Умножение и деление отрицательных и положительных чисел доклад

Обновлено: 17.05.2024

ГОСТ

Умножение отрицательных чисел

Правило умножения отрицательных чисел:

Для умножения двух отрицательных чисел нужно выполнить умножение их модулей.

Согласно правилу можно записать:

$(−a) \cdot (−b)=a \cdot b$,

где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.

Из правила умножения следует, что результатом произведения двух отрицательных чисел является положительное число.

Правило умножения справедливо для целых, рациональных и действительных чисел.

Выполнить умножение двух отрицательных чисел $−8$ и $−11$.

Найдем модули данных чисел:

Произведение модулей равно $8 \cdot 11=88$.

Краткая запись решения:

$(−8) \cdot (−11)= 8 \cdot 11=88$.

Для умножения отрицательных рациональных чисел необходимо числа преобразовать к виду смешанных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Умножение чисел с противоположными знаками

Правило умножения чисел с разными знаками:

Согласно данному правилу можно записать:

где $a$ и $b$ – положительные действительные числа.

Данное правило умножения чисел с противоположными знаками применяется для целых, рациональных и действительных чисел.

Согласно рассмотренному правилу умножение чисел с противоположными знаками сводится к выполнению умножения положительных чисел.

Готовые работы на аналогичную тему

Выполнить умножение положительного числа $7$ и отрицательного числа $–12$.

Согласно правилу умножения чисел с противоположными знаками сначала выполним умножение модулей данных чисел:

Краткая запись решения:

$7 \cdot (–12)=−(7 \cdot 12)=−84$.

Для умножения дробных чисел с противоположными знаками необходимо преобразовать данные числа к удобному виду: обыкновенных или десятичных дробей.

Деление отрицательных чисел

Правило деления отрицательных чисел:

Для деления одного отрицательного числа на другое необходимо выполнить деление модулей данных чисел.

Согласно данному правилу можно записать:

где $a$ и $b$ – отрицательные числа.

Правило выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Согласно правилу деление отрицательных чисел сводится к делению положительных чисел. Таким образом, в результате деления отрицательных чисел получается положительное число.

Правило деления отрицательных чисел для рациональных и действительных чисел можно сформулировать следующим образом:

Для деления числа $a$ на число $b$ необходимо выполнить умножение числа $a$ на число $b^$, которое является обратным числу $b$:

Данное правило применимо для выполнения деления чисел с противоположными знаками.

Разделить отрицательные числа $−24$ и $−6$.

Согласно правилу деления отрицательных чисел найдем модули данных чисел и выполним их деление. Получим:

Краткая запись решения:

Для выполнения деления дробных рациональных чисел для удобства нужно преобразовать их к виду обыкновенных дробей, но можно делить и десятичные дроби.

Деление чисел с противоположными знаками

Правило деления чисел с противоположными знаками:

Согласно данному правилу можно записать:

Из данного правила следует, что в результате деления чисел с противоположными знаками получается отрицательное число.

Согласно правилу деления чисел с противоположными знаками деление чисел сводится к делению положительных чисел.

Правило деления рациональных и действительных чисел с противоположными знаками можно сформулировать следующим образом:

Для деления чисел $a$ и $b$ необходимо выполнить умножение числа $a$ на число $b^$, которое обратно числу $b$:

Данное правило применимо для деления отрицательных чисел.

Разделить положительное число $28$ на отрицательное число $–7$.

Согласно правилу деления чисел с противоположными знаками найдем модули данных чисел и выполним их деление:

Краткая запись решения:

Для деления дробных рациональных чисел с противоположными знаками числа удобнее представлять в виде обыкновенных дробей.

Теперь давайте разберемся с умножением и делением.

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения, сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

положительное число х положительное число = положительное число;
отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
отрицательное число х отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число. Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для деления.

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения. Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).

Умножение положительных и отрицательных чисел (то есть чисел с разными знаками) выполняется по следующему правилу:

Поскольку модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, получаем:

$a \cdot ( - b) = - \left| a \right| \cdot \left| < - b> \right| = - a \cdot b$

То есть произведение двух чисел, одно из которых положительное, а другое — отрицательное, является отрицательным числом.

На практике при умножении чисел с разными знаками запись сокращают (модули находят устно):

Рассмотрим на конкретных примерах, как умножают положительные и отрицательные числа.

$3) - \frac<3> > \cdot 5;$

$4)21 \cdot ( - \frac<4> );$

$5) - \frac<6> > \cdot \frac>>;$

$6)\frac<<15> >> \cdot ( - \frac>>);$

$7)2\frac<3> > \cdot ( - 2\frac);$

$8) - 5\frac \cdot 4\frac.$

При умножении отрицательного числа на положительное получаем отрицательное число:

2) Применяем правила умножения чисел с разными знаками и умножения десятичных дробей:

По правилам умножения чисел с разными знаками и умножения дроби на натуральное число:

$3) - \frac<3> > \cdot 5 = - 3) - \frac>> = - \frac>>;$

$4)21 \cdot ( - \frac<4> ) = - \frac <<\mathop <\overline <21>>\limits^3 \cdot 4>><<\mathop <\underline 7 >\limits_1 >> = - \frac> = - 12;$

Используем правила умножения положительных и отрицательных чисел и умножения дробей:

$5) - \frac<6> > \cdot \frac>> = - \frac<<\mathop <\overline 6 >\limits^2 \cdot \mathop <\overline <10>>\limits^2 >> <<\mathop <\underline <25>>\limits_5 \cdot \mathop <\underline <33>>\limits_ >> = - \frac>> = - \frac>;$

$6)\frac<<15> >> \cdot ( - \frac>>) = - \frac <<\mathop <\overline <15>>\limits^3 \cdot \mathop <\overline <24>>\limits^3 >> <<\mathop <\underline <16>>\limits_2 \cdot \mathop <\underline <35>>\limits_7 >> = - \frac>> = - \frac>;$

По правилам умножения чисел с разными знаками и смешанных чисел:

$7)2\frac<3> > \cdot ( - 2\frac) = - \frac>> \cdot \frac> = - \frac <<\mathop <\overline <25>>\limits^5 \cdot \mathop <\overline <11>>\limits^1 >> <<\mathop <\underline <11>>\limits_1 \cdot \mathop <\underline 5 >\limits_1 >> = - \frac>> = - 5;$

$8) - 5\frac \cdot 4\frac = - \frac> \cdot \frac> = - \frac <<\mathop <\overline <38>>\limits^ \cdot \mathop <\overline <35>>\limits^3 >><<\mathop <\underline 7 >\limits_1 \cdot \mathop <\underline 8 >\limits_4 >> = - \frac>> =$

$= - \frac<<57> > = - 14\frac.$

При умножении нескольких чисел с разными знаками знак результата зависит от количества входящих в произведение отрицательных чисел.

$1) - 5 \cdot ( - 2) \cdot 3 \cdot ( - 7) \cdot 4 = - 840;$

$2) - 7 \cdot 1\frac<2> \cdot ( - \frac>>) \cdot ( - \frac>) \cdot ( - 2\frac>) =$

$= 7 \cdot \frac \cdot \frac>> \cdot \frac> \cdot \frac>> = \frac\limits^1 \cdot \mathop <\overline <16>>\limits^4 \cdot \mathop <\overline 5 >\limits^1 \cdot \mathop <\overline <54>>\limits^2 >> >\limits_1 \cdot \mathop <\underline <12>>\limits_3 \cdot \mathop <\underline <25>>\limits_<\mathop <\underline 5 >\limits_1 > >> =$

$= \frac<<7 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2> >> = \frac> = 6\frac.$

В этом уроке познакомимся с правилами умножения и деления положительных и отрицательных чисел.

Известно, что любое произведение можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых.

Cлагаемое -1 нужно сложить 6 раз:

Значит произведение -1 и 6 равно -6.

Числа 6 и -6 –противоположные числа.

Таким образом, можно сделать вывод:

При умножении -1 на натуральное число получится противоположное ему число.

Для отрицательных чисел, так же как для положительных, выполняется переместительный закон умножения:

Если натуральное число умножить на -1, то также получится противоположное число

При умножении любого неотрицательного числа на 1 получится это же число.

Для отрицательных чисел данное утверждение тоже верно: -5 ∙1 = -5; -2 ∙ 1 = -2.

При умножении любого числа на 1 получится это же число.

Мы уже убедились, что при умножении минус 1 на натуральное число получится противоположное ему число. При умножении отрицательного числа данное утверждение тоже справедливо.

Например: (-1) ∙ (-4) = 4.

Также -1 ∙ 0 = 0, число 0 противоположно само себе.

При умножении любого числа на минус 1 получится противоположное ему число.

Перейдем к другим случаям умножения. Найдем произведение чисел -3 и 7.

Отрицательный множитель -3 можно заменить произведением -1 и 3. Тогда можно применить сочетательный закон умножения:

-1 ∙ 21 = -21, т.е. произведение минус 3 и 7 равно минус 21.

При умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.

А чему равно произведение чисел с одинаковыми знаками?

Мы знаем, что при умножении двух положительных чисел получится положительное число. Найдем произведение двух отрицательных чисел.

Заменим один из множителей произведением с множителем минус 1.

Применим выведенное нами правило, при умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей,

При умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.

Перейдем к делению.

Подбором найдем корни следующих уравнений:

y ∙ (-2) = 10. 5 ∙ 2 = 10, значит х = 5; 5 ∙ (-2) = -10, значит а = 5; -5 ∙ (-2) = 10, значит y = -5.

Запишем решения уравнений. В каждом уравнении неизвестен множитель. Неизвестный множитель находим, разделив произведение на известный множитель, значения неизвестных множителей мы уже подобрали.

При делении чисел с одинаковыми знаками (а это первое и второе уравнения) получается положительное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя.

При делении чисел с разными знаками (это третье уравнение) получается отрицательное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя. Т.е. при делении положительных и отрицательных чисел знак частного определяется по тем же правилам, что знак произведения. А модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Таким образом, мы сформулировали правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел.

Читайте также: