Цилиндрическая система координат кратко

Обновлено: 02.07.2024

Цилиндрическая система координат с началом О , полярная ось А , а продольная ось L . Точка - это точка с радиальным расстоянием ρ = 4 , угловая координата φ = 130° , и высота z = 4 .

А цилиндрическая система координат это трехмерный система координат что указывает точку позиции на расстояние от выбранной опорной оси, направление от оси относительно выбранного опорного направления, и расстояние от выбранной базовой плоскости, перпендикулярной оси. Последнее расстояние задается как положительное или отрицательное число, зависящее от какой стороны от опорной плоскости обращена к точке.

В происхождение системы - это точка, в которой все три координаты можно принять за ноль. Это точка пересечения базовой плоскости и оси. цилиндрический или продольный оси, чтобы отличить ее от полярная ось, какой луч которая лежит в базовой плоскости, начиная с начала координат и указывая в исходном направлении. Другие направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальные линии.

Расстояние от оси можно назвать радиальное расстояние или радиус, а угловую координату иногда называют угловое положение или как азимут. Радиус и азимут вместе называются полярные координаты, поскольку они соответствуют двумерному полярная координата система в плоскости через точку, параллельную плоскости отсчета. Третью координату можно назвать рост или высота (если базовая плоскость считается горизонтальной), продольное положение, [1] или осевое положение. [2]

Цилиндрические координаты полезны в связи с объектами и явлениями, которые имеют некоторое вращательное движение. симметрия относительно продольной оси, например, поток воды в прямой трубе с круглым поперечным сечением, распределение тепла в металле цилиндр, электромагнитные поля произведенный электрический ток в длинную прямую проволоку, аккреционные диски в астрономии и так далее.

Содержание

Определение

Три координаты ( ρ , φ , z ) точки п определяются как:

В осевое расстояние или радиальное расстояние ρ это Евклидово расстояние от z - ось в точку п .
В азимут φ - угол между исходным направлением на выбранной плоскости и линией от начала координат до проекции п на самолете.
В осевая координата или рост z расстояние со знаком от выбранной плоскости до точки п .

Уникальные цилиндрические координаты

Как и в полярных координатах, та же точка с цилиндрическими координатами (ρ, φ, z) имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно (ρ, φ ± п×360°, z) и (−ρ, φ ± (2п + 1)×180°, z), где п любое целое число. Более того, если радиус ρ равен нулю, азимут произвольный.

В ситуациях, когда кому-то нужен уникальный набор координат для каждой точки, можно ограничить радиус до неотрицательный ( ρ ≥ 0 ) и азимут φ лежать в конкретном интервал охват 360 °, например [−180°,+180°] или [0,360°] .

Конвенции

Обозначения для цилиндрических координат неоднородны. В ISO стандарт 31-11 рекомендует (ρ, φ, z) , где ρ - радиальная координата, φ азимут, и z высота. Однако радиус также часто обозначают р или s , азимут на θ или т , а третью координату - на час или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) Икс , или любое письмо, зависящее от контекста.

В координатные поверхности цилиндрических координат (ρ, φ, z) . Красный цилиндр показывает точки с ρ = 2 , Синий самолет показывает точки с z = 1 , а желтой полуплоскостью показаны точки с φ = −60° . В z - ось вертикальная, а Икс - ось выделена зеленым. Три поверхности пересекаются в точке п с этими координатами (показаны в виде черной сферы); то Декартовы координаты из п примерно равны (1.0, −1.732, 1.0).

Цилиндрические координатные поверхности. Три ортогональных компонента, ρ (зеленый), φ (красный) и z (синий), каждый из которых увеличивается с постоянной скоростью. Точка находится на пересечении трех цветных поверхностей.

В конкретных ситуациях и во многих математических иллюстрациях измеряется положительная угловая координата. против часовой стрелки если смотреть из любой точки с положительной высотой.

Преобразования системы координат

Цилиндрическая система координат - одна из многих трехмерных систем координат. Для преобразования между ними можно использовать следующие формулы.

Декартовы координаты

Для преобразования между цилиндрическими и декартовыми координатами удобно предположить, что базовая плоскость первых является декартовой. ху -плоскость (с уравнением z = 0 ), а цилиндрическая ось - декартова z -ось. Тогда z -координата одинакова в обеих системах, и соответствие между цилиндрическими (ρ,φ,z) и декартово (Икс,у,z) такие же, как и для полярных координат, а именно

в одном направлении, и

в другом. Функция arcsin является обратной функцией синус функция, и предполагается, что она возвращает угол в диапазоне [− π / 2 ,+ π / 2 ] = [−90°,+90°] . Эти формулы дают азимут φ В диапазоне [−90°,+270°] . Для других формул см. артикль в полярных координатах.

Сферические координаты

Сферические координаты (радиус р , высота или наклон θ , азимут φ ), могут быть преобразованы в цилиндрические координаты с помощью:

θ высота:	θ склонность:
ρ = р потому что ⁡ θ φ = φ z = р грех ⁡ θ < Displaystyle < begin rho & = r cos theta varphi & = varphi z & = r sin theta end >>	ρ = р грех ⁡ θ φ = φ z = р потому что ⁡ θ < Displaystyle < begin rho & = r sin theta varphi & = varphi z & = r cos theta end >>

Цилиндрические координаты могут быть преобразованы в сферические координаты:

θ высота:	θ склонность:
р = ρ 2 + z 2 θ = арктан ⁡ ( z ρ ) φ = φ < displaystyle < begin r & = < sqrt < rho ^ + z ^ >> theta & = arctan left ( < tfrac < rho>> right) varphi & = varphi end >>	р = ρ 2 + z 2 θ = арктан ⁡ ( ρ z ) φ = φ < displaystyle < begin r & = < sqrt < rho ^ + z ^ >> theta & = arctan left ( < tfrac < rho> > right) varphi & = varphi end >>

Элементы линии и объема

Увидеть кратный интеграл для деталей интегрирования объема в цилиндрических координатах, и Del в цилиндрических и сферических координатах за векторное исчисление формулы.

Во многих задачах, связанных с цилиндрическими полярными координатами, полезно знать элементы линии и объема; они используются при интеграции для решения проблем, связанных с путями и объемами.

В элемент поверхности на поверхности постоянного радиуса ρ (вертикальный цилиндр)

Элемент поверхности на поверхности постоянного азимута φ (вертикальная полуплоскость)

Элемент поверхности на поверхности постоянной высоты z (горизонтальная плоскость)

В дель оператор в этой системе приводит к следующим выражениям для градиент, расхождение, завиток и Лапласиан:

Цилиндрические гармоники

Решения Уравнение лапласа в системе с цилиндрической симметрией называются цилиндрические гармоники.

$<\displaystyle z> Цилиндрической системой координат называют трёхмерную полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой$
), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

$<\displaystyle P> Точка$
даётся как " width="" height="" />
. В терминах прямоугольной системы координат:

При использовании в физических науках и технике международный стандарт .

$<\displaystyle (r,\;\theta ,\;z)> Некоторые математики используют$
.

Содержание

Переход к другим системам координат

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

$<\displaystyle <\begin x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end>>$

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

$<\displaystyle <\begin \rho =+y^>>,\\\varphi =\mathrm \left(>\right),\\z=z.\end>>$

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

$$x=\rho \cos\varphi,\; y=\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq 0,\,\,\,0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Обобщённые полярные координаты.$$ x=a\rho\cos\varphi,\; y=b\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq0, 0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Цилиндрические координаты:

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат , являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

$x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi,z=h,$ $ (\rho\ge 0,\, 0\le\varphi\le 2\pi,\, -\infty

Сферические координаты.

Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел r , φ и θ, где r – расстояние от начала координат до точки M ( ); φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох ( ); θ – угол между положительным направлением оси Oz и радиус-вектором точки М ( ).

$$\left\ x=r\cos\varphi\cos\theta,\\ y=r\sin\varphi\cos\theta,\\ z=r\sin\theta,\end\right.$$

$ (r\geq 0,\;0\leq\varphi \leq 2\pi,\; -\frac<\pi>\le\theta\le\frac<\pi>).$

Обобщённые сферические координаты.

$$ \left\ x=ar\cos^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ y=br\sin^\alpha\varphi\cos^\beta\theta,\\ z=cr\sin^\beta\theta, \end \right. $$

Цилиндрическая система координат

Рис. 1. Цилиндрические координаты точки M.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами описывается формулами

Поверхность, на которой одна из координат сохраняет постоянное значение, называется координатной поверхностью .

Рис. 2. Координатные поверхности цилиндрической системы координат:
круговой цилиндр (ρ = const);
полуплоскость (φ = const);
плоскость (z = const).

Линия, вдоль которой изменяется только одна координата, а остальные координаты остаются неизменными, называется координатной линией .

Рис. 3. Координатные ρ-линии (лучи) и φ-линии (окружности) цилиндрической системы координат.
Координатная z-линия (прямая) направлена перпендикулярно плоскости 0xy.

В цилиндрической системе координатные линии, проходящие через любую точку M пространства, пересекаются под прямым углом. Такие системы координат называются ортогональными .
Единичный касательный вектор к координатной линии в точке М, направленный в сторону возрастания координаты, называется ортом в точке М. Поскольку цилиндрическая система координат является ортогональной, то в любой точке пространства векторы и попарно ортогональны.

Рис. 4. Орты и цилиндрической системы координат.
Вектор направлен перпендикулярно плоскости 0xy.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка даётся как . В терминах прямоугольной системы координат:

$(\rho,\;\varphi,\;z)$

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения .

$(r,\;\theta,\;z)$

Некоторые математики используют .

Содержание

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

$\begin x=\rho\cos\varphi, \\ y=\rho\sin\varphi, \\ z=z. \end$

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

$\begin \rho=\sqrt, \\ \varphi=\mathrm\left(\dfrac\right), \\ z=z. \end$

$J=\rho.$

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

См. также

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 15 мая 2011.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Цилиндрическая система координат" в других словарях:

цилиндрическая система координат — 4.30 цилиндрическая система координат (cylindrical coordinate system): Трехмерная система координат, описывающая положение точки в пространстве с помощью трех координат радиуса, азимута и высоты. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

цилиндрическая система координат — cilindrinė koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. cylindrical co ordinates system vok. Zylinderkoordinatensystem, n rus. цилиндрическая система координат, f pranc. système de coordonnées cylindriques, m … Fizikos terminų žodynas

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия

СИСТЕМА КООРДИНАТ — совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… … Большая политехническая энциклопедия

Полярная система координат — Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах. Полярная система координат двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами полярным углом и полярны … Википедия

Сферическая система координат — Точка имеет три декартовых и три сферических координаты Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с д … Википедия

Ортогональная система координат — Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат… … Википедия

Цилиндрические шахматы — Цилиндрическая доска Цилиндрические шахматы вариант игры в шахматы, в котором игровая доска считается развёрткой цилиндра. Суще … Википедия

Цилиндрические параболические координаты — Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра. Цилиндрические параболические координаты (координаты параболи … Википедия

2: — Терминология 2: : Активирующее излучение Излучение, после воздействия которого материал становится радиоактивным Определения термина из разных документов: Активирующее излучение 4.27 антропометрическая точка (anthropometric landmark): Контрольная … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Читайте также: