Вычисления с заданной точностью доклад

Обновлено: 30.06.2024

После изучения основных понятий функциональных и степенных рядов, задачи разложения функций в ряды переходим к обширной группе приложений рассматриваемой темы. К основным заданиям, которые часто встречаются на практике, относятся следующие:

– приближённое вычисление значения функции с помощью ряда;

На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:

Существует 2 типа рассматриваемой задачи, с которыми мы на самом деле уже сталкивались ранее, в частности при вычислении интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона. Тип первый:

Используя разложение функции в ряд, вычислить число , ограничившись 5 членами разложения. Результат округлить до 0,001. Провести вычисления на калькуляторе и найти абсолютную погрешность вычислений.

Кратко повторим, что такое сходимость функционального ряда: чем больше слагаемых мы рассмотрим, тем точнее функция-многочлен будет приближать функцию . Действительно, график параболы совсем не напоминает экспоненту и график кубической функции тоже далёк от идеала, но если взять 50-100 членов ряда, то картина в корне поменяется. И, наконец, график бесконечного многочлена совпадёт с графиком экспоненциальной функции .

Примечание: в теории даже есть такой подход и определение: функция – это сумма функционального ряда .

В условии прямо сказано, что нужно просуммировать 5 первых членов ряда, причём, результат следует округлить до 0,001. И поэтому проблем здесь никаких:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора:

Абсолютная погрешность вычислений:
– ну что же, вполне и вполне неплохо. Но бывает лучше.

Ответ:

Теперь рассмотрим нескольку другую разновидность задания:

Используя разложение функции в ряд, вычислить приближённо с точностью до 0,001.

! Примечание: иногда аргумент бывает выражен в градусах, в таких случаях его необходимо перевести в радианы.

– с округлением финального результата до требуемой точности.

Ответ: с точностью до 0,001

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

В практической деятельности люди постоянно имеют дело со значениями разных величин: длины, площади, объема, массы, температуры и так далее.

Числа, встречающиеся на практике, бывают двух видов. Одни дают истинное значение величины, другие – только приблизительное. Первые называют точными , вторые – приближенными .

Точное значение величины удается найти лишь в некоторых случаях.

Можно точно указать число вагонов железнодорожного поезда.

Точно подсчитать, сколько учеников есть одновременно в классе.

В книге 512 страниц, число 512 – точное.

В шестиугольнике 9 диагоналей, число 9 – точное.

В классе есть 29 учеников, число 29 – точное.

Однако по большей части приходится иметь дело лишь с приближенными значениями величин.

Чаще всего удобно пользоваться приближёнными числами вместо точных, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря, верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются нам в жизни на практике. Приближённые числа могут получаться, прежде всего, при счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.

Лишь приблизительно оценивают :

– количество зрителей телепередачи,

– количество перелетных птиц,

– количество деревьев в лесу.

Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 – приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, а с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.

Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 – приближённое, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.

Приближенные значения получаются в результате измерений.

Можно ли измерять длину рейки точно ? Нет. Даже если услышите, что длина какой-то рейки равняется, например, 9,42783 м , не верьте этому. Ведь длину такой рейки с точностью до сотой миллиметра нельзя измерять. Результат каждого измерения – приближенное значение величины.

Невозможно, точно измерять длину стержня. Ведь измерение мы проводим с помощью какого-то прибора (линейки, штангенциркуля, микрометра, оптиметра (оптико-механический измерительный прибор) и тому подобное), а точность измерения прибором всегда ограничена. Кроме того, изготовляя прибор в заводских условиях, гарантируют лишь ту или другую степень точности его изготовления. Наконец, выполняя измерение, мы можем допускать ошибки, связанные с нашим опытом работы и личными качествами.

Невозможно точно измерять площадь земельного участка, температуру воздуха, скорость полета самолета и так далее.

Приближенные значения получают при округлении истинных значений величин.

Приближённые и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берётся только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах .

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа.

Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной.

Для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3 , 6 , 7 , а сомнительными 1 и 4 . В записи приближённого числа оставляют только верные цифры. Дробь будет выглядеть таким образом – 3,67 .

Число 2,19563 в расчете, который не нуждается высокой точности, можно округлить, заменив его числом 2,196 или даже числом 2,20 , которые являются приближенными значениями числа 2,19563 с излишком.

Итак, в разных случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и к приближённому числу.

Границы значения величины.

Всякое измерение (длины, веса и так далее) выполняется только приблизительно. Иногда, даже в тех случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и небольшая разность.

Рассмотрим процесс определения массы детали с помощью рычажных весов и набора гирь, наименьшая из которых имеет массу 1 г.

Обозначим массу детали в граммах через m , тогда результат взвешивания можно записать в виде двойного неравенства :

Заменив потом гирю 10 г гирей 5 г , и убедимся, что масса детали больше 25 г,

Положив на чашу весов с гирьками еще 2 г , заметим, что масса детали меньше чем 27 г.

Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали в граммах :

26 г – приближённое значение с недостачей,

27 г – приближённое значение с излишком.

Другими словами, мы установили границы значения массы в граммах. Число 26 – нижняя граница, число 27 – верхняя граница.

Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна 2 г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа 25 г и 27 г, то есть масса была бы определена менее точно.

Зная пределы значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая зависит от первой.

Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины а стороны равностороннего треугольника :

5,4 ≤ а ≤ 5,5.

Надо найти пределы периметра Р .

Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле :

Р = 3а .

Из условия, что а ≥ 5,4 выплывает, что 3а ≥ 16,2 .

Из условия, что а ≤ 5,5 выплывает, что 3а ≤ 16,5 .

Числа 16,2 и 16,5 – приближенные значения периметра (в см) с недостачей и излишком:

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Записать решение можно и так :

5,4 ≤ а ≤ 5,5,

5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Пусть известны границы какого-то числа х :

Надо оценить значение выражения 1 /_х .

Из условия задачи определяем, что х – число положительное .

Поскольку х ˃ 3 , то

Поскольку х , то

Выходит, что

Заменим границы значения выражения 1 /_х десятичными дробями. Число 1 / ₆ можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением с недостачей), а число 1 / ₃ – лишь больше (приближением с излишком). Поскольку

то границами значения выражения 1 /_х могут быть десятичные дроби 0,1 и 0,4 .

Заменив нижнюю границу числом 0,1, а верхнюю – числом 0,4 , мы расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения 1 /_х.

по известным правилам округления, то получили бы, что

Но тогда неизвестное нам точное значение выражения 1 /_х могло бы очутиться вне полученных границах.

Способ записи приближённых чисел.

Приближённые значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности приближения.

На рулоне обоев написано, что его длина равна

Эта запись означает, что длина рулона равна 18 м с точностью до 0,3 м, то есть точное значение длины может отличаться от приближённого значения, равного 18 м, не более чем на 0, 3 м. Другими словами длина рулона должна находиться между

18 – 0,3 = 17,7 м и

18 + 0,3 = 18,3 м .

Если измеряя длину х некоторой рейки, выявили, что она больше чем 6,427 м и меньше чем 6,429 м, то записывают :

х = 6,428 ± 0,001 м.

Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью до

0,001 м (одного миллиметра).

При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40 , запись 0,02 от 0,0200 и так далее.

Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения предшествующей цифры ).

Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398 , но не 2,421 и не 2,382 .

То же отличие производится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны, если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в виде 380 , а в виде 38 ∙ 10 . Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) верна.

Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47 ∙ 10 2 , или это число можно также записать в виде 4,7 ∙ 10 3 и так далее.

Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.

В числе 0,00385 три значащие цифры.

В числе 0,03085 четыре значащие цифры,

В числе 2500 – четыре,

В числе 2,5 ∙ 10 3 – две.

Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.

Через то, что мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.

Вычисления с приближенными данными.

Вычисления с приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами, можно так же получить приближённые числа.

При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном данном числе.

х ≈ 17,2 и у ≈ 8,407 .

Найдём приближённое значение суммы х и у .

х + у ≈ 25,607 .

Из данных приближённых значений 17,2 и 8,407 менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то есть до десятых, получим:

х + у ≈ 25,6 .

х ≈ 6,784 и

у ≈ 4,91 .

Найдём приближённое значение разности х и у .

х – у ≈ 1,874 .

Из данных приближённых значений 6,784 и 4,91 менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть. до сотых, получим :

х – у ≈ 1,87 .

Найдите разность приближенных значений

х = 1,52 ± 0,01 и

у = 0,27 ± 0,02 .

Данным приближенным значением отвечают двойные неравенства

1,51 ≤ х ≤ 1,53 и

0,25 ≤ у ≤ 0,29.

Умножим все части последнего двойного неравенства на –1 , получим

– 0,29 ≤ – у ≤ – 0,25.

Прибавив это двойное неравенство к первому, получим

1 ,22 ≤ х – у ≤ 1 ,28, или

х – у = 1,25 ± 0,03.

Несколько иначе поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление производится с учётом относительной точности данных. В этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде

а × 10 n ,

и множитель а результата округляют, оставляя в нём столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.

х ≈ 0,86 и

у ≈ 27,1 .

Найдём приближённое значение произведения х и у .

Перемножив 0,86 и 27,1, получим :

Запишем данные числа и результат в стандартном виде :

23,306 = 2,3306 × 10 1 .

В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71 две цифры после запятой. Округлим число 2,2306 по первому данному, то есть до десятых. Получим :

ху ≈ 2,3 × 10 1 = 23.

х ≈ 60,2 и

у ≈ 80,1 .

Найдём приближённое значение произведения х и у .

Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так далее долями.

В произведении получаем 4822,02 . Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.

Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,23 и 80,14 . Тогда точное произведение будет 4826,8322 , так что цифра единиц в приближённом произведении (2) отличается от точной цифры (6) на 4 единицы.

х ≈ 563,2 и

у ≈ 32 .

Найдём приближённое значение частного х и у .

Разделив 563,2 на 32 , получим:

х : у ≈ 17,6 .

Запишем данные числа и результат в стандартном виде :

563,2 = 5,632 × 10 2 ;

Из этой записи видно, что число 1,76 следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим :

х : у ≈ 1,8 × 10 ≈ 18.

При умножении и делении приближённых чисел нужно в результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом данном с наименьшим числом значащих цифр.

Таким образом, при сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.

Теория приближённых вычислений позволяет:

– зная степень точности данных, оценить степень точности результатов ещё до выполнения действий ;

– брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов ;

– рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

Применение рядов позволяет с заданной точностью вычислять значение функций, определенных интегралов, находить частные решения дифференциальных уравнений и т. п. Основной трудностью при этом является оценка точности вычислений. Данную трудность преодолевают с помощью оценки остаточного члена ряда.

Если остаточный член ряда представлен с помощью функции , то необходимо найти - количество членов ряда, учитываемых при расчете, при котором остаточный член не превзойдет требуемой точности вычисления e, т. е. .

Если остаточный член представлен в виде знакочередующегося ряда , то оценка погрешности вычисления является наиболее простой. В этом случае применяют терему Лейбница, согласно которой сумма ряда (остатка ряда) по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена ряда.

Если же остаточный член представляет знакопостоянный ряд , то для его оценки необходимо составить так называемый можарирующий ряд. Данный ряд обычно является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сумма которой легко находится.

Пример 9.6. Вычислить значение числа е с точностью .

Используем разложение показательной функции в ряд Маклорена

Число n членов ряда, которые необходимо учесть, чтобы остаток ряда не превосходил заданной точности расчета , найдем из неравенства

Будем считать известным, что . Тогда условие для нахождения числа n примет вид . В ниже следующей таблице приведены оценки остаточного члена ряда при различных значениях

Составим можарирующий ряд, члены которого больше соответствующих членов этого остатка ряда.

Вынесем за скобки первый член остатка ряда

Очевидно , , поэтому заменим эти дроби единицей (усилим неравенство), имеем

Найдем сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, получим

Найдем n, при котором .

Таким образом, для достижения требуемой точности нужно принять .

Более точное значение, полученное с помощью калькулятора, .

Пример 9.11. Вычислить интеграл с точностью .

Данный интеграл относится к числу неберущихся и называется интегральным синусом.

Разложим в ряд и проинтегрируем, получим

Здесь для оценки погрешности использовали теорему Лейбница.

Пример 9.12. Найти частное решение дифференциального уравнения при .

Ищем решение в виде ряда

При отсюда имеем .

Продифференцируем ряд почленно

и подставим и в дифференциальное уравнение

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого равенства, получим:

Далее, очевидно, можно аналогично получить .

Записываем частное решение дифференциального уравнения

Решим данное уравнение аналитическим методом. Запишем уравнение в виде . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение этого уравнения имеет один корень . Общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде . Подставляем его в уравнение, получаем

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

. Частное решение . Общее решение исходного уравнения имеет вид . Используем начальные условия для нахождения произвольной постоянной С . Таким образом частное решение имеет тот же вид , что и при использовании разложения решения в степенной ряд Маклорена.

Пример 9.6. Вычислить значение числа е с точностью .

Используем разложение показательной функции в ряд Маклорена

Читайте также: