Золотое сечение вокруг нас доклад

Обновлено: 05.07.2024

Многие читали о золотом сечении, а многие биологи, архитекторы, инженеры и сталкиваются с его пропорциями в своей работе. Но многие ли понимают, почему наше восприятие гармонии (в природе, в живописи, вообще в искусстве) связано именно с пропорциями золотого сечения? Я. например, не понимал этого, пока не прочитал однажды небольшую заметку немецкого учёного Отто Эстерле. На русском языке эта заметка была опубликована как письмо в редакцию одного из популярных в начале 2000-х годов журнале по поводу нескольких ранее изданных в этом журнале статей на эту тему. Хотя текст не слишком прост для неподготовленного читателя, но он заслуживает того, чтобы привести его здесь, поскольку дает самый широкий (насколько мне известно) взгляд на чудо золотого сечения. Привожу ниже текст письма О. Эстерли с небольшими сокращениями:

« Похоже, что я смог ответить на вопрос, почему оно так распространено в природе? В природе существуют два случая взаимодействия частиц с полем. Когда одну частицу одновременно пересекают несколько силовых линий поля, элементарные взаимодействия с каждой линией суммируются . А когда несколько частиц последовательно пересекают одну силовую линию, взаимодействие описывается экспоненциальным законом Бугера — Ламберта — Бера, то есть взаимодействия перемножаются . Теперь представим себе атомное ядро, вокруг которого вращаются электроны. Когда внутренний электрон кратковременно „заслоняет“ (экранирует) внешний от ядра, он ослабляет притяжение последнего к ядру и вызывает его кратковременное удаление от ядра. По окончании экранирования происходит возврат электрона на прежнюю орбиту. Но электроны обладают инерцией и „не хотят“ совершать такие „прыжки“. Поэтому они занимают орбиты с такими удалениями друг от друга, чтобы два упомянутых выше типа взаимодействия — суммирование и перемножение — давали один и тот же результат и „гладкую“ орбиту. Эти две математические операции объединяются, как известно, в ряду Фибоначчи… Этот же механизм объединяет планеты в солнечной системе, звезды в рукавах галактик, оптимизирует форму и параметры живых организмов, нашего мозга и т. д.

Ну а для тех, кто совсем ничего не читал о золотом сечении, сообщу здесь некоторые самые известные сведения.

Золотое сечение — числовое решение проблемы гармонии части и целого.

Числа золотых сечений занимают особое место среди других чисел или рядов. Два самых известных из них, обозначаются русской буквой Ф, это Ф=0. 61803398875 . и (Ф)-1= 1.61803398875 . Проще всего эти числа получаются как решение задачи о делении отрезка в средне пропорциональном отношении, когда целое так относится к большей своей части, как большая к меньшей. Такая задача имеет решение в виде корней уравнения (X) в квадрате+Х—1=0. За этими числами скрыто множество удивительных свойств, выражающих законы мировой гармонии, законы гармонии части и целого.

Золотое сечение было известно ещё в древнем Египте (период Древнего царства, 2500 лет до н.э,), и затем в древнем Риме:

* Пропорции пирамиды Хеопса , храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

* Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.

Что такое аддитивность и мультипликативность, о которых я сказал выше? Аддитивность — свойство структурированного целого, универсальное свойство окружающего нас мира, где всякое целое состоит из частей и само является частью большего целого. Мультипликативность — также универсальное свойство развития, роста, любого динамического процесса развитая целого и его частей. Оно показывает, что на все части структурно организованного целого распространяется одна и та же закономерность роста. То есть целое должно оставаться во времени качественно тождественным самому себе в любой момент бытия. Это универсальный код развития структурированного целого, его сущность. Подчеркнем теперь главное, что нужно помнить всякий раз, когда речь идет о золотом сечении — золотое сечение связано с формообразованием, с качественной трансформацией, с основным свойством Бытия, свойством гармонии.

Деление отрезка в средне пропорциональном отношении — это проекция задачи гармонии части и целого из трех, четырех (или более)-мерного пространства на одномерный мир, классический и простейший пример золотого сечения. Законы золотого сечения пронизывают растительный и животный мир: членение стеблей растений, закручивание спиралей подсолнечника, пропорции человеческого тела — все подчинено этим законам.

Золотое сечение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

1. История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.

И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении (Рис. 3). Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

2. Золотое сечение в математике

В математике пропорцией называют равенство двух отношений:

a: b = c: d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

. на две равные части - АВ : АС = АВ : ВС ;

. на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС .

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a: b = b: c или с: b = b: а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки (Рис. 4).

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ . Полученная точка С соединяется линией с точкой А . На полученной линии откладывается отрезок ВС , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую АВ . Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618…, если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382… Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x2 - x - 1 = 0.

3. Золотое сечение в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины (Рис. 6) привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНК закручена двойной спиралью (Рис. 7).

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

4. Золотое сечение в архитектуре

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (Рис. 8)

Еще один архитектурный шедевр Москвы - дом Пашкова (Рис. 12) - является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

. Золотое сечение в живописи

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки.

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (Рис. 13).

золотой математика сечение

Доверяя глазу больше, чем другим органам чувств, человек в первую очередь учился различать окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Эту мысль разделяли и разделяют многие выдающиеся современные ученые, доказывая в своих исследованиях, что истинная красота всегда функциональна. В их числе и авиаконструкторы. И архитекторы, и антропологи, и многие другие.

Средняя образовательная школа №3 Сахалинской области г.

Автор: Белякова Полина Евгеньевна

ученица 7 класса МБОУ СОШ № 3

Научный руководитель: Цой Юлия

Енхановна учитель математики

История Золотого сечения……………………………………..

Золотое сечение в геометрии…………………………………..

Золотое сечение в природе……………………………………..

Золотое сечение в жизни человека……………………………

Актуальность:

Цель исследования:

Объект исследования:

Предметом исследования является процесс проведения серии экспериментов подтверждающих наличие золотого сечения в повседневной жизни.

2. Исследовать присутствие золотого сечения в жизни человека и природе.

3. Изучить практическое применение этого понятия, провести эксперименты с элементами золотого сечения.

4. Научиться анализировать и делать выводы.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2. Социологический опрос, эксперименты.

3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Предметы исследования:

Природа, архитектура, человек.

Методика исследования.

Что же такое золотое сечение?

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части бесконечным множеством способов, но говорят что точка С производит Золотое сечение отрезка АВ только если соблюдается пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, то есть для длин отрезков было верно AC/АВ = СВ/АС. Говоря простыми словами, золотым сечением

называется отрезок рассечён на две неравные части так, что большая часть отрезка составляет такую же долю в целом отрезке, какую меньшая часть

отрезка составляет в его большей части. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

>>>> Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой Ф в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой Т . Из исходного равенства нетрудно получить, что число

Число Ф также называется золотым числом. Оно равно – 0,618.

История Золотого сечения.

расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.

Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.

Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.

Золотое сечение в геометрии.

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей.

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка АВ можно построить следующим образом: в точке В восстанавливают перпендикуляр к АВ , откладывают на нём отрезок ВC, равный половине АВ , на отрезке АС откладывают отрезок CD , равный BC , и наконец, на отрезке AB откладывают отрезокAE , равный AD . Тогда

Пятиконечная звезда (пентаграмма) наряду с золотой пропорцией содержит все "древние" средние. Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического строения, по-видимому, и являются основой красоты ее внешней формы. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,— звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д.

Если радиус исходной окружности R = 1 и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения в последовательности вписанных друг в друга звездчатых десятиугольников. Заметим, что обнаруженное созвездие вложенных друг в друга пятиконечных звезд позволило сразу увидеть ряд золотого сечения при десятикратном делении окружности.

Золотое сечение в природе.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой — в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции).
Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Очень совершенна форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.
Многие насекомые (например, бабочки, стрекозы) в горизонтальном разрезе

имеют простые асимметричные формы, основанные на золотом сечении.
Паук плетет паутину спиралеобразно.

Золотое сечение в жизни человека.

Все кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения. И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальным выглядит внешность человека.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.Достаточно, лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения.
Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении.

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении.

Эти пропорции я показала в изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

Но не только создатель Аполлона, но и скульптор Фидий часто использовал золотую пропорцию в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос.

Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция. Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Золотое сечение является отображением окружающегося мира

Человеческое представление о красивом формировалось под влиянием порядка и гармонии

С возрастом увеличивается количество людей, выбирающих Золотую пропорцию. Золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

В своей работе я рассмотрела пропорцию, научилась делить отрезок в золотом сечении. Исследовала пропорцию человеческого тела, увидел пропорцию в окружающей нас природе.

Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Эта пропорция используется практически во всех областях знаний.

Представьте, что уставший человек решил отдохнуть на скамейке в парке. В каком месте он опуститься на скамью? Оказывается, большинство людей непроизвольно выбирают место на скамье несколько смещенное от середины.

Пропорции золотого сечения часто используются не только художниками. Леонардо да Винчи находил это отношение в пропорциях человеческого тела. Древнегреческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при оформлении Парфенона.

В математике пропорция (лат. proportio) — это равенство между двумя отношениями четырех величин: а : b = с : d. Для примера можно рассмотреть деление на части отрезка прямой. Отрезок АВ можно разделить точкой С на две равные части. Это будет соотношение равных величин — АВ : АС = АВ : ВС. Этот же отрезок можно разделить на две неравные части в любом отношении. Эти части пропорции не образуют. Отношение малого отрезка к большому или меньшего к большему есть, а соотношения (пропорции) нет. И, наконец, отрезок можно разделить по золотому сечению, когда отношение всего отрезка к его большей части и большей части к меньшей образуют пропорцию. Это и есть золотое деление или деление в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - деление величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине или другими словами, вся величина так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.

Речь о делении отрезка относительно его центра и краев. В общеупотребимом переводе на условный русский – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

Эта пропорция равна:

Если выразить отношение длин частей отрезка к длине всего отрезка в процентах, то получается примерно 62% и 38%, если точнее, то 61,8% и 38,2%.

Если алхимики много лет искали секрет философского камня, который любой металл мог превратить в золото, то математики старались отыскать математическое уравнение, способное объяснить любое явление в природе. Зная это уравнение, можно было бы понять сущность бытия, понять прошлое и заглянуть в будущее. Многие античные и средневековые математики тратили всю жизнь на поиски этой волшебной формулы, а некоторым даже казалось, что они смогли раскрыть тайну вселенной. Золотое сечение – это, по мнению математиков, одно из математических уравнений, способных объяснить окружающий мир. И действительно, примеры золотого сечения в живой природе, архитектуре, произведениях искусства встречаются довольно часто.

Читайте также: