В мире четырехугольников доклад

Обновлено: 02.07.2024

Презентация содержит материал о свойствах и признаках четырехугольников и их взаимосвязи. Материал будет полезен на уроках геометрии и во внеурочной деятельности.

Вложение	Размер
prezentatsiya_v_mire_chetyrehugolnikov.pptx	2.04 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

В мире Четырехугольников Авторы: ученик 8 «г « класса: Исаев Данил. Руководитель: Родионова Галина Михайловна, учитель математики Геометрия 8 класс

Четырехугольники На этой странице мы расскажем о классификации четырехугольников по определенному признаку, а именно: Имеющие две пары параллельных сторон, Имеющие одну пару параллельных сторон, Не имеющие параллельных сторон. И найдем ответы на вопросы учебной темы ( проблемные ): Какие четырехугольники относятся к группе – параллелограммов? Какими свойствами и признаками обладают: параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат? Ответим на основополагающий вопрос: есть ли совершенная фигура среди параллелограммов ?

F 1 - выпуклый F 2 - невыпуклый Выпуклые и невыпуклые выпуклый невыпуклый

Четырехугольники Четырёхугольником называется многоугольник с четырьмя вершинами . Две несмежные (не выходящие из одной вершины) стороны четырёхугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними (не соединённые одной стороной), также называются противоположными .

Теория геометрической фигуры

Параллелограммы Обший признак – попарная параллельность сторон

Параллелограмм – это динамическая фигура, он дает определение прямоугольнику, ромбу.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник

Признаки прямоугольника Если в четырехугольнике три угла – прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник.

Квадрат Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны .

Свойства квадрата Для квадрата верны все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Признаки квадрата Если в четырехугольнике все стороны равны и все углы равны, то этот четырехугольник – квадрат

Для квадрата верны все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба . ·

Квадрат! Как много в этом слове фигур геометрических слилось

Гармония квадрата, может быть необъяснима, но она очевидна Квадрат – столь чтимый Пифагором, есть самая совершенная фигура среди параллелограммов

Презентация на тему Презентация В мире четырехугольников, предмет презентации: Геометрия. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 26 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайды и текст этой презентации

ВГАСУ Всероссийский Конкурс исследовательских проектов, выполненных школьниками и студентами при научном консультировании ученых Международной ассоциации строительных вузов

В мире четырехугольников

I. Введение
II. Основная часть
III. Заключение
IV. Библиографический список

Актуальность темы:
Вам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. Часто самые интересные факты - из-за малого количества отведенных на предмет часов - проходят мимо вас. На самом же деле мы с вами живем в мире, который неразрывно связан с геометрией. В ходе работы над проектом перед нами откроется удивительный мир четырёхугольников, обладающих неповторимыми свойствами.
Квадраты, ромбы, прямоугольники… каждый ученик сталкивается с ними в школе на уроках геометрии.
Основополагающий вопрос:
Можно ли представить себе мир без четырехугольников?
Зачем мы изучаем четырехугольники?
Какое применение находят четырехугольники в природе и технике?
Что связывает четырехугольники между собой?
Чем интересны четырехугольники?

Цель работы: Расширить представления о мире и математике, как о взаимосвязанных объектах.
Методы исследования:
изучение дополнительной литературы по данному вопросу;
наблюдения в повседневной жизни;
Обобщение и систематизация изученного материала .

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

Генеалогическое древо четырехугольников

Параллелограммом называется четырехугольник , у которого противоположные стороны попарно параллельны .
Свойства :
В параллелограмме противоположные
стороны равны и
противоположные углы равны .
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки:
Если в четырехугольнике две стороны равны
и параллельны , то этот четырехугольник параллелограмм
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам , то этот четырехугольник – параллелограмм.

Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые .
Особое свойство:
Диагонали прямоугольника равны.
Признак:
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм -прямоугольник

Ромбом называется параллелограмм , у которого все стороны равны.
Особое свойство ромба:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам .
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
Признаки:
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны , то этот параллелограмм – ромб
Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов , то этот параллелограмм – ромб
Если в параллелограмме все стороны равны , то этот параллелограмм –ромб

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства:
Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.
Признаки:
Если в прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны , то этот прямоугольник- квадрат.
Если в ромбе диагонали равны , то этот ромб – квадрат
Если в ромбе угол прямой , то этот ромб -квадрат
Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов , то этот прямоугольник- квадрат.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны , а две другие не параллельны.

прямоугольная равнобокая
Свойства равнобокой трапеции:
Углы при основаниях равны.
Диагонали равны.

Практическое применение четырехугольников

Задача 1.Как используя свойство средней линии треугольника, провести через пункт С дорогу, параллельную дороге, соединяющей пункты А и В
Решите эту задачу, не используя вышеуказанного свойства.

Решение:
АО = ОС. На луче ВО отложим отрезок ОD, равный ОВ. DС – искомая прямая II АВ, проходящая через С. Какие утверждения здесь использованы?
(Признак параллелограмма по диагонали).

Задача № 3. Как, используя свойство сторон параллелограмма, измерить ширину озера ?

Построить отрезки АD и ВС так, чтобы AD = BC;
AD║BC ⇒ ABCD – параллелограмм (признак параллелограмма ⇒ AB = DC. Следовательно, измерив DC, мы узнаем ширину озера.

Задача № 4. Жители трех домов, расположенных в вершинах равнобедренного треугольника с углом 120°, решили построить общий колодец. Какое место для колодца им следует выбрать, чтобы все три дома находились от него на одинаковом расстоянии ?

Колодец надо строить в точке D – четвёртой вершине ромба: AD=CD=BD.
Следовательно, CD║AB; AD⊥BC, т.к. АС=АВ⇒BD=AD=DC⇒ D – искомая точка

Задача № 5. В центре площади расположен фонтан, около которого надо разбить 4 одинаковые клумбы с розами. Как рассадить 36 кустов роз - по 10 кустов на каждой клумбе - с таким расчетом, чтобы фонтан был одинаково удален от всех клумб ?

Можно ли представить себе мир без четырехугольников?

Караундж – доисторическое чудо Армении.

В процессе работы над проектом я исследовал все научные сведения о четырехугольниках , их видах , свойствах, признаках, выяснил, в каких задачах живут четырехугольники? Были сделаны выводы о применении свойств и признаков четырехугольников в технике, быту и т.д.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: повысить интерес учащихся к изучению четырёхугольников.

®Сделать подборку нестандартных задач.

®Найти связь окружающего нас мира с миром четырёхугольников.

®Создать электронную презентацию по проекту.

®Продемонстрировать другим учащимся, что мир четырёхугольников может быть очень увлекательным.

®Провести опрос учащихся с целью определения степени эффективности работы по теме.

ТИП ПРОЕКТА: практико-ориентированный.

ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: творческий, информационный, прикладной.

ПРИМЕНЯЕМЫЕ УМЕНИЯ: проектные (организационные, информационные, поисковые, коммуникативные, презентационные, оценочные); предметные (математические).

ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ: групповая и индивидуальная.

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: учебная четверть.

СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ: печатные, наглядные, компьютерные презентации.

Геометрия одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические сведения мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (третье тысячелетие до нашей эры).

так называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Для него справедливы утверждения:

- противолежащие стороны попарно равны;

- противолежащие стороны равны и параллельны;

- противолежащие углы попарно равны;

- сумма углов, прилежащих к любой стороне, ра вна 180 0

-диагонали точкой пересечения делятся пополам

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон;

Каждая диагональ делит четырёхугольник на два равных треугольника;

Обе диагонали делят четырёхугольник на четыре равновеликих треугольника;

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии;

◊ Если соединить отрезками середины соседних сторон любого четырехугольника, получится параллелограмм

так называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

*все стороны равны;

*диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;

* обе диагонали являются биссектрисами внутренних углов;

* прямые, содержащие диагонали, являются осями симметриии.

Приведённые утверждения являются как свойствами, так и признаками ромба, т.е. являются необходимыми и достаточными условиями того, что четырёхугольник – ромб.

ТАК НАЗЫВАЕТСЯ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, У КОТОРОГО ВСЕ УГЛЫ ПРЯМЫЕ.

- диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

- две стороны параллельны и углы, прилежащие к одной из этих сторон, прямые.

- две противолежащие стороны равны и углы, прилежащие к одной из этих сторон, прямые.

- перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины, являются осями симметрии.

- если соединить отрезками середины соседних сторон любого прямоугольника, получится ромб.

- если соединить отрезками середины соседних сторон любого ромба, получится прямоугольник.

ТАК НАЗЫВАЕТСЯ ПРЯМОУГОЛЬНИК, У КОТОРОГО ВСЕ СТОРОНЫ РАВНЫ.

Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

квадрат имеет четыре оси симметрии:

- прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины;

-прямые, содержащие диагонали.

Так называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие – не параллельны (боковые стороны).

Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобокой (равнобедренной, равнобочной).

Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной.

- Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам.

- сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна 180 о .

Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременно и просты, и сложны, способны проявляться и единожды, и бесконечно много раз.

Некоторые четырехугольники обладают как центральной, так и осевой симметрией. Симметрия в природе - это проявление материи к серьёзности и прочности. Даже человек, мало знакомый с геометрией, выберет из предложенных фигур наиболее симметричные. Из всех треугольников самый симметричный – равносторонний, а из всех четырёхугольников – квадрат.

Большинство четырёхугольников могут быть отображены на себя только одним преобразованием.

Ромб же можно совместить с самим собой уже четырьмя преобразованиями: двумя осевыми симметриями относительно диагонали; и симметрией относительно центра. Но среди всех четырёхугольников самый богатый симметрией квадрат – у него их восемь.

Человек инстинктивно стремится к устойчивости, удобству, красоте. Наверное, поэтому нам кажутся более привлекательными фигуры, у которых больше симметрии. Работать с такими фигурами легче. Вот простой пример. Какие фигуры используются для измерения площадей? – квадраты, ведь они без пропусков и наложений могут заполнить всю плоскость. Искусству конструирования можно научиться и у природы – создательницы организмов, геометрическому изяществу которых позавидует любой математик. Различные симметрии используются в декоративно-прикладном искусстве. Чаще всего мы видим разные виды симметрии, встречающиеся в резьбе по дереву, в настенной лепке, в вышивках, в ковровых изделиях. Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причём древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой.

Нарисовать фигуры того же класса симметрий, что и класс симметрий ромба, параллелограмма, квадрата, равнобокой трапеции.

На сторонах равностороннего треугольника построены квадраты. Определить класс симметрий получившейся фигуры. Чем для этой фигуры являются биссектрисы углов треугольника, стороны которого соединяют центры квадратов ?

Необходимо изготовить подставку в форме четырёхугольника. Сколько размеров надо снять и какие, если он имеет вид: а) параллелограмма; б) ромба; в) прямоугольника; г) квадрата.

Фруктовый сад имеет форму параллелограмма, стороны которого относятся как 16:11, причём его ширина меньше длины на 250 метров. За сколько времени сторож может обойти вокруг забора весь участок, если он идёт со скоростью 4 км/час?

Докажите, что почтовый конверт склеивается из листа бумаги, имеющей форму ромба?

Между двумя телеграфными столбами на одной с ними прямой и на одинаковом расстоянии от них расположен третий столб. На каком расстоянии от дороги находится третий столб, если два крайних столба удалены от дороги на 32 метра и 58 метров?

Бабушка из косынки решила вырезать платочек квадратной формы. Докажите, что длина стороны платка в три раза меньше наибольшей стороны косынки?

Земельный участок имел форму квадрата. Изгородь была уничтожена, остались только два столба – а и в на параллельных сторонах и столб о в центре квадрата. Как восстановить границы участка, всегда ли это возможно сделать?

Р= АВ + ВС + СД + ДА

Р = 2+3+10+15 = 40 км.

S= 2+10 . 13 = 78 км 2

Наибольшую ли площадь при данном периметре получил пахом?

Перерисуйте на лист бумаги фигуру, имеющую форму кувшина, разрежьте её двумя прямолинейными разрезами на три части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Орнамент предназначен для украшения различных предметов: посуды, мебели, текстильных изделий, оружия, коврах, гобеленах, вышивки. В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжить в разные стороны. Высокого развития достиг орнамент в средневековой руси. Для русского орнамента характерны как геометрические фигуры, так и изображения птиц, зверей, фантастических животных, человеческих фигур. Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке.

На рисунке показан прямоугольник, который может служить ячейкой орнамента. Тогда каждую сторону прямоугольника и одну из его средних линий будем использовать как ось симметрии. Таким образом, орнамент, построение которого начато, будет содержать пять осей симметрии. Чем больше элементов симметрии содержит элементарная ячейка, тем интереснее и красивее орнамент.

В строительном деле четырёхугольники незаменимы. Например, паркет как вид орнамента. Паркет – это не только удобство, но и красота помещения, поскольку он – своеобразный орнамент. Ещё пифагорейцы установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных треугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных шестиугольника.

Мозаика поливных плиток на сооружениях мемориального ансамбля шах-и-зинда в самарканде даёт пример построения орнамента, в которых используются квадратные решётки. В восточных орнаментах встречаются правильные восьмиугольники и квадраты. Решение задач, связанных с архитектурными орнаментами в средней азии, убеждает в том, что геометрия занимала важное место в практической деятельности древних зодчих и мастеров-орнаменталистов. Они говорили, что геометрия очищает и совершенствует человеческий ум, служит созданию красоты и удобства.

начиная с xi в. в россии распространяются так называемые крестово-купольные храмы. основа такого храма – прямоугольный параллелепипед (его основание – квадрат), расчленённый четырьмя столбами. примыкающие к подкупольному пространству прямоугольные ячейки образуют архитектурный крест.

появление крестово-купольных храмов было событием в истории мировой архитектуры. его конструкция и композиция представляют собой завершённую структуру, невосприимчивую к изменениям. эта завершённость, конструктивная стабильность, сохранение полной гармоничности постройки при всех изменениях архитектурной формы предполагают существование какой-то общей системы построения этой формы, позволяющей зодчему охватывать закономерности пропорций храма и варьировать его параметры, не нарушая их общей гармонии и не выходя за пределы, гарантирующие прочность постройки.

геометрическое описание крестово-купольного храма состоит из следующей последовательности построений:

строим главный квадрат ABCD. из середины его сторон как из центров проводим окружности радиусом, равным половине стороны квадрата. эти окружности в пересечении образуют четырёхлепестковую розетку. из центра o квадрата проводим окружности радиусом, которая пересекает розетку в восьми точках: F,E,L,P,Q,R,S,T.

квадрат A₁B₁C₁D_1,стороны которого содержат полученные точки, моделирует внутренние границы плана. внешние границы даёт окружность, проведённая из центра квадрата. через точки Q И E, S И P , R И F, L И T проводим прямые. пересекаясь, они образуют центральный квадрат.

ОПРЕДЕЛИМ ВЫСТУП ЦЕНТРАЛЬНОЙ АПСИДЫ (ТО МЕСТО В ВОСТОЧНОЙ ЧАСТИ ХРАМА, ГДЕ НАХОДИТСЯ АЛТАРЬ). ДЛЯ ЭТОГО ПРОВЕДЁМ ОКРУЖНОСТИ ИХ ТОЧЕК A₁ И B_1,РАДИУСЫ КОТОРЫХ РАВНЫ ДИАГОНАЛИ А₁С₁ВНУТРЕННЕГО КВАДРАТА. В ВЫСТУП ОТ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДУГ C₁ И D₁ ВПИШЕМ ПОЛУОКРУЖНОСТЬ С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ О₁И РАДИУСОМ Q₁P.

ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЗАПАДНОЙ ГРАНИЦЫ ХРАМА ПРОВЕДЁМ ИЗ ТОЧЕК C₁И D₁ДУГИ РАДИУСОМ, РАВНЫМ ДЛИНЕ ДИАГОНАЛИ A₁C₁И ПРОДОЛЖИМ ОТРЕЗКИ AD И BC ДО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ С ДУГАМИ В ТОЧКАХ M И N.

Таким образом, построение плана расчленяется на несколько этапов, каждый из которых охватывает особое архитектурное звено. эти построения создают непрерывную цепочку зависимости между звеньями. а четырёхлепестковая розетка, лежащая в основе построений, даёт возможность варьировать соотношения между длиной и шириной плана.

Казалось бы, что особенного – сложенный листок бумаги? но в умелых руках этот листок может превратиться в кораблик, известный всем ещё с детства, в самолётик, который так славно парит по классу, в цветок, мышку, кошку… да в динозавра, если хотите. из обычного листа бумаги можно сложить тысячи разнообразных фигурок. недаром в японии в средние века владение оригами (в переводе это слово обозначает сложенная бумага) считалось одним из признаков хорошего образования. ныне в россии оригами вводится как предмет в программы некоторых школ и детских садов. чем же оригами завоёвывает сердца многих людей вне зависимости от возраста, образования, профессии?

ответ прост: занятия оригами интересны, помогают развивать творческие способности, пространственное мышление, улучшают память, внимание, способствуют развитию умения составлять и читать чертежи

№ слайда 2

Цель урока Найти четырехугольники в окружающем нас миреВыявить отличия четырехугольников от других многоугольниковВыяснить виды четырехугольников и дать их определениеНайти примеры использования четырехугольников в жизни

№ слайда 4

Четырехугольники в окружающем нас мире

№ слайда 5

№ слайда 6

четырехугольник Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек , не лежащих на одной прямой, и четырех отрезков последовательно соединяющих их отрезков. Данные точки – вершины; соединяющие их отрезки - стороны. В диагонали С А О ДВершины называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними , - противолежащими.

№ слайда 7

Четырехугольник отличается от других многоугольников тем, что он имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

№ слайда 8

Признакипараллелограмма.Если в четырехугольнике две стороны равныи параллельны,то этот четырехугольник-параллелограмм.Если в четырехугольнике противоположныестороны попарно равны,то этот четырехугольник-параллелограмм. Если в четырехугольнике диагонали пересекаютсяи точкой пересечения делятся пополам,то этотчетырехугольник-параллелограмм.

№ слайда 9

ПараллелограммПараллелограмм- это четырехугольник,у которого противоположные стороныпопарно параллельны.

№ слайда 10

Свойства параллелограммаВ параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.Диагонали параллелограмма точкой пересеченияделятся пополам.

№ слайда 11

ПрямоугольникПрямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.Основное свойство:Диагонали прямоугольника равны

№ слайда 12

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.Основные свойства:У квадрата все углы прямые.Диагонали квадрата равны.Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

№ слайда 13

Р О М БРомб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

№ слайда 14

ВИДЫ ТРАПЕЦИЙ РАВНОБОКАЯ ТРАПЕЦИЯ –трапеция, у которой боковые стороны равны. В С А Д ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ – трапеция, у которой боковая сторона перпендикулярна основанию. В С А Д