Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений кратко

Обновлено: 04.07.2024

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную [math]x[/math] , неизвестную функцию [math]y(x)[/math] этой независимой переменной и ее производные [math]y'(x),y''(x),\ldots,y^(x)\colon[/math]

где [math]F(x,y, y',\ldots,y^)[/math] — функция указанных аргументов, заданная в некоторой области их изменения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Если в соотношении (6.1) функция [math]F[/math] такова, что его можно представить в виде

то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением л-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Уравнение называется линейным, если функция [math]f[/math] линейна относительно искомой функции и ее производных, т.е. если уравнение может быть записано в виде

где [math]a_n(x),a_(x),\ldots,a_0(x),f(x)[/math] — известные в общем случае нелинейные функции от [math]x[/math] .

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция [math]y(x)[/math] , непрерывная на некотором интервале [math](a,b)[/math] вместе со своими производными до [math](n-1)[/math] порядка включительно, имеющая производную [math]y^(x)[/math] и такая, что подстановка [math]y(x)[/math] в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Одной из важнейших задач в теории и приложениях дифференциальных уравнений является задана Коши (начальная задана), в которой требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Для уравнения (6.2) она записывается следующим образом:

где [math]x_0\in (a,b),~ y_0,y'_0,\ldots,y_0^[/math] — заданные числа.

Теорема 6.1 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.4)). Пусть выполнены следующие условия:

а) функция [math]f(x,y,\ldots,y^)[/math] определена и непрерывна в некоторой замкнутой области [math]\overline[/math] , а также имеет в [math]\overline[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y,y',\ldots,y^[/math] ;

б) точка [math](x_0,y_0,y'_0,\ldots,y_0^)[/math] лежит внутри области [math]\overline[/math] .

Тогда решение задачи Коши (6.4) существует и единственно.

Общим решением дифференциального уравнения л-го порядка в области [math]G\subset \overline[/math] ( [math]\overline[/math] — область, в которой выполнены условия теоремы 6.1) называется функция [math]y=y(x,C_1,\ldots,C_n)[/math] , зависящая от [math]n[/math] произвольных постоянных, и такая, что при подстановке в уравнение она обращает его в тождество при любых значениях [math]C_1,\ldots,C_n[/math] . Геометрически общее решение в области [math]G[/math] представляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых, полностью покрывающих всю область.

Общим интегралом дифференциального уравнения называется соотношение вида [math]\varphi(x,y,C_1,\ldots,C_n)=0[/math] , неявно определяющее общее решение.

При конкретных значениях [math]C_1,\ldots,C_n[/math] , включая [math]\pm\infty[/math] , из общего решения выделяется частное решение, а общий интефал становится частным интегралом. В каждой точке [math](x,y)[/math] частного решения или частного интефала выполняются условия теоремы 6.1.

Наряду с проблемой решения дифференциальных уравнений л-го порядка на практике возникает проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих независимую переменную [math]x[/math] , неизвестные функции [math]y_1(x),\ldots, y_n(x)[/math] и их производные [math]y'_1(x),\ldots, y'_n(x)[/math] .

В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему можно записать в нормальной форме Коши (где [math]f_i(x,y_1,\ldots,y_n),~ i=\overline[/math] — известные функции):

Решением системы (6.5) называется совокупность [math]n[/math] функций [math]y_1(x),\ldots, y_n(x)[/math] , непрерывных на некотором интервале (д,6), такая, что подстановка этих функций в (6.5) обращает все уравнения в тождества.

Задача Коши для системы (6.5) состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям (где [math]y_,y_,\ldots,y_[/math] — известные числа):

В векторной форме задача Коши (6.5),(6.6) имеет вид

где [math]Y=(y_1,\ldots,y_n)^T,~ F(x,Y)= \bigl(f_1(x,Y),\ldots, f_n(x,Y)\bigr)^T,~ Y_0= \bigl(y_,\ldots, y_\bigr)^T[/math] .

Теорема 6.2 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.5),(6.6)). Пусть выполнены следующие условия:

а) функции [math]f_i(x,y_1,\ldots,y_n),~ i=\overline[/math] , определены и непрерывны в некоторой замкнутой области [math]\overline[/math] , а также имеют в [math]\overline[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y_1,\ldots,y_n[/math] ;

б) точка [math](x_0,y_,y_,\ldots,y_)[/math] лежит внутри области [math]\overline[/math] .

Тогда решение задачи Коши (6.5),(6.6) существует и единственно.

1. Во многих практических приложениях независимая переменная обозначается через [math]t[/math] и имеет смысл времени, поэтому задача Коши называется начальной задачей.

2. Понятия общего и частного решений, общего и частного интегралов для уравнения первого порядка и систем совпадают по форме, если заменить функцию [math]y(x)[/math] на вектор-функцию [math]Y(x),~ f(x,y)[/math] на [math]F(x,Y)[/math] , а [math]y_0[/math] — на [math]Y_0[/math] .

Численные методы, рассматриваемые в данном разделе, пригодны для решения задач Коши, записанных в форме (6.5),(6.6). Чтобы решить задачу Коши (6.4) этими методами, ее необходимо привести к системе [math]n[/math] уравнений первого порядка, т.е. к виду (6.5),(6.6).

Обозначая [math]y_1(x)=y(x),~ y_2(x)= y'(x),~\ldots,~ y_n(x)= y^(x)[/math] , получаем

[math]\left\&\frac=y_2, &\quad & y_1(x_0)=y_0,\\ &\frac=y_3, &\quad & y_2(x_0)=y'_0,\\[-4pt] &\quad\vdots &\quad &\quad\vdots\\[-2pt] &\frac=f(x,y_1,\ldots,y_n), &\quad & y_n(x_0)=y^_0. \end\right.[/math]

Получим точное решение модельного примера, используемого далее для демонстрации применения различных численных методов.

Пример 6.1. Найти аналитическое решение задачи Коши [math]Ty'+y=1,~ y(0)=0[/math] , где [math]T>0[/math] — известное число, называемое постоянной времени.

Решение задачи Коши найдем с помощью известной методики.

1. Определим общее решение однородного уравнения [math]Ty'+y=0[/math] . Поскольку корень [math]\lambda=-1\!\!\not<\phantom<|>>\,T[/math] соответствующего характеристического уравнения [math]T\lambda+1=0[/math] действительный, то [math]y_0(x)=Ce^<\lambda x>= Ce^<-x\!\not<\phantom<|>>\,\,T>[/math] — общее решение однородного уравнения.

2. Частное решение неоднородного уравнения ищется в форме [math]y_>=A[/math] , где [math]A=\text[/math] . После подстановки в решаемое уравнение получаем [math]y_>=1[/math] .

3. Общее решение неоднородного уравнения получается как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Ему соответствует семейство интегральных кривых, характеризующееся параметром [math]C[/math] , который может принимать произвольные значения.

4. Частное решение неоднородного уравнения находим из начального условия: [math]y(0)=C+1=0[/math] . Отсюда [math]C=-1[/math] и [math]y(x)=1-e^<-x\!\not<\phantom<|>>\,\,T>[/math] .

Пример 6.2. Записать дифференциальное уравнение второго порядка [math]2y''+y'+4y=6\sin,~ y(0)=1,~ y'(0)=2[/math] , в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.

Введем обозначения: [math]y_1(x)=y(x),~ y_2(x)=y'_1(x)[/math] и запишем уравнение в форме [math]y''=-\fracy'-2y+3\sin[/math] , разрешенной относительно старшей производной. Тогда получим

Численные и приближенно-аналитические методы решения задачи Коши в отличие от аналитических методов позволяют найти искомую функцию [math]y(x)[/math] лишь приближенно. Но при этом численные методы являются более универсальными, так как с их помощью можно приближенно решать многие из задач, точные решения которых аналитическими методами не могут быть найдены. Аналитическими методами в основном решаются только линейные задачи и некоторые типы нелинейных задач, в то время как для численных методов эти ограничения отсутствуют.

Чтобы упростить изложение и в силу того, что численные методы легко обобщаются на системы уравнений, в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядка

Численное решение задачи ищется в узлах сетки [math]\Omega_n= \[/math] , где [math]h_=x_-x_,~ i=\overline[/math] — расстояние между соседними узлами, называемое шагом интегрирования (параметром сетки). Если [math]h_=h=\text[/math] , сетка называется равномерной (регулярной), а если [math]h_=\text[/math] — неравномерной (нерегулярной). В случае равномерной сетки узлы находятся по формуле [math]x_= x_0+ih,~ i=\overline[/math] , а в случае неравномерной (где [math]\delta_= \frac[/math] — параметр нерегулярности):

[math]x_1=x_0+h_1,\quad x_2=x_1+h_2=x_1+\delta_2h_1,\quad \ldots,\quad x_=x_+ \delta_h_,\quad\ldots, \quad x_n=x_+\delta_h_.[/math]

Решение находится в виде последовательности значений [math]\widehat_0,\widehat_1, \widehat_2,\ldots, \widehat_n[/math] , являющихся приближением значений [math]y_0,y(x_1),y(x_2),\ldots,y(x_n)[/math] точного решения [math]y(x)[/math] в узлах сетки [math]\Omega_[/math] (рис. 6.1).

Сеточное представление [math]y(x_i),~i=\overline[/math] , известной функции [math]y(x)[/math] (точного решения задачи Коши) называется проекцией [math]y(x)[/math] на сетку [math]\Omega_n[/math] .

Дискретные и непрерывно-дискретные методы

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений делятся на две группы:

– дискретные методы , позволяющие найти решение только в узлах сетки. Эти методы называются еще разностными методами или методами сеток;

– непрерывно-дискретные методы , основанные на использовании дискретных методов и сплайн-функций для восполнения численных результатов. Они позволяют найти непрерывные решения дифференциальных уравнений.

Дискретные методы (методы сеток) подразделяются на явные и неявные. Значение [math]\widehat_[/math] , на (i+1)-м шаге может определяться явно:

где [math]\Phi(.)[/math] — некоторая функция, зависящая от конкретного метода (кроме последней рассчитанной точки [math](x_,\widehat_)[/math] могут использоваться еще [math](k-1)[/math] предыдущих точек), или неявно:

где искомая величина [math]\widehat_[/math] входит одновременно и в левую, и в правую часть.

Явные и неявные методы делятся также на одношаговые и многошаговые (k-шаговые). В одношаговых методах для расчета очередной точки [math](x_,\widehat_)[/math] требуется информация только о последней рассчитанной точке [math](x_,\widehat_)[/math] . В k-шаговых методах для нахождения точки [math]x_,\widehat_[/math] требуется информация о [math]k[/math] предыдущих точках (рис. 6.2).

Формулы (6.10),(6.11) в общем случае представляют собой нелинейные уравнения относительно [math]\widehat_[/math] и называются разностными схемами.

Численный алгоритм (метод) называется устойчивым, если численные результаты непрерывно зависят от входных данных и если погрешность остается ограниченной при заданных пределах изменения параметров численного алгоритма (шагов сетки, числа итераций и др.).

Сходимость приближенных методов является основной проблемой, от успешного преодоления которой зависит точность решения всей задачи. Численный алгоритм называется сходящимся, если при стремлении его параметров к определенным предельным значениям, например, при [math]h\to0[/math] (или при [math]s\to\infty[/math] , где [math]s[/math] — число итераций), результаты стремятся к точному решению.

При известном точном решении некоторой модельной задачи сходимость может быть проверена следующим образом. Фиксируется некоторая точка [math]x>x_0[/math] и строится последовательность сеток [math]\Omega_[/math] , таких, что [math]h\to0,[/math] [math]x=x_= x_+nh[/math] . Здесь для простоты считаем, что все сетки, образующие указанную последовательность, являются равномерными. Тогда, если [math]|\widehat_-y(x_)|\to0[/math] при [math]h\to0~ (n\to\infty)[/math] , то метод является сходящимся в точке [math]x[/math] . Если метод сходится в каждой точке [math]x\in[c,d]\subset (a,b)[/math] , то он сходящийся на [math][c,d][/math] .

Локальная и глобальная ошибки

Локальной ошибкой численного метода на (i+1) -м шаге называется величина

где [math]y(x_)[/math] — значение точного решения при [math]x=x_[/math] , а [math]\widehat_[/math] — приближенное решение, получаемое по формуле (6.10) или (6.11) при условии, что вместо приближенных значений [math]\widehat_, \widehat_,\ldots, \widehat_[/math] используются значения, соответствующие точному решению, т.е. [math]y(x_), y(x_),\ldots, y(x_)[/math] .

Глобальной ошибкой называется величина [math]e_(h)= \widehat_-y(x_)[/math] , где [math]\widehat_[/math] — значение, получаемое по формулам (6.10) или (6.11) при [math]i=n-1[/math] .

Глобальная ошибка определяется:

а) ошибками округления и ошибками арифметических действий, обусловленными числом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значения искомой функции в очередной точке [math]x_[/math] ;

б) методическими ошибками, определяемыми выбранным алгоритмом;

в) переходными ошибками, обусловленными тем, что при расчете значения р/+1 вместо точных значений [math]y(x_), y(x_),\ldots, y(x_)[/math] берутся приближенные значения [math]\widehat_, \widehat_,\ldots, \widehat_[/math] , полученные на предыдущих шагах.

Локальные ошибки "переносятся" в точку [math]x_n[/math] и формируют глобальную ошибку.

Число [math]p[/math] называется порядком (точностью) численного метода, если его глобальная ошибка есть [math]O[/math] большое от [math]h^p[/math] , то есть [math]e_n(h)= O(h^p)[/math] .

На практике в качестве характеристики точности метода часто используется величина [math]\varepsilon(h)= \max_\bigl|\widehat_-y(x_)\bigr|[/math] .

Рассмотрим введенные понятия более подробно на примере явных одношаговых методов, построенных для задачи (6.9). При этом формулу (6.10) представим в виде

где [math]\Psi(\widehat_,x_,h)[/math] — некоторая функция, определяемая конструкцией того или иного метода.

Обозначим [math]y(x,x_,\widehat_)[/math] — решение задачи Коши [math]u'=f(x,u),~ u(x_)= \widehat_[/math] . Тогда локальная ошибка определяется выражением

Геометрическая интерпретация возникновения локальных и глобальной ошибок изображена на рис. 6.3.

Можно показать, что если локальная ошибка имеет порядок [math](p+1)[/math] , то есть [math]\varepsilon_(h)= O(h^)[/math] , то глобальная погрешность имеет на единицу меньший порядок, т.е. [math]e_(h)= O(h^p)[/math] .

Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости численных методов. Она проверяется на "тестовом примере"

где [math]\mu[/math] — в общем случае комплексная константа. Дифференциальное уравнение в (6.12) является простейшим линейным уравнением, и для него можно получить значимые критерии устойчивости в явной форме.

Устойчивость методов решения задачи Коши

Метод называется устойчивым (ограниченно устойчивым), если существует такое число [math]h_>>0[/math] , что при использовании метода для решения задачи (6.12), где [math]\operatorname\mu , с шагом [math]0 при [math]i\to\infty[/math] глобальная ошибка ограничена. Величина [math]h_>[/math] называется критическим шагом. Если [math]h>h_>[/math] , глобальная ошибка может неограниченно возрастать.

В ограниченно устойчивых методах при задании величины шага [math]h[/math] необходимо учитывать значение критического шага [math]h_>[/math] . Для сложных дифференциальных уравнений и систем нахождение [math]h_>[/math] является самостоятельной задачей, а свойство ограниченной устойчивости предупреждает вычислителя о возможных проблемах. Поэтому на практике становится актуальной задача конструирования таких методов, которые были бы устойчивы при любом значении шага, а его величина выбиралась бы только исходя из желаемой точности расчетов (при этом класс решаемых задач может быть ограничен).

Метод называется A-устойчивым , если при его применении с любым фиксированным положительным шагом [math]h[/math] все численные решения задачи (6.12) с комплексной константой [math]\mu~(\operatorname\mu стремятся к нулю при [math]i\to\infty[/math] .

Область A-устойчивости — совокупность значений [math]h[/math] и [math]\mu[/math] , удовлетворяющих условию [math]\operatorname(h\mu) . Она изображена на рис. 6.4,а. Выполнение свойства A-устойчивости является желательным, поскольку если решение задачи (6.12) асимптотически устойчиво (в силу условия [math]\operatorname\mu корень характеристического уравнения находится в левой полуплоскости), то погрешность численного решения стремится к нулю при любой величине шага [math]h>0[/math] .

При исследовании устойчивости численного метода необходимо использовать соответствующую ему разностную схему для решения задачи (6.12) и привести ее к линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами:

Известно, что критерием устойчивости решения линейного разностного уравнения является требование расположения корней [math]\lambda_[/math] соответствующего характеристического уравнения [math]a_n \lambda^n+ a_\lambda^+ \ldots+a_0=0[/math] внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат, т.е.

Обозначим [math]\textstyle<\rho(\xi)= \sum\limits_^ \alpha_\xi^,~ \sigma(\xi)= \sum\limits_^ \beta_\xi^>[/math] . Линейный многошаговый метод является устойчивым, если для фиксированного значения [math]h\mu[/math] корни уравнения

лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

2. Для ограниченно устойчивых методов важной задачей является нахождение величины критического шага [math]h_>[/math] . Если константа [math]\mu[/math] в уравнении (6.12) действительная, то можно найти интервал устойчивости .

3. Существуют определения, смягчающие свойство A-устойчивости. Приведем одно из них. Метод называется A(α)-устойчивым, [math]\alpha\in(0,\pi\!\!\not<\phantom<|>>\,2)[/math] , если при его применении все численные решения уравнения (6.12) с фиксированным положительным шагом [math]h[/math] стремятся к нулю при [math]i\to\infty[/math] для всех [math]\mu[/math] , удовлетворяющих условию [math]|\arg(-\mu)| , где [math]\arg(-\mu)[/math] — аргумент комплексного числа [math](-\mu)[/math] . Область A(α)-устойчивости показана на рис. 6.4,5. Это условие применимо и для линейных систем с постоянными коэффициентами [math]y'=Ay[/math] , где [math]A[/math] — матрица коэффициентов, имеющая собственные значения [math]\lambda_,~ i=\overline[/math] . Геометрическая интерпретация изображена на рис. 6.4,в.

4. Можно показать, что явные линейные многошаговые методы не могут быть A-устойчивыми.

Это – самый простой случай, но к нему по аналогии сводятся схемы методов для системы дифференциальных уравнений и для дифференциального уравнения n - го порядка.

1. Методы, основанные на разложении функции в ряд Тейлора.

Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки

Рассмотрим равномерную сетку по

Пусть , тогда разложение функции в ряд Тейлора можно записать в виде

, где

Подставим в из дифференциального уравнения

Тогда

Это – основная расчетная формула.

Учитывая в слагаемые с производными высших порядков, получим более точные приближенные формулы.

Если взять , то получим Метод Эйлера

2. Методы Рунге – Кутта.

Основная идея методов Рунге – Кутта – вместо вычисления производных высших порядков в вычислять значения функции в некоторых точках, отличных от .

Разложим по h

= +=

Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой

И определим коэффициенты

Пусть , тогда .

Если . Тогда

= .

Это – Метод Хойна.

Если в формуле . Выбрать ,

То получим Явный M – шаговый (M – точечный) метод Рунге – Кутта.

Наиболее распространен явный четырехточечный метод Рунге – Кутта

В явных методах Рунге – Кутта значения вычисляются только по предыдущим значениям .

В Неявных методах Рунге – Кутта значения вычисляются как по предыдущим, так и по последующим значениям . Поэтому в этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно .

Неявный M – шаговый метод Рунге – Кутта Можно записать в виде

3. Методы Адамса.

В формуле заменим интерполяционным полиномом Ньютона .

Явные методы Адамса (Адамса – Башфорта).

Возьмем , но интеграл будем брать по предыдущему отрезку . Тогда

Здесь - конечная разность - го порядка:

Подставляя эти разности, получим

(K – шаговый явный метод Адамса – Башфорта)

Пример. Получен Явный метод Адамса – Башфорта второго порядка (Двухшаговый)

Более точен метод Адамса – Башфорта четвертого порядка:

Заметим, если задано (в задаче Коши начальное условие задается), то для того, чтобы начал работать метод Адамса 4 порядка, нужно вычислить еще значения (каким-либо другим методом) . Тогда из системы формул Адамса Башфорта, выписанных для , вычисляются значения правых частей , необходимые для того, чтобы метод начал работать. Затем уже по этим значениям по формуле метода определяются .

Неявные методы Адамса (Адамса – Мултона).

Возьмем , интеграл будем брать по отрезку . Тогда

Здесь - конечная разность - го порядка:

Подставляя эти разности, получим

(K – шаговый явный метод Адамса –Мултона)

Формально он записан в том же виде, что и метод Адамса – Башфорта, но разница существенна: в методе Адамса – Мултона в левой части уравнения присутствует , а в правой части присутствует . Поэтому приходится еще решать систему уравнений для явного определения .

Пример. . Поэтому имеем формулу

Метода Адамса – Мултона второго порядка.

Более точен Метод Адамса – Мултона четвертого порядка

Эти методы также требуют разгона.

Обобщением методов Адамса являются Линейные многошаговые методы

Если , то метод – явный, если , то метод – неявный.

Есть методы, сочетающие явные и неявные этапы – методы. Таковы, например, методы типа Предиктор – корректор (предиктор P – предсказатель – явный метод, корректор С – неявный метод). Эти методы содержат обычно и этапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.

Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса – Башфорта 2 го порядка, а в качестве метода С – метод Адамса – Мултона 2 го порядка.

Схема метода может быть записана в виде.

Р .

Сходимость, устойчивость разностных схем, порядок точности методов.

Вообще-то это – тема отдельного курса, но нельзя говорить о методах решения дифференциальных уравнений и не сказать хотя бы несколько слов о сходимости численных алгоритмов, устойчивости вычислительных схем и точности методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение , равномерную сетку на отрезке интегрирования .

Рассмотрим сеточную функцию - правую часть уравнения, определенную на сетке .

Введем аппроксимации производной:

, , .

Задача Коши (дифференциальная задача) заменяется Разностной задачей (Разностной схемой)

Или .

Разностная схема отличается от дифференциального уравнения тем, что функции заменены сеточными, производные заменены их аппроксимациями.

- решение разностной задачи, - решение дифференциальной задачи, - сеточная функция, построенная по .

Сходимость разностной схемы с порядком .

Решение сходится к с порядком , если .

Аппроксимация с порядком .

Пусть задача имеет единственное решение.

Пусть (- невязка).

Разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу на решении

с порядком , если .

Пример. Рассмотрим схему Эйлера для задачи .

Разностная задача , ,

. Поэтому

=. То есть, , следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.

Замечание. Ошибку аппроксимации Можно оценить по Правилу Рунге, решая дифференциальное уравнение с шагом , а затем с шагом И сравнивая решения: , где - порядок аппроксимации.

Устойчивость разностной схемы.

Разностная схема называется Устойчивой, Если Разностная задача имеет единственное решение такое, что .

Другими словами, при малых возмущениях Мало возмущается .

Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении с порядком и устойчива. Тогда решение разностной задачи сходится к с порядком , причем . Здесь - константа аппроксимации, С – константа устойчивости.

Доказательство. Пусть , тогда по единственности решения (определение устойчивости) и определению аппроксимации . Тогда

Метод Эйлера - это метод Рунге-Кутты I-го порядка точности. y i + 1 = y i + h k i , k i =y_+hk_,\quad k_> - угловой коэффициент секущей.

В полученное разложение будем подставлять точное решение, будем считать α = β

y i + 1 = y i + h f ( t i , y i ) → y i + 1 − y i h = f ( t i , y i ) =y_+hf(t_,y_)\to -y_>>=f(t_,y_)> - явный одношаговый метод. 1 h ∑ j = 0 k α j y i + 1 − j = Φ ( t i , y i + 1 − k , . . . , y i , y i + 1 , h ) , α 0 ≠ 0 >\sum _^\alpha _y_=\Phi (t_,y_. y_,y_,h),\alpha _\neq 0> - канонический вид формулы численного интегрирования. (неявный k -шаговый метод)

Определение. Аппроксимацией будем называть сеточную функцию Ψ i h ^> , определенную так: \\ Ψ i h = 1 h ∑ j = 0 k α i y ( t i + 1 − j ) − Φ ( t i , y ( t i + 1 − k ) , . . . , y ( t i ) , y ( t i + 1 ) , h ) ^=>\sum _^\alpha _y(t_)-\Phi (t_,y(t_). y(t_),y(t_),h)>

Погрешность аппроксимации метода Эйлера: Ψ i h = h 2 2 y ″ ( t ) ^=>>y''(t)>

Получим линейное неоднородное уравнение

Оценка устойчивости ЗК

Из этого неравенства вытекает устойчивость ЗК.

Рассмотрим возмущенную дискретную ЗК:

1 h ∑ j = 0 k y ~ i + 1 − j λ j = Φ ( t i , y ~ i + 1 − k , . . . , y ~ i , y ~ i + 1 , h ) − ϕ >\sum _^>_\lambda _=\Phi (t_,>_. >_,>_,h)-\phi >

Приближение правой части и интегрирование в многошаговых методах

p 1 ( t ) = f i − 1 + f i − f i − 1 h ( t − t i − 1 ) (t)=f_+-f_>>(t-t_)> - интерполяционный многочлен Ньютона. Интегрируемые функции f ( t , y ) : ∫ t i t i + 1 p 1 ( t ) d t = ∫ t i t i + 1 ( f i − 1 + f i − f i − 1 h ( t − t i − 1 ) ) d t = f i − 1 h + f i − f i − 1 h ( t − t i − 1 ) 2 2 | t 1 t i + 1 = h 2 ( 3 f i − f i − 1 ) ⇒ y i + 1 = y i + h 2 ( 2 f i − f i − 1 ) >^>p_(t)dt=\int _>^>(f_+-f_>>(t-t_))dt=f_h+-f_>>\left.<\frac <(t-t_)^>>\right|_^>=<\frac >(3f_-f_)\Rightarrow y_=y_+<\frac >(2f_-f_)> - формула А-Б (двухшаговый метод, II порядка точности по h ) Формулы Адамаса-Мултона

Q 1 ( t ) = f i + f i + 1 − f i h ( t − t i ) (t)=f_+-f_>>(t-t_)>

∫ t i t i + 1 Q 1 ( t ) d t = f i h + ( f i + 1 − f i ) ( t − t i ) 2 2 h | t 1 t i + 1 = h 2 ( f i + f i + 1 ) >^>Q_(t)dt=f_h+\left.-f_)(t-t_)^>>\right|_^>=>(f_+f_)>

y i + 1 = y i + h 2 ( f i + f i + 1 ) =y_+>(f_+f_)> - II порядка точности, более устойчив.

Ψ i > - дискретная функция. Канонический вид: y i + 1 − y i h = 1 2 f i + 1 2 f i + 1 -y_>>=>f_+>f_>

Ψ i = y ( t i + 1 ) − y ( t i ) h − 1 2 y ′ ( t i ) − 1 2 y ′ ( t i + 1 ) = y ( t i ) + h y ′ ( t i ) h 2 2 y ″ ( t i ) + h 3 6 y ‴ ( t i ) + O _ _ ( h 4 ) − y ( t 1 ) h − 1 2 y ′ ( t i ) − 1 2 ( y ′ ( t i ) + h y ″ ( t i ) + h 2 2 y ‴ ( t i ) + O _ _ ( h 3 ) ) = h 2 y ″ ( t i ) + h 6 y ‴ ( t i ) + O _ _ ( h 3 ) − h 2 y ″ ( t i ) − h 2 4 y ‴ ( t i ) + O _ _ ( h 3 ) = − h 2 12 y ‴ ( t i ) + O _ _ ( h 3 ) =)-y(t_)>>->y'(t_)->y'(t_)=<\frac >y''(t_)+>>y'''(t_)+<\underline <\underline >>(h^)-y(t_)>>->y'(t_)->(y'(t_)+hy''(t_)+<\frac >y'''(t_)+<\underline <\underline >>(h^))=<\frac >y''(t_)+<\frac >y'''(t_)+<\underline <\underline >>(h^)-<\frac >y''(t_)-<\frac >y'''(t_)+<\underline <\underline >>(h^)=-<\frac >y'''(t_)+<\underline <\underline >>(h^)>

Ψ i = − h 2 12 y ‴ ( t i ) , Ψ = max 0 ≤ i ≤ N | Ψ i | ≤ M 3 h 2 12 ⇒ =->>y'''(t_),\Psi =\max <0\leq i\leq N>|\Psi _|\leq h^>>\Rightarrow > II аппроксимационный порядок

Каноническая формула метода:

( A ) : 1 h ∑ j = 0 k α j y i + 1 − j = Φ ( t i , y i + 1 − k , . . . , y i , y i + 1 ) >\sum _^\alpha _y_=\Phi (t_,y_. y_,y_)> - дискретная ЗК. Стартовые точки y 0 , y 1 , . . . , y k − 1 ,y_. y_>

( B ) : 1 h ∑ j = 0 k α j y i + 1 − j ∗ = Φ ( t i , y i + 1 − k ∗ , . . . , y i ∗ , y i + 1 ∗ ) >\sum _^\alpha _y_^=\Phi (t_,y_^. y_^,y_^)> - дискретная ЗК с возмущенными данными. Стартовые точки y 0 , y 1 , . . . , y k − 1 ,y_. y_>

Предположим: max k ≤ i ≤ N | y i − y i h | ≤ c 3 h p |y_-y_^|\leq c_h^

> , где c 3 = c ( c 2 + c 1 ( T − t 0 ) ) <\displaystyle c_=c(c_+c_(T-t_))>

Аналитическое решение той или иной прикладной задачи является чаще исключением в силу сложного и приближенного характера исследуемых моделей реальных процессов. В связи с этим численный анализ математический моделей является актуальным и эффективным аппаратом конструктивного исследования прикладных проблем. В работе описаны процедуры вычислений основных численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: метода Эйлера и метода Рунге-Кутты. Метод Эйлера занимает ключевую позицию в теории численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. На практике наиболее распространен метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности, в котором используется не линейная аппроксимация, а аппроксимация с помощью квадратурных формул Симпсона. Сравнительный анализ и оценка погрешностей данных численных методов реализованы на примере решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Для данной задачи Коши аналитическое и численные решения выписаны в явном виде. Составлены таблицы абсолютных и относительных погрешностей вычислений на каждом шаге интегрирования. Для наглядности сравнения результатов вычислений представлено совместное графическое решение данной задачи аналитическим и рассмотренными численными методами.

2. Медведева Н.В. О педагогической проблеме формирования мотивов учения у студен-тов// Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – №10-1. – С. 134–138.

3. Медведева Н.В. Применение системы Mathcad для решения задач по линейной алгеб-ре// Международный журнал экспериментального образования. – 2016. – №9-1. – С. 52–54.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для высших технических учебных заведений. Т. 2. – М.: Наука, 1978. – 576 с.

состоит в том, что на отрезке вводится сетка узлов интегрирования. Для равномерной сетки , , при этом величина шаг сетки (интегрирования). В узлах сетки интегрирования находятся приближенные значения точного решения . Результатом численного решения является таблица , (сеточная функция) приближенных значений искомого решения в узлах сетки. В основе построения дискретной задачи Коши лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом.

Метод Эйлера занимает ключевую позицию в теории численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Построение численного решения по методу Эйлера реализуется с помощью расчетной формулы [1]:

(1)

Расчет ошибки метода Эйлера происходит путем разложения функции в ряд Тейлора. В окрестности начальной точки имеем [1]:

При :

или , где остаточный член, , характеризующий локальную (шаговую) ошибку метода Эйлера, т.е. ошибку, совершаемую на одном шаге. При многократном применении формулы происходит наложение ошибок и образуется глобальная ошибка. Локальная ошибка метода Эйлера – это бесконечно малая величина от , а глобальная – бесконечно малая от . Следовательно, метод Эйлера имеет глобальную ошибку на каждом шаге на единицу по порядку хуже, чем локальная погрешность.

Существуют несколько способов построения численных методов решения задачи Коши более высокой по порядку относительно точности. На практике наиболее распространен метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности, в котором используется не линейная аппроксимация, а аппроксимация с помощью квадратурных формул Симпсона. Искомые значения на каждом шаге итерационного процесса последовательно вычисляются по формулам [1]:

(2)

Локальная погрешность метода Рунге-Кутты – это бесконечно малая величина относительно , а глобальная – бесконечно малая от . Таким образом, метод Рунге-Кутты является более точным по сравнению с методом Эйлера. Проиллюстрируем сравнение и применение данных численных методов решения задачи Коши на примере.

Пример. Решить дифференциальное уравнение на интервале с шагом методом Эйлера, методом Рунге-Кутты.

Решение. Проведем решение поставленной задачи в несколько этапов.

1. Найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнений второго порядка (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами:

Сделаем замену: . Тогда – характеристическое уравнение ЛОДУ и , . Следовательно, – общее решение ЛОДУ.

2. Найдем частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнений второго порядка (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами:

Определим вид частного решения. По условию правая часть . Тогда где , – неопределенные коэффициенты. Для определения значений коэффициентов , вычислим производные: , и подставим их в данное уравнение: Следовательно, и откуда , и – частное решение данного ЛНДУ.

3. По теореме [5] о структуре общего решения ЛНДУ получаем общее решение данного дифференциального уравнения: .

4. Используя начальные условия: определим значения :

где , . Следовательно, – частное (точное) решение данной задачи Коши. В таблице 1 столбец содержит значения точного решения данного дифференциального уравнения в расчетных точках .

5. Найдем численное решение методом Эйлера. Сведем данное дифференциальное уравнение второго порядка к системе дифференциальных уравнений. Для этого сделаем замену: , . Тогда одновременно должны выполняться равенства

при этом

Численное решение системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с двумя искомыми функциями:

(3)

где , по методу Эйлера (1) для каждой неизвестной функции строится по формулам [1]:

В таблице 1 столбцы , содержат значения численных решений данного дифференциального уравнения, полученных методом Эйлера с шагом интегрирования и соответственно.

где n - порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Примеры дифференциальных уравнений:

Здесь y(x) – неизвестная функция.

Уравнение (4.2) имеет порядок 2, уравнение (4.3) – порядок 1.

Если уравнение линейно по , то оно называется линейным. (4.2) – линейное уравнение, (4.3) – нелинейное.

Запишем дифференциальное уравнение n порядка в явном виде:

Уравнение в виде (4.1) – уравнение в неявной форме.

Под интегрированием уравнения(4.1) понимают нахождение функции y ( x ) , которая удовлетворяет этому уравнению. y ( x ) называется решением дифференциального уравнения. Общее решение ОДУ n -го порядка имеет вид:

При любом наборе конкретных констант получаются частные решения.

Задача Коши есть задача о нахождении частного решения уравнения (4.4), удовлетворяющего начальным условиям

Здесь - некоторые заданные числа.

Графическое изображение частного решения называют интегральной кривой. Общее решение дифференциального уравнения n -го порядка определяет n -параметрическое семейство интегральных кривых.

Рассмотрим два численных метода решения ОДУ первого порядка.

Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде

Задача (4.7) – задача Коши для ОДУ первого порядка.

Решением этой задачи Коши будет единственная функция

Так решались ДУ в курсе высшей математики.

Перепишем уравнение (4.7) в виде

Формула (4.8) – формула метода Эйлера решения ОДУ первого порядка.

Результатом численного решения дифференциального уравнения является таблица

Читайте также: