Зеркальная симметрия в геометрии доклад

Обновлено: 17.05.2024

Центральной симметрией называют преобразование пространства относительно точки A , переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре.Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

· Центральная симметрия является движением;

· Любая прямая при центральной симметрии преобразуется в прямую. Причем, прямая, проходящая через центр, преобразуется в себя. Прямая, не проходящая через центр, преобразуется в параллельную ей прямую. (доказано в задаче 2)

· Центральная симметрия сохраняет расстояния между точками.

· Центральная симметрия переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи.

Докажем, что центральная симметрия является движением.

Обозначим буквой O центр симметрии и введем в прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек M (x; y; z) и M₁ (x₁; y₁; z₁), симметричных относительно точки О.

Если точка М не совпадает с центром О, то О – середина отрезка ММ₁. По формулам координат середины отрезка получаем = 0, = 0, =0, откуда x₁ = -x, y₁= -y, z₁ = -z.

Рассмотрим теперь две точки А (x₁; y₁; z₁) и В (x₂; y₂; z₂) и докажем, что расстояние между симметричными им точкам А₁ и В₁ равно АВ. Точки А₁ и В₁ имеют координаты А₁ (-x₁; -y₁; -z₁ ) и В₁ (-x₂; -y₂; -z₂). По формуле расстояния между двумя точками находим: . Из этих соотношений ясно, что АВ=А₁В₁, что и требовалось доказать.

Построим точку А₀ симметричную точке А относительно точки О.

Пусть А (a; b; c). Тогда координаты A₀ (-a; -b; -c).

Фигуры, обладающие центральной симметрией.

1. – тетраэдр 2. – куб 3. – октаэдр 4. – додекаэдр 5. – икосаэдр

Применение центральной симметрии в жизни.

В архитектуре центральная симметрия используется реже осевой. Она присуща античным круглым храмам, используется в колоннах.

Колизей Пирамиды в Египте

Башни церквей, замков, колонны проектировались с учетом центральной симметрии. Такие сооружения предавали зданиям массивности. Башни одинаково роскошно выглядели с любой плоскости города.

Центральная симметрия в природе. Она присутствует в снежинках, листьях деревьев и трав, насекомых, цветах, животных.

Центральная симметрия прослеживается в

костюмах казанских татар

№ 1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при центральной симметрии относительно начала координат.

При центральной симметрии относительно начала координат знаки координат искомых точек меняются на противоположные.

А (0; 1; 2) → А₁ (0; -1; -2)

В (3; -1; 4) → В₁ (-3; 1; -4)

С (1; 0; -2) → С₁ (-1; 0; 2)

№ 2. Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

а)

Через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость. Пусть О — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через О и а. Пусть А ∈ а, построим отрезок ОА.

Продолжим ОА за точку О на расстояние ОА₁=АО. Получим точку А₁, симметричную А.

Пусть В ∈ а, построим отрезок ОВ. Продолжим ОВ за точку О на расстояние ОВ₁=ОВ. Получим точку B₁, симметричную точке В.

Через А₁ и В₁ проведем прямую b. Рассмотрим ΔAОВ и ΔА₁ОВ₁⋅AО=А₁О, ВО=ОВ₁, ΔАОВ=ΔА₁ОВ₁ как вертикальные, следовательно, ΔAОВ=ΔА₁ОВ₁.

Тогда, ∠1=∠2 и а || b.

Пусть А ∈ а. Симметричная ей точка А₁ тоже принадлежит прямой а; АО=ОА₁.

Точка А произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра О лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости α) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно плоскости α.

Докажем, что зеркальная симметрия является движением.

Для этого введем прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы плоскость Oxy совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами точек и , и симметричных относительно плоскости Oxy

Найдем длину отрезков BC и B₁C₁ по формуле расстояния между точками:

Отсюда BC = B₁C₁, значит, зеркальная симметрия является движением.

Отсюда следует, что зеркальная симметрия обладает следующими свойствами:

· переводит прямые в прямые

· полупрямые – в полупрямые

· отрезки – в отрезки

· плоскости – в плоскости

· сохраняет углы между прямыми.

Фигуры, обладающие зеркальной симметрией

(слева на право) – куб, пирамида, цилиндр, конус, сфера

Зеркальная симметрия в жизни

Наиболее распространена вархитектуре зеркальная симметрия.

Эйфелева башня Тадж Махал

Зеркальная симметрия в природе может быть представлена отражением изображения в воде.

Животные, растения, и человек тоже могут послужить примерами зеркальной симметрии. Однако назвать их идеальными примерами сложно, ведь даже лицо человека, которое на первый взгляд может показаться симметричным, таковым не является.

№ 1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

Если плоскость симметрии - плоскость Оxy, то меняем значение координаты z на противоположную (т.к. ось Оz перпендикулярна плоскости Оxy, О – точка их пересечения)

А (0; 1; 2) → А₁ (0; 1; -2)

В (3; -1; 4) → B₁ (3; -1; -4)

С (1; 0; -2) → C₁ (1; 0; 2)

Аналогично решение с другими плоскостями.

Если плоскость симметрии - плоскость Оyz, то меняем значение координаты x.

А (0; 1; 2) → А₁ (0; 1; 2)

В (3; -1; 4) → B₁ (-3; -1; 4)

С (1; 0; -2) → C₁ (-1; 0; -2)

Если плоскость симметрии - плоскость Оxz, то меняем значение координаты y.

А (0; 1; 2) → А₁ (0; -1; 2)

В (3; -1; 4) → B₁ (3; 1; 4)

С (1; 0; -2) → C₁ (1; 0; -2)

№ 2. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β₁. Докажите, что если: а) β || α, то β₁ || α; б) β ┴ α, то β₁ совпадает с β.

а) Выберем три точки в плоскости А, В, С, не лежащие на одной прямой. Проведем АА₂⊥α, ВВ₂ ⊥α, СС₂ ⊥α. Продолжим эти отрезки за точки А₁, B₁, C₁ так, что А₂А₁=АА₂, B₂B₁=BB₂, C₂C₁=CC₂.

Плоскость β₁ проходит через точки А₁, В₁ и C₁, она — единственная.

Если две пересекающиеся прямые (ВА и ВС) одной плоскости (β) параллельны двум прямым (B₁A₁ и В₁С₁) другой плоскости (β₁), то эти плоскости параллельны: β₁ || β.

б)

Пусть α⊥β. Возьмем произвольную точку А ∈ β и построим АО перпендикулярно плоскости α. Продолжим отрезок за точку О на расстояние ОА₁=АО.

Две плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из них проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, тогда этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости, т.е.

АО⊂β, следовательно, и АА₁ ⊂β.

Таким образом, каждая точка плоскости β отображается в точку, ей симметричную, которая тоже принадлежит плоскости β. тогда, плоскость β отображается сама на себя, или β₁ совпадает с β.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Зеркальная симметрия в геометрии. Презентация на заданную тему содержит 16 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Симметрия - это гармония в расположении одинаковых предметов какой-либо группы или частей в одном предмете, причем расположение определяется одной или несколькими воображаемыми зеркальными плоскостями.

Виды симметрии а) Лучевая симметрия б) Осевая симметрия в) Центральная симметрия г) Зеркальная симметрия

Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости  точку М1.

Это математическое понятие описывает соотношение в оптике объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале, а также многие законы симметрии.

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S ( рис.104 ), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E1 этой же фигуры, так что отрезок EE1 перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам ( EA = AE1 ). Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова. Они называются зеркально равными.

Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Зеркальный двойник оказывается "вывернутым" вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала.

Докажем,что зеркальная симметрия есть движение. Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим плоскость Оxy с плоскостью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1)

Если М не лежит в плоскости Оху, то х =х1, у =у1, z = -z1. Если М I Оху , то x=x1, y=y1, z=z1=0 Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А—> А1, В—> В1 , тогда А1(x1; y1; -z1), В1(x2; y2; -z2), тогда АВ=А1В1, т.е.Оху – движение.

Зеркально осевая симметрия. Если плоская фигура ABCDE ( рис.107 ) симметрична относительно плоскости S ( что возможно, если только плоская фигура перпендикулярна плоскости S ), то прямая KL, по которой эти плоскости пересекаются, являетсяосью симметрии фигуры ABCDE. В этом случае фигура ABCDE называетсязеркально-симметричной.

Прямая призма обладает зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна её основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними.

Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону оси, и благодаря двойственности отдельных элементов сооружение “читается” целиком даже при восприятии с одной стороны. Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону оси, и благодаря двойственности отдельных элементов сооружение “читается” целиком даже при восприятии с одной стороны.

Зеркальная симметрия-это симметрия окружающего нас мира. Построение изображения с помощью зеркальной симметрии сходно с изображением в зеркале.

Если какой-либо предмет или плоскую фигуру можно разделить плоскостью на две половины таким образом, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости, как в зеркале, повторила другую, то они обладают зеркальной симметрией (Рисунок 2.8).

Зеркальная симметрия – это симметрия относительно плоскости, в природе она называется билатеральной симметрией. Зеркальная симметрия, хорошо знакомая каждому из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его изображение в плоском зеркале.

Геометрическое определение таково: фигура называется симметричной относительно плоскости Р (зеркальная плоскость, плоскость симметрии), если каждой точке Е этой фигуры соответствует такая принадлежащая той же фигуре точка F, что отрезок ЕF перпендикулярен к плоскости Р и делится этой плоскостью пополам (Рисунок 2.9) [3].

1.5. Зеркально-поворотная симметрия

Вырежем из плотной бумаги квадрат и впишем внутрь его косо другой квадрат (Рисунок 2.10).

Затем отогнем углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате получим объект, показанный на рисунке 2.11.

В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта. Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90° вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка.

Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций – поворота на 90 и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота. Такой вид симметрии получил название зеркально-поворотной. [3]

1.6.Переносная (трансляционная) симметрия

При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой (Рисунок 2.12).

В этом случае говорят о переносной, или трансляционной, симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом или периодом. Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса.

Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры. Из рисунка 2.13 видно, что при переносе конечной фигуры на расстояние а вдоль прямой АВ наблюдается совмещение участка 1 и участка 2. [3]

2. Параллельный перенос

При параллельном переносе все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (Рисунок 2.14).

Параллельным переносом можно назвать переносную (скользящую) симметрию вдоль прямой (Рисунок 2.15). [1]

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

СИММЕ́ТРИ́Я, в геометрии — свойство геометрических фигур. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), если ее точки попарно обладают указанным свойством. Фигура симметрична относительно точки (центр симметрии), если ее точки попарно лежат на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных расстояниях от него.

Зеркальная симметрия Математическое понятие соотношение в оптике объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале , а также многие законы симметрии.

Зеркальная симметрия. Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело).

Определение Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости  точку М1. ММ м М М М1 О О М М К К   ОМ=ОМ1 ; ММ1  МК=М1К1 М1 К1

Фигуры, симметричные относительно плоскости Фигура ( тело) называется симметричной относительно некоторой плоскости, если эта плоскость разбивает фигуру на две равные симметричные части.

Докажем , что зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz так, что бы плоскость Oxy совпала с плоскостью симметрии и установим связь между координатами двух точек М(x;y;z) и М1(x1;y1;z1) Z y x о М М1

Зеркальная симметрия в архитектуре и природе. Отражение прибрежных зданий Оптическое отражение в реке прибрежных деревьев Отражение свечи в зеркале

Какие примеры зеркальной симметрии можно встретить в повседневном мире и всегда ли это красиво? Что это такое? Какие характеристики ее определяют? Отражательную симметрию можно найти в геометрических фигурах, математике, природе и искусственном мире.

Что такое рефлексивная симметрия?

Какое можно дать определение? Зеркальная симметрия возникает, если при разделении объекта или формы пополам, каждая половина будет отражать другую. Иногда объекты или формы имеют более одной линии симметрии. Возьмем, к примеру, букву H. Сколько линий симметрии она имеет? Если вы ответили две, вы правы. Есть два способа сделать линию, чтобы каждая половина отражала другую половину.

Можно ли считать человеческое лицо симметричным?

Что, если вы посмотрите на собственный снимок, особенно фотографию как в паспорте, и нарисуете линию прямо посередине вашего лица, от лба до подбородка? Что бы вы заметили? Разве не казалось бы, что одна сторона вашего лица является отражением другой? Например, с каждой стороны будет глаз. Обе половины ваших губ выглядели бы почти одинаково. Если нет шрамов от какой-либо травмы, обе половины вашего носа выглядели бы одинаково. В идеале ваша гипотетическая фотография паспорта - всего лишь один из примеров зеркальной симметрии, также известной как двусторонняя или линейная симметрия. Линия, которую вы нарисовали, чтобы разделить ваше лицо, называется линией симметрии.

Однако, поскольку люди имеют неконтролируемые различия, наши лица не всегда могут рассматриваться как идеальные примеры. Например, у некоторых из нас может быть одна сторона лица красивее, чем вторая. Если вы внимательно посмотрите в зеркало, вы можете заметить, что один из ваших глаз немного меньше другого, одна скула шире, чем другая, и так далее. Многие аспекты человеческого облика могут искажать понятие истинной рефлексивной симметрии, поэтому истинная зеркальная симметрия должна удовлетворять определенным условиям.

Примеры рефлексивной симметрии

Многие буквы алфавита имеют зеркальную симметрию. Некоторые используют вертикальную линию; некоторые используют горизонтальную линию. Какие есть примеры зеркальной симметрии в геометрии? Формы также могут демонстрировать рефлексивную симметрию, такую как круги и квадраты, которые имеют четыре линии симметрии. В зависимости от типа треугольника можно иметь нулевую, одну или три линии.

Поскольку мы все больше и больше изучаем нашу окружающую среду и наше окружение, мы видим, что природа может быть описана математически. Красота цветка, величие дерева, даже скалы могут проявлять зеркальную симметрию в природе. Есть и другие примеры, которые можно найти в кристаллографии или даже на микроскопическом уровне. Кажется, что везде, куда мы сейчас смотрим, наши глаза сначала обращаются к существующим образцам симметрии.

Существуют разные виды симметрии

Радиальная симметрия - это вращательная симметрия вокруг неподвижной точки, известной как центр. Радиальная симметрия может быть классифицирована как циклическая или двугранная. Примеры в природе: морская звезда, медузы, цветы, змеи, насекомые, соты пчел. Восточная белая сосна имеет интересную симметрию на стволе. Каждый год по мере роста дерева он развивает новое кольцо ветвей.
Диэдральные симметрии отличаются от циклических тем, что они имеют симметрию отражения в дополнение к вращательной симметрии.

В математике

Зеркальная симметрия является симметрией относительно отражения. То есть фигура, которая не изменяется при отражении, имеет рефлекторную симметрию. Если бы форму нужно было сгибать пополам по оси, две половины были бы одинаковыми: две половины - зеркальные изображения друг друга. Таким образом, квадрат имеет четыре оси симметрии, поскольку существует четыре разных способа свернуть его и согласовать края. Круг имеет бесконечно много осей симметрии.

Симметричные геометрические фигуры 2D-формы с отражательной симметрией, равнобедренная трапеция, шестигранники. восьмиугольники - это все примеры зеркальной симметрии в геометрии. Треугольники с симметрией отражения являются равнобедренными. Все односторонние многоугольники имеют две простые отражающие формы: одну с линиями отражений через вершины и одну по краям.

В природе

Многие животные являются симметричными. Такие организмы имеют отражательную симметрию в сагиттальной плоскости, которая разделяет тело вертикально на левую и правую половинки с одним из каждого органа чувств и пары конечностей с обеих сторон. Большинство животных имеют двустороннюю симметричность, вероятно, потому что это поддерживает движение вперед и баланс.

В архитектуре

Зеркальная симметрия часто используется в архитектуре. Она также встречается в дизайне древних сооружений, таких как Стоунхендж. Симметрия была и является по сей день ключевым элементом в некоторых стилях архитектуры, так как считается символом красоты, гармонии и совершенства. В архитектуре симметрия - это отражение общих форм, форм или углов по центральной линии или точке, называемой осью. В принципе, компоненты, которые отражают друг друга по оси, являются симметричными. Это один из старейших и наиболее постоянно используемых принципов в архитектуре.

Симметрия помогает связать различные элементы структуры вместе в единое целое. Она также широко используется для создания чувства рационального порядка и спокойной логики, предпочтительной эстетики древних греков и римлян. Мы можем смотреть на симметрию во многих масштабах, от отношения между отдельными деталями, до макета полной структуры и даже до всех городских центров, построенных на симметричной сетке.

Основополагающий принцип устройства мира

Симметрия – везде, и поэтому она является эффективным методом познания природы. В природе она обеспечивает устойчивость, равновесие, надежность и прочность. Симметричные формы более устойчивы к различным воздействиям. Существует бесчисленное множество видов симметрии, однако, для живой и неживой природы также является вполне естественной определенная асимметрия.

Для организации всех живых структур свойственно геометрическое подобие. например, кленовые листочки похожи друг на друга, лист березы подобен листу березы и так далее. Что бы ни происходило в процессе жизнедеятельности живой клетки, которая принадлежит целому организму и выполняет функцию его воспроизведения в новый отдельный субъект, она является все лишь отправной точкой. В результате деления эта маленькая ячейка преображается и формируется в объект, схожий по всем показателям первоначальному.

Живым организмам симметрия оказывает неоценимую услугу, в первую очередь, это равновесие при передвижении и функционировании. Это можно наблюдать и в растительном мире. Симметричное расположение ветвей обеспечивает стволам деревьев определенную устойчивость тем, что регулирует распределение силы тяжести. Интересен то факт, что большинство деревьев и имеют конусообразную вершину. С чем это связано? Все в природе хорошо продумано: форма конуса дает возможность не только верхним, но и нижним листьям получать достаточное количество солнечных лучей, не говоря уже об установлении центра тяжести, от которого зависит устойчивость растения.

Симметрия вместе с асимметрией успешно сосуществуют в нашем мире, и та и другая нашли свое отражение в генах живых организмов, они гармонично дополняют друг друга.

Читайте также: