0, 1 [, элемент из [0, 1 [ не принадлежит D .

Поэтому пусть будет счетной частью [0, 1 [, пронумерованной с помощью последовательности r = ( r ₁ , r ₂ , r ₃ ,…) . Каждый член в этой последовательности имеет десятичную запись с бесконечным количеством цифр после десятичной точки (возможно, бесконечность нулей для десятичного числа), а именно:

r _i = 0, r _{i 1} r _{i 2} … r _в …

Теперь мы построим действительное число x в [0, 1 [, учитывая n-ю цифру после десятичной точки r _n . Например, для последовательности r :

r ₁ = 0, 0 4 0 5 4 4 0… r ₂ = 0, 1 4 2 3 0 1 2… r ₃ = 0, 8 3 1 5 0 3 6… r ₄ = 0, 3 2 2 0 4 3 6… r ₅ = 0, 1 4 0 7 3 1 6… r ₆ = 0, 9 9 2 7 8 4 8… r ₇ = 0, 0 4 0 5 1 2 0 … .

Вещественное число х строятся по данным его следующих знаки после запятой, например, правило: если п -й десятичного из г _п отличается от 4, то п -й десятичные из й равно 4, в противном случае п -й является 3 Например, с приведенной выше последовательностью правило дает x = 0, 4 3 4 4 4 3 4…

Число x явно находится в интервале [0, 1 [, но не может быть в последовательности ( r ₁ , r ₂ , r ₃ ,…) , потому что оно не равно ни одному из чисел в последовательности: оно не может быть равно к r _1, потому что первое десятичное число x отличается от десятичного числа r ₁ , то же самое для r _{2 с} учетом второго десятичного знака и т. д.

Неединственность записи десятичной дроби для ненулевых десятичных знаков (для этих чисел возможны две записи: одна со всеми десятичными знаками, равными 0, кроме конечного числа, другая со всеми десятичными знаками, равными 9, кроме конечного числа) не является ловушкой для предыдущего рассуждения, потому что число x не является десятичным, поскольку его десятичная запись бесконечна и содержит только цифры 3 и 4.

Канторовская демонстрация

В статье 1891 года, где он вводит это рассуждение, Кантор строит из любого перечисления последовательностей двух различных символов m и w новую последовательность, которая также включает только m и w и которая еще не была перечислена. Рассуждения в точности те, что описаны выше для действительных чисел, упрощенные тем фактом, что у нас есть только две цифры - мы можем взять 0 и 1 для m и w - и что на этот раз, поскольку мы имеем дело непосредственно с наборами, больше нет проблема двойного представления.

Доказательство очевидным образом обобщается на случай последовательностей элементов множества, состоящего более чем из двух элементов (конечных или бесконечных).

Таким образом, мы заключаем, что множество бесконечных последовательностей 0 и 1 не счетно. Однако это соответствует двоичной записи вещественных чисел в [0, 1]. Однако двоичная запись диадических чисел не уникальна, и если мы хотим адаптировать рассуждения к действительным числам, ничто не гарантирует, что построенное диагональное вещественное число не является диадическим: его двоичное развитие вполне может закончиться бесконечностью 0 или бесконечность 1.

Кантор не детализирует аргумент, но он также знает, что множество диадических действительных чисел счетно и что объединение двух счетных множеств счетно. Следовательно, он может вывести (более косвенным образом, чем в рассуждениях, указанных выше), что набор действительных чисел от 0 до 1 не подлежит счету.

Теорема кантора

Для этого достаточно показать, что для любой функции f из S в P (S) мы можем построить набор, которого нет в наборе изображений f . В самом деле, пусть A - множество таких элементов x из S , что x не принадлежит f (x) . Если бы существовал элемент a из S такой, что f ( a ) = A , мы бы получили противоречие и в случае, когда a принадлежит A , как и в противном случае. Следовательно, множество A не принадлежит образу f : это не может быть сюръективным.

Вот более "красочная" версия этого аргумента в случае, когда S - множество натуральных чисел:

«Или блокнот с любым количеством страниц. Мы нумеруем каждую страницу и на каждой из них записываем набор целых чисел (все разные), чтобы никогда не писать один и тот же набор дважды.
Мы говорим, что число N является обычным, если множество, записанное на странице N , не содержит N ; в противном случае, мы говорим , что N является экстраординарным . Предположим, что мы записали в эту тетрадь все возможные множества. Возникает вопрос: к какой категории принадлежит целое число, на странице которого мы написали набор обычных чисел? "

Вычислимость

Диагональные рассуждения конструктивны (мы также говорим, что они эффективны ). В случае последовательностей совершенно ясно, что если каждая из последовательностей перечисления генерируется вычислительным процессом, у нас есть процесс для вычисления диагональной последовательности. Это означает, что теоретически можно вычислить столько членов последовательности, сколько пожелает, единственными ограничениями являются материал, время и мощность вычислений.

Диагональные рассуждения, приведенные для действительных чисел, также остаются конструктивными. Предположим , что последовательность ( г _я ) действительных чисел между 0 и 1 эффективно дано нам десятичные разложения: у нас есть алгоритм , который можно вычислить, учитывая два целых числа я и п п -й десятичные того же развития г _я . Затем диагональный процесс позволяет вычислить действительное число, не принадлежащее этой последовательности (и даже счетное бесконечное число всех различных действительных чисел, откладывая на каждом шаге диагональное действительное число в начале списка, которое сдвигает диагонали). Мы могли бы легко адаптировать его для счетного ряда действительных чисел в целом.

Эффективность диагональных рассуждений сделала их одной из основ теории вычислимости , как для результатов несуществования, так и для доказательств алгоритмической неразрешимости , начиная с доказательства неразрешимости проблемы остановки и результаты существования, такие как теоремы Клини о неподвижной точке .

В очень близкой форме теоремы о неподвижной точке она также является ключевым аргументом первой теоремы Гёделя о неполноте (которая является логическим результатом неразрешимости): в этом случае лемма, которая позволяет показать существование предложения, которое влечет за собой собственную недоказуемость, которую, кроме того, часто называют леммой о диагонализации.

Непрерывная гипотеза

Точно так же вопрос о том, существует ли для любого бесконечного множества S набор мощности строго между кардиналом S и кардиналом множества частей S , приводит к гипотезе обобщенного континуума .

2. Если взять аксиомы с внутренним противоречием, то потом можно доказать, что угодно.

3. Актуальная бесконечность сосёт.

Математика — очень полезная для человеческой практики наука. Довольно тяжело найти ту научную или инженерную область, для которой бы не было одного или нескольких разделов математики, способных оказать оной существенную помощь.

Однако математика ценится не только за это. Ещё она — отличный способ упражнять ум, думать о странном, заглядывать в те уголки абстрактных закономерностей, куда даже додуматься заглянуть обычно весьма непросто.

Или как, например, соизмерить одно бесконечное с другим бесконечным? Осмысленна ли вообще такая процедура?

Что-то такое я слышал на самом первом курсе по матану.

Наличие краткого содержания для самых нетерпеливых не означало приглашения к комментариям по краткому содержанию.

В Барселоне, видимо, считают, что наука специально придумана, чтобы трахать людям мозг, а потому не надо нам этой вашей порнографии в нашем аэропорту.

Edited at 2020-02-07 07:31 (UTC)

Я не понимаю, вы усмотрели противоречие в том, что все натуральные конечны, но их всего счетное количество?

Рубрика "Разрешите доебаться" на проводе

> 1. …если последовательность такова, что начиная с какого-то шага результаты всех последующих шагов укладываются в какой-то отрезок…
2. …и, начиная с некоторого шага, длина этого отрезка только сокращается…
3. …и ни на каком шаге не прекратит сокращаться…
4. …и внутри этого отрезка всё время находится некоторое число…

В первом пункте "какой-то отрезок" без нудного математического уточнения про "меньше заранее заданного отрезка ненулевой длины", разве не получается, что отрезок от минус бесконечности до значения на произвольном шаге рассматриваемой последовательности удовлетворяет всем пунктам?

Кантор доказывает утверждение: какую бы биекцию между иррациональными и натуральными числами вы не устанавливали, я вам всегда укажу число, которое вы в своей нумерации пропустили. Отсюда следует, что такой биекции нет. Вы же говорите, что я вам сейчас предложу общее построение, при котором натуральные числа будут всегда взаимно однозначно отображены только на свою часть. И что из этого следует ? Кроме диагонального метода можно взять просто N N+1. Во втором множестве будет лишняя единица. Это все "неудачные" биекции, а вот N N - само оно. Я понимаю, что Вы хотите сказать, но.

> Кантор доказывает утверждение: какую бы биекцию между иррациональными и натуральными числами вы не устанавливали, я вам всегда укажу число, которое вы в своей нумерации пропустили.

Edited at 2020-02-11 06:10 (UTC)

Допустив существование множеств с актуально бесконечным количеством элементов, и назвав таковым множество натуральных чисел, мы автоматически разрешили натуральные числа с бесконечным количеством цифр - это цитата из статьи. Ниже там есть и обоснование необходимости рассмотрения натуральных чисел с бесконечным количеством цифр. Вот оно:
Предположим, что множество натуральных чисел бесконечно, но вот цифр в их десятичной записи может быть только конечное число. Конечное — это сколько? Две подойдёт? Тогда чисел всего 100 штук — от 0 (сочтём ноль для простоты натуральным) до 99. 100 цифр? Ну, Ok, тогда чисел всего 10^100. Какое бы ограничение мы ни назвали, всегда будет получаться лишь конечное количество чисел
Это рассуждение опровергает следующее утверждение: "Существует натуральное L такое, что для любого натурального n количество цифр в n не больше L". И да, такое утверждение действительно ложно. Но вот другое - "Для любого натурального n существует натуральное L такое, что количество цифр в n не больше L" - уже истинно. Эти два утверждения похожи, но смысл всё-таки несколько разный. Множество натуральных чисел бесконечно, но вот цифр в их десятичной записи может быть только конечное число - именно так, но не в том смысле, что существует некая общая для всех натуральных чисел верхняя граница количества цифр, а в том смысле, что у каждого натурального числа количество цифр в его десятичной записи конечно (у 512 - 3 цифры, у 100500 - 6 цифр, у каждого натурального числа какое-то своё количество цифр, но у всех - конечное).

Цифры справа от запятой, они же ничем не более особенные, чем цифры слева, а потому, если что-то возможно для цифр слева, то оно должно быть возможно и для цифр справа.

Читайте также: