Аналитические условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил кратко

Эта форма записи также содержит ограничение, которое объяснялось во второй форме записи.

Как показано выше, произвольная плоская система сил сводится к двум векторам, а именно, к главному вектору и главному моменту. Теперь можно сформулировать условия равновесия плоской системы сил.

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия

Координатная форма записи условий равновесия.

Запишем условие равновесия в координатной форме. Для этого разложим все действующие силы по осям координат

Тогда можно записать, что

Из последней формулы следует, что

Таким образом, координатная форма записи условий равновесия плоской системы сил, запишется в виде

Кроме основной формы условий равновесия, существуют еще две формы условий равновесия, обычно используемые для проверки правильности решения задачи.

Вторая форма условий равновесия. Суммы моментов всех сил относительно двух произвольных центров и сумма их проекций на ось , не перпендикулярную прямой , равны нулю

Третья форма условий равновесия. Если точки , и не лежат на одной прямой, то

Пример.

Стержень в виде прямого угла в точке жестко заделан в вертикальной стенке (рис.С.29а). Расчетная схема приведена на рис.С.29б.

Запишем условия равновесия плоской системы сил. В качестве центра выберем точку

Решая систему уравнений, получим следующие результаты .

Проверка.

Всегда требуется осуществить проверку полученного решения. Для этого в качестве центра выберем точку . Запишем уравнение моментов относительно этой выбранной точки . И если для вычисленных ранее значений величина , то задача решена правильно.

1. При равновесии главный вектор системы равен нулю (Fгл = 0).

Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

где Fk_x и Fk_y — проекции векторов на оси координат.

2. Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

где А и В — разные точки приведения.

Условие равновесия произвольной плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и доста­точно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось относительно любой точки в плоскости действия сил равнялась нулю.

Получим основную форму уравнения равновесия:

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически доказано, что на плоскости можно соста­вить только три независимых уравнения моментов и при этом три точки (центры моментов) не должны лежать на одной линии.

Таким образом, имеем пять независимых уравнений равновесия.

Практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений рав­новесия.

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия:

Ось Ох системы координат параллельна линии действия сил.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти момент присоединенной пары при переносе силы F₃ в точку В (рис. 5.3).F₁ = 10кН;F₂ = 15кН; F₃ = 18кН; а = 0,2 м.

Решение

Используем теорему Пуансо.

Пример 2. Найти главный вектор системы (рис. 5.4). F₁ = 10кН; F₂ = 16кН;F₃= 12кН;т = 60кН-м.

Решение

Главный вектор равен геометрической сумме сил:

Пример 3. Найти главный момент системы относительно точки В (использовать данные примера 2).

Решение

Главный момент равен алгебраической сумме моментов сил от­носительно точки приведения:

Пример 4. К телу приложена уравновешенная система сил (рис. 5.5). Две из них неизвестны. Определить неизвестные силы.

Решение

Пример 5. К двум точкам тела приложены четыре силы F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = 5 Н, как показано на рис. 1.46, а. Привести эти силы к точке А, а затем найти их равнодействующую.

Решение

1. Центр приведения (точка А) задан. Поэтому примем точ­ку А за начало координат и проведем ось х вдоль отрезка АВ, а ось у — по линии действия силы F₁ (рис. 1.46, а).

2. Определим проекции сил на ось х: F₁x=0', F_2x=F₂=5 Н; F_3X= — F_ssin 30° = 5 sin 30° = —2,5 Н; F_4X = — F₄sin 60° = — 5 sin 60° = — 4,33 H.

Отсюда проекция на ось х главного вектора

3.Определим проекции сил на ось у:

Отсюда проекция на ось у главного вектора

Для большей наглядности и облегчения дальнейшего решения задачи целесо­образно найденные проекции F_{гл х} и F_{гл у} главного вектора отложить вдоль осей координат (рис. 1.46, б).

4. Из формулы (1,27) определим модуль главного вектора:

5. Находим угол

По таблицам или с помощью счетной логарифмической линейки определяем Из рис. 1.46, б следует, что

6. Определяем главный момент, как алгебраическую сумму моментов данных сил относительно точки А М_А(F₁) = 0 и М_А(F₂) = 0, так как линия действия сил F₁ и F₂ проходит через точку А (центр приведения);

Главный момент M_ГЛ > 0, значит он действует против хода часовой стрелки (рис. 1.46, б).

Равнодействующая F_Σ = Fгл и линия ее действия, параллельная главному вектору, проходит от центра приведения А на расстоянии

Линия действия равнодействующей пересекает ось х в точке С и отсекает отрезок

Таким образом, равнодействующая заданной на рис. 1.46, а системы сил F_Σ = 7,07 Н, линия ее действия образует с выбранными осями координат углы φ_х = 104°, φ_у =14° и пересекает отрезок АВ в точке С на расстоянии АС = 54 см.

Тот же результат был бы получен при выборе за центр приведения точки В, но в этом случае получилось бы ВС₂ = 1,42 м и BС~ 146 см (рис, 1,46, б). Проверьте: так ли это.

Контрольные вопросы и задания

1. Чему равен главный вектор системы сил?

2. Чему равен главный момент системы сил при приведении ее к точке?

3. Чем отличается главный вектор от равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил?

· величиной и направлением;

4. Тело движется равномерно и прямолинейно (равновесие). Чему равны главный вектор и главный момент системы?

5. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Чему равны главный вектор и главный момент действующей на него системы сил?

7. Какое еще уравнение равновесия нужно составить, чтобы убе­диться в том, что система сил (рис. 5.7) находится в равновесии?

Рассмотрим условия равновесия произвольной плоской и пространственной систем сил, включая три основные формы и частные случаи равновесия для систем параллельных и сходящихся сил:

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, M_O=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

Формы условий равновесия

Первая форма

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy) из этих уравнений получаются только три:

причем оси и точка O, относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Вторая форма

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B.

Третья форма

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A, B и C не должны лежать на одной прямой.

Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

Другие условия равновесия

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

и два уравнения для плоской системы:

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Читайте также:

  
• Упражнения с координационной лестницей для детей в детском саду
  
• Векторная графика самая интересная тема в курсе школьной информатики
  
• Концептуализм это в философии кратко
  
• Мегаполис это определение кратко
  
• Сценарий спортивного праздника зимушка зима в детском саду