Числовые характеристики непрерывных случайных величин кратко

Итак, функция распределения имеет следующий вид:

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f ( x )- первую производную от функции распределения F ( x ).

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( a ; b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b .

Пример: Задана плотность вероятностей случайной величины Х.

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Свойства плотности распределения вероятностей:

Свойство 1: Плотность распределения- неотрицательная функция: f ( x ) > 0.

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен 1: .

Геометрический смысл этого свойства заключается в следующем: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то .

Часто, для того чтобы характеризовать случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.

5. Математическое ожидание.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х- это величина , где x_i- значения случайной величины, p_i- их вероятности, n - число возможных значений случайной величины.

Пример: Найдите математическое ожидание, зная закон распределения дискретной случайной величины.

Пусть непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f( x )$. Все возможные значения случайной величины $X$ принадлежат промежутку $\left[ < a,b >\right]$.

Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины $X$ называется определенный интеграл. \begin \label < eq6 >M( X )=\int\limits_a^b < xf( x )dx >\end

Если $X$ принимает значения на $( < -\infty ,\infty >)$, то \begin \label < eq7 >M( x )=\int\limits_ < -\infty >^\infty x f( x )dx \end

Опр Дисперсией непрерывной случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения. \begin \label < eq8 >D( x )=\int\limits_a^b < ( < X-M( x ) >)^2f( x )dx > \end

Если $X$ принимает значения на $( < -\infty ,\infty >)$ \begin \label < eq9 >D( x )=\int\limits_ < -\infty >^\infty < ( < x-M( x ) >)^2f( x )dx > \end

Опр Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины \begin \label < eq10 >\sigma ( x )=\sqrt < D( x ) >\end

Замечание. Для вычисления дисперсии удобной является формула \begin \label < eq11 >D( x )=\int\limits_a^b < x^2f( x )dx >-M^2( x ) \end

Пример. Найти $M( x )$ и $D( x )$, если с.в. $X$ задана функцией распределения $M( X )=\int\limits_a^b < xf( x )dx >$

Далее:

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Упрощение логических функций

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Теорема о заведомо полныx системаx

Вычисление площадей плоских областей

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Теорема о предполных классах

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Равносильные формулы алгебры высказываний

Лемма о построении множества $[F]_$

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

Огравление $\Rightarrow $

28 сентября 2016, 22:41 проектирование км, кмд, кж Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] 0 7620 0

Если случайная величина x может принимать любые значения в интервале (a;b), она называется непрерывной случайной величиной .
Функция \(p(x)\) от значения случайной величины, равная вероятности получения этого значения в испытании, называется плотностью распределения .
Свойства плотности распределения: \begin p(x)\geq 0\\ \int_<-\infty>^<+\infty>p(x)dx=1\ \text <(условие нормировки)>\end

п.2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию, которая определяет вероятность, что значение случайной величины x не превышает граничное значение t: $$ F(t)=P(x\leq t)=\int_<-\infty>^t p(x)dx $$ Вероятность для случайной величины попасть в интервал \(c\leq x\leq d\) определяется интегралом от плотности вероятности: $$ P(c\leq x\leq d)=\int_^d p(x)dx=F(d)-F(c) $$ и равна разности значений функции распределения на концах интервала.

Для непрерывной случайной величины график \(F(x)\) является монотонно возрастающей гладкой кривой. Область значений \(F(x)\in [0;1]\).
Предел \(F(x)\) слева равен 0, предел справа равен 1: $$ \lim_F(x)=0;\ \ \lim_F(x)=1 $$ Например:
Найдем функцию распределения для равномерного распределения с плотностью: $$ p(x)= \begin \frac,\ x\in [a;b]\\ 0,\ x\notin [a;b] \end $$ Для всех \(x\lt a\) $$ F(x)=\int_<-\infty>^a p(x)dx=\int_<-\infty>^a\cdot dx=0 $$ Для всех \(a\leq x\leq b\) \begin F(t)=0+\int_^t p(x)dx=\int_^t\frac\cdot dx=\frac\cdot x|_^t=\frac\\ F(x)=\frac \end Для всех \(x\gt b\) \begin F(x)=F(b)+\int_^ <+\infty>p(x)dx=1+0=1 \end Получаем: $$ F(x)= \begin 0,\ x\lt a\\ \frac,\ x\in [a;b]\\ 1,\ x\gt b \end $$ Графики плотности распределения и функции распределения для равномерно распределенной непрерывной величины:

п.3. Числовые характеристики непрерывного распределения

Числовыми характеристиками непрерывного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Если для дискретных распределений числовые характеристики определяются через суммы (см. §62 данного справочника), то для непрерывных распределений для этого используются интегралы.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины \(x\) с плотностью распределения \(p(x)\) равно интегралу: $$ M(X)=\int_<-\infty>^<+\infty>x\cdot p(x)dx $$

Дисперсия непрерывной случайной величины \(x\) с плотностью распределения \(p(x)\) равна интегралу: $$ D(X)=\int_<-\infty>^<+\infty>(x-M(x))^2\cdot p(x)dx=\int_<-\infty>^<+\infty>x^2\cdot p(x)dx-M^2(x) $$

Среднее квадратичное отклонение (СКО) непрерывной случайной величины – это корень квадратный от дисперсии: $$ \sigma(X)=\sqrt $$

п.4. Таблица непрерывных распределений, их параметров и числовых характеристик

п.5. Примеры

Пример 1. Непрерывная случайная величина x задана плотностью распределения: $$ p(x)= \begin Ax^2,\ x\in [0;2]\\ 0,\ x\notin [0;2] \end $$ Найдите множитель A, функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале \(\frac12\leq x\leq 1\)?

Находим множитель A из условия нормировки: \begin \int_<-\infty>^<+\infty>p(x)dx=\int_^Ax^2dx=1\\ A\cdot\frac|_^=\frac(2^3-0)=\frac=1\Rightarrow A=\frac38\\ p(x)= \begin \frac38 x^2,\ x\in [0;2]\\ 0,\ x\notin [0;2] \end \end График плотности распределения:

Функция распределения \(F(x)\) для \(x\lt 0\) равна 0, для \(x\gt 2\) равна 1.
Найдем \(F(x)\) в интервале \(x\in\left[0;2\right]\): \begin F(t)=\int_^p(x)dx=\frac38\int_^x^2dx=\frac38\cdot\frac|_^=\frac\Rightarrow F(x)=\frac\\ F(x)= \begin 0,\ x\lt 0\\ \frac,\ x\in [0;2]\\ 1,\ x\gt 2 \end \end График функции распределения:

Найдем математическое ожидание: \begin M(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x\cdot p(x)dx=\int_^x\cdot\frac38 x^2dx=\frac38\int_^x^3dx=\frac38\cdot\frac|_^=\frac\cdot 2^4=1,5 \end Найдем дисперсию: \begin D(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x^2\cdot p(x)dx-M^2(x)=\int_^x^2\cdot\frac38 x^2dx-1,5^2=\frac38\int_^x^4dx-1,5^2=\\ =\frac38\cdot\frac|_^-1,5^2=\frac\cdot 2^5-1,5^2=2,4-2,25=0,15 \end Найдем СКО: $$ \sigma(x)=\sqrt=\sqrt\approx 0,387 $$ Вероятность для x оказаться в интервале \(\frac12\leq x\leq 1\) равна: $$ P\left(\frac12\leq x\leq 1\right)=F(1)-F\left(\frac12\right)=\frac-\frac<\left(\frac12\right)^3>=\frac $$

Пример 2. Непрерывная случайная величина x задана функцией распределения: $$ F(x)= \begin 0,\ x\lt c\\ \frac,\ c\leq x\leq d\\ 1,\ x\gt d \end $$ Найдите границы интервала c и d, плотность распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале \(-1\leq x\leq -\frac12\)

Границы интервала ищем из условий: \begin F(c)=\frac=0\Rightarrow c=-2\\ F(d)=\frac=1\Rightarrow d=0 \end Получаем: \begin F(x)= \begin 0,\ x\lt -2\\ \frac,\ -2\leq x\leq 0\\ 1,\ x\gt 0 \end \end График функции распределения:

Плотность распределения равна производной от функции распределения: $$ p(x)=F'(x) $$ Для \(x\lt -2\cup x\gt 0\) получим \(p(x)=0\), т.к. производная от постоянной равна 0.
На значащем интервале: $$ p(x)=\left(\frac\right)=\frac=\frac $$ Получаем: \begin p(x)= \begin \frac,\ -2\leq x\leq 0\\ 0,\ x\lt -2\cup x\gt 0 \end \end График плотности распределения:

Найдем математическое ожидание: \begin M(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x\cdot p(x)dx=\int_^x\cdot\fracdx=\frac12\int_^(x^2+2x)dx=\frac12\cdot\left(\frac+x^2\right)|_^=\\ =\frac12\left(0-\left(\frac+4\right)\right)=-\frac23 \end Найдем дисперсию: \begin D(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x^2\cdot p(x)dx-M^2(x)=\int_^x^2\cdot\fracdx-\left(-\frac23\right)^2=\\ =\frac12\int_^(x^3+2x^2)dx-\frac49=\frac12\cdot\left(\frac+\frac\right)|_^-\frac49=\frac12\left(0-\left(\frac-\frac\right)\right)-\frac49=\\ =\frac23-\frac49=\frac29 \end Найдем СКО: $$ \sigma(x)=\sqrt=\frac<\sqrt> $$ Вероятность для x оказаться в интервале \(-1\leq x\leq -\frac12\) равна: $$ P\left(-1\leq x\leq -\frac12\right)=F\left(-\frac12\right)-F(-1)=\frac<\left(-\frac12+2\right)^2>-\frac=\frac=\frac $$

Перечислим основные характеристики случайных величин:
— математическое ожидание (характеризует среднее значение);
— дисперсия;
— среднеквадратическое отклонение;
— медиана случайной величины;
— мода случайной величины;
— начальный момент;
— центральный момент;
— аcсимметрия;
— эксцесс;
— квантиль уровня.

Медиана случайной величины — это такое значение случайной величины X, при котором X=Me и Me разделяет область значений на две части, вероятности попадания в любую из данных областей равновероятны, то есть выполняется условие:

p(X Me)

F(Me)=0.5

Модой для дискретной случайной величины называют такое значение, которое наиболее вероятно.

Модой для непрерывной случайной величины называют наибольшее значение (точка локального максимума) плотности вероятности.

Мода и медиана на графике

Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины Х k и определяется равенством:

Формула начального момента для непрерывной случайной величины:

Формула начального момента для дискретной случайной величины:

Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины (X-M(Х)) k и определяется равенством:

Формула центрального момента для непрерывной случайной величины:

Формула центрального момента для дискретной случайной величины:

Центральный момент первого порядка случайной величины X равен нулю, то есть

Центральный момент второго порядка случайной величины X равен дисперсии, то есть

Центральный момент третьего порядка случайной величины X характеризует асимметрию и определяется равенством:

Центральный момент четвёртого порядка случайной величины X характеризует эксцесс и равен:

Асимметрия характеризует меру сдвига распределения случайной величины в левую или правую часть и находится по формуле:

Эксцесс — характеристика вогнутости и выпуклости распределения случайной величины и вычисляется по формуле:

График значений коэффициента эксцесса

Квантилем уровня p называют такое значение случайной величины x_p которое удовлетворяет условие:

4879

Читайте также:

  
• Выравнивание бюджетной обеспеченности муниципальных образований кратко
  
• Заместительство понятие и виды кратко
  
• Школа центр экологического воспитания
  
• Поделка на тему продавец в детский сад
  
• Подготовка к школе с психологом