Троичная система счисления доклад

Обновлено: 07.07.2024

Машина Фоулера

Справедливости ради сразу следует заметить: первую вычислительную машину с троичной системой счисления задолго до советских конструкторов построил английский изобретатель-самоучка Томас Фоулер в далеком 1840 году. Его машина была механической и полностью деревянной.

Томас Фоулер работал банковским служащим и по роду деятельности был вынужден производить сложные вычисления. Чтобы облегчить и ускорить свою работу, он сделал таблицы для счета степенями двойки и тройки, а позже опубликовал эти таблицы в виде брошюры.

Первые советские опыты

О практическом использовании троичной системы счисления забыли более чем на сто лет. Следующими, кто вернулся к этой идее, были инженеры с кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ.

Все началось в 1954 году: кафедре должны были передать электронно-вычислительную машину М-2, но не сложилось. А машину-то ждали, готовились ее устанавливать и налаживать, с нею связывались определенные ожидания и планы. И кто-то предложил: давайте построим свою.

Впоследствии Николай Брусенцов и Евгений Жоголев разработали более современную версию машины, использовавшую те же принципы троичности, — «Сетунь-70″, но она так и не пошла в серийное производство, единственный опытный образец работал в МГУ до 1987 года.

Трехзначная логика

В троичной симметричной системе используются цифры: -1, 0 и 1 (или, как их еще обозначают, -, 0 и +). Преимущества ее как симметричной системы состоят в том, что, во-первых, не нужно как-то особо отмечать знак числа — число отрицательно, если его ведущий разряд отрицателен, и наоборот, а инвертирование (смена знака) числа производится путем инвертирования всех его разрядов; во-вторых, округление здесь не требует каких-то специальных правил и производится простым обнулением младших разрядов.

Кроме того, из всех позиционных систем счисления троичная наиболее экономична — в ней можно записать большее количество чисел, нежели в любой другой системе, при равном количестве используемых знаков: так, например, в десятичной системе, чтобы представить числа от 0 до 999, потребуется 30 знаков (три разряда, десять возможных значений для каждого), в двоичной системе теми же тридцатью знаками можно закодировать числа в диапазоне от 0 до 32767, а в троичной — от 0 до 59048. Самой экономичной была бы система счисления с основанием, равным числу Эйлера (e = 2,718. ), и 3 — наиболее близкое к нему целое.

Настоящее и будущее троичных компьютеров

Однако нельзя сказать, что троичный принцип в компьютеростроении — это безнадежный анахронизм. В последнее десятилетие возникла необходимость в поиске новых компьютерных технологий, и некоторые из этих технологий лежат в области троичности.

Есть и более фантастические направления, где оправдано использование трехзначной логики: оптические и квантовые компьютеры.

Основой многих расчетов, как простых бытовых, так и сложнейших математических, является десятичная система счисления. Троичная же известна гораздо меньшему кругу людей, ведь применяется она весьма редко.

Всего три цифры

Некоторые из нас редко сталкиваются с иными системами счисления, поэтому вначале может быть трудно отстраниться от привычных понятий - десятков, сотен, тысяч и так далее. Существует несколько параметров, которыми обладает любая из систем: основание, алфавит, разрядные цифры и разрядные слагаемые.

По основанию мы можем понять, как называется система счисления: троичная система имеет основание три, а десятичная - десять (работает и обратное правило - по названию сразу видно основание).

Алфавитом в системах счисления называется набор символов, которые в данном случае используются для записи чисел. Например, в десятичной системе используется десять цифр (считая ноль), а вот в двоичной их всего две, ноль и единица. В троичной же могут применяться 0, 1 и 2. К тому, почему основанием является тройка, а символов в алфавите - четыре, вернемся позже.

Разрядной цифрой называется наименьшее число, которое можно добавить в разряде, а разрядным слагаемым является цифра, записанная в каком-либо определенном разряде с добавлением нужного количества нолей. Максимально возможное значение разрядного слагаемого всегда зависит от системы счисления. Восьмеричная система счисления во втором разряде имеет разрядное слагаемое 70, в двоичной оно будет равно 10, в троичной - 20, а в десятичной - 90.

К примеру, если разложить десятичное число 158 на разрядные слагаемые, получится такой пример: 100+50+8 (третий разряд). А второразрядное число 98 предстанет в виде 90+8.

Алфавит

Числа в троичной системе счисления могут обозначаться как всем привычными цифрами 0, 1 и 2. Тогда это несимметричная троичная система. В симметричной же используются знаки "минус" и "плюс", таким образом, в записях используется число "-1". Оно так же может обозначаться как единица с чертой вверху или внизу, как латинская буква i.

Троичные цифры можно закодировать тремя любыми знаками, например "А,Б,В", однако предварительно необходимо указывать их старшинство (к примеру, А меньше Б, Б меньше В).

Простая формула

Чтобы перевести число из десятичной в троичную систему счисления, нужно воспользоваться общей формулой. Необходимо делить десятичное число на основание необходимой системы и записывать остатки справа налево. Возьмем для примера число 30. Первым действием делим его на 3. Получаем 10 без остатка, поэтому записываем 0. Десять делится на 3 с остатком 1, поэтому записываем 1. В третьем действии 3 делим на основание системы и записываем сначала остаток, затем результат деления. В итоге получаем троичное число 1010.

Арифметические действия

Если, например, компьютеры легко проводят математические операции в своей "родной" бинарной системе, то людям бывает трудно перестроить мышление, ведь для нас основной является десятичная система счисления. Троичная система обладает большей емкостью по сравнению с бинарной, и вычисления в ней несколько сложнее, однако во всех позиционных системах применяется таблица сложения.

Пожалуй, все помнят, по какому принципу составляется сетка в игре "Морской бой": в левом вертикальном столбце записываются цифры, а в верхнем горизонтальном - буквы. Сетку сложения можно составить по тому же принципу. Например, в несимметричной троичной системе всего три символа, таким образом столбцов будет четыре, в каждый из них следует вписать последовательную цепочку цифр. На примере: нижний горизонтальный столбец будет таков: 0, 00, 01, 02. Второй столбец: 1, 01, 02, 10. Третий: 2, 02, 10, 11. Можно расширить таблицу, если требуются числа из других разрядов (например, 001 и т. д.).

Умножение

В троичной системе счисления таблица умножения выглядит короче и лаконичнее, нежели в десятичной, и само действие - не намного сложнее, ведь перемножать придется числа не больше двойки. Чтобы умножить в столбик, необходимо записать два троичных числа друг над другом, затем последовательно умножать первый множитель на разрядные числа второго, пропуская ноль. Таким образом, умножение цифры 102 на 101 будет выглядеть так: 2*1=2, 0*1=0, 1*1=1. Записываем 102. Далее пропускаем ноль и умножаем на единицу (старшее число второго множителя).

Однако сложение в троичной системе счисления можно произвести и без всякой таблицы. Для этого нужно вспомнить простое правило, гласящее: если результат сложения превышает разряд, следует разделить второе число пополам. Разберем пример: допустим, необходимо сложить 6 и 8. Результатом сложения превышает данную разрядность, поэтому делим 8 на 2, получаем 4. Окончательный пример выглядит так: 6+8=(6+4)+4=10+4=14.

Немного истории

Даже для бытовых расчетов не всегда использовалась десятичная система счисления. Троичная система частично использовалась еще у древних шумеров: их меры денег и весов были кратны трем. С древних времен и до наших дней на рычажных весах используется подобие троичной системы. Знаменитым Фибоначчи, итальянский ученым и математиком (настоящее имя - Леонардо Пизанский) была предложена целочисленная симметричная троичная система счисления. Таблица умножения в ней, как заметил французский математик О.Л. Коши, почти в четыре раза короче, по сравнению с десятичной.

Нечетная система счисления

Троичная система имеет нечетное основание, поэтому реализуется симметричное расположение цифр относительно нуля (-1, 0, 1), с чем связано несколько свойств.
Отрицательные числа представляются в троичной системе более естественно, а также отсутствует проблема округления, ведь младшие цифры, отбрасываемые при округлении, в троичной системе никогда не превосходят по абсолютной величине часть числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего разряда. То есть в троичной системе следует только отбросить младшие цифры, и получится наиболее точное приближение.

Отрицательные числа

Довольно интересно представление отрицательных цифр в симметричной троичной системе счисления. Так как одним из знаков в алфавите является "-1" или единица с чертой сверху, то отпадает надобность в отдельном разряде знака, а выполнение арифметических операций не нуждаются в использовании обратного кода, так как любые действия с симметричным троичным числом выполняются по обычному правилу, но с учетом знака числа. Положительность или отрицательность числа определяется по тому, какой знак имеет старшее число в последовательности. Чтобы сменить знак числа, нужно инвертировать знаки всех присутствующих в коде чисел.

Взаимодействие с другими системами

Некоторые системы счисления стали знаменитыми благодаря использованию их в компьютерных технологиях. Например двоичная система, или бинарный код - эти слова часто используются в СМИ и кинематографе, так что знакомы они практически всем. А вот восьмеричная система счисления мало у кого на слуху, хотя используется в сфере IT-технологий из-за того, что легко переводится в двоичную и наоборот, но гораздо более емкая.

Для троичной системы таким емким аналогом является девятеричная.

Замена двоичной логики

Основой всех электронно-вычислительных машин нашего времени является двоичная логика, хотя троичная считается более перспективной. Удивительно, но еще в пятидесятые годы прошлого века в компьютере "Сетунь", построенном в МГУ, уже использовался симметричный троичный код. С 2008 года же в калифорнийском университете повторили опыт более чем полувековой давности, построив компьютерную систему ТСА2, также основанную на троичной логике.

Ее преимущества перед бинарной в том, что используется меньше разрядов. Например, число 10 десятичной системы в двоичной системе предстает как 1010, а в троичной несимметричной - как 101, или как +0+ в симметричной. Емкость также играет роль в том случае, если должна быть выбрана определенная система счисления. Троичная логика экономична и может вместить больший диапазон чисел при том же количестве знаков.

У тех, кто не знаком с бинарным кодом, может возникнуть вопрос: а зачем тогда вообще использовать такие системы счисления, если десятичная - емкая и понятная? Дело в том, что понимание компьютером двоичного кода основано на простой логике: есть сигнал, нет сигнала. Наличие сигнала означает единицу, а его отсутствие - ноль, только и всего. Машина не воспринимает код как цифры. При использовании десятичного кода специалистам пришлось бы придумать, какой вариант будет соответствовать каждой из цифр, но это только усложнило бы задачу, а вот понимание троичного кода реализовывается достаточно просто: отсутствие сигнала, слабый сигнал, сильный сигнал.

Квантовый компьютер и троичный код

Квантовая механика может показаться чем-то фантастическим. Ее законы продолжают удивлять всех, кто впервые с ней сталкивается, однако люди уже давно задумались об использовании ее для создания компьютера нового поколения, более мощного и очень быстрого. Однако это потребует и новых алгоритмов защиты. Например, чтобы получить доступ к кредитной карте, необходимо разложить на простые множители огромное число, имеющее сотни знаков. Самый быстрый современный компьютер сможет сделать это за время, равно возрасту нашей Вселенной, однако квантовый компьютер, основанный на троичной логике, вполне справится с этой задачей.

Кубит - квантовый бит - основан на неопределенности спина электрона. Он может вращаться как по часовой стрелке (примем это за единицу), так и против (ноль), однако есть и третий вариант - неопределенность, что вполне может быть третьим "символом" в алфавите, и тогда троичная логика отлично укладывается.

Комплексная работа

Да, использование троичного кода в среднем ускоряет работу компьютера на 50 %, но если "перевод" в троичную систему счисления всех устройств все же произойдет, то как же будут работать старые приложения и программы? Неужели придется менять все и сразу? Нет. Троичная логика как стоящая на разряд выше включает в себя все возможности двоичного кода, и, сверх этого, еще и целый ряд преимуществ. Однако программы должны быть оптимизированы под троичный код, иначе будут работать по-старому.

Троичная система счисления – позиционная система счисления с основанием 3. Троичная система счисления существует в двух вариантах: несимметричная (цифры 0, 1, 2) и симметричная (уравновешенная) (цифры -1, 0, 1).

В задаче шла речь о бедном торговце, который с помощью четырех камней на рычажных чашечных весах совершенно правильно взвешивал предметы массой 1, 2, …, 40 кг. Для этого он использовал камни весом 1, 3, 9 и 27 кг.

Пусть груз, который надо взвесить, весит А кг. Это число можно представить в троичной системе:

— где коэффициенты a 0 , a 1 , … , a n могут принимать значения 0, 1 или 2.

Следовательно, любое целое число можно записать в троичной уравновешенной системе счисления с помощью цифр 0, 1 и , заменив в многочленной форме представления числа цифру 2 на соответствующую разность.

где b 0 , b 1 , … , b n могут принимать значения 0, 1 или .

Например, представим число 100 в несимметричной и симметричной системе счисления:

Итак, чтобы уравновесить груз в кг на чашечных весах, нужно положить его на первую чашу весов, а гирю в 1 кг поставить:

- на вторую чашу, если ,

- или на первую чашу весов, если ,

- или не использовать эту гирю, если .

Далее, гиря весом в 3 кг ставится:

- на вторую чашу, если ,

- или на первую чашу весов, если ,

- или не использовать эту гирю, если .

И так далее. Расставив гирю по такому принципу, можно уравновесить любой груз. Если величина груза не была известна, то мы подбирает такое расположение гирь на весах, которое уравновешивает этот груз, и тем самым определяем и массу груза.

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости вводить дополнительный код для выполнения арифметических операций (см. лекцию о машинном представлении числовых данных). Знак числа в троичной уравновешенной системе счисления определяется знаком старшей цифры числа: если она положительная, то и число положительно; если отрицательная, то и число отрицательно. Например,

Очевидно, что для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код). Например:

Операция сложения всякой цифры в этой системе с нулем дает в результате эту же цифру. Сложение 1 с дает ноль. И только сумма двух единиц или двух формируется путем переноса в следующий разряд цифры того же знака, что и слагаемые, и установки в текущем разряде цифры противоположного знака. Пример:

Приведем пример сложения чисел с разными знаками:

Перевод целых десятичных чисел в троичную уравновешенную систему счисления

Для перевода из десятичной системы в троичную уравновешенную, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

выполняем деление в десятичной системе исходное число на 3;

если остаток от деления равен 2, записываем его как , а к результату от деления добавляем 1;

если результат меньше 2, начинаем записывать результат перевода, п.5;

делим результат на 3, затем и повторяем действия описанные в п.2;

переписываем полученные значения остатков (снизу-вверх), начиная с последнего результата деления.

Переведем по предложенному правилу число в троичную симметричную систему счисления.

История создания систем счисления. Системы счисления, используемые в вычислительной технике. Сравнение непозиционных и позиционных систем счисления. Изучение основных правил десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления.

Рубрика	Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	31.10.2016
Размер файла	304,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Институт гуманитарных и социальных наук

Кафедра Информационных технологий и математики

Выполнила: Студентка группы _3041-1

Санкт-Петербург 2014 год

система счисление вычислительный техника

1. История создания систем счисления

2. Системы счисления, используемые в вычислительной технике

3. Непозиционные системы счисления

4. Позиционные системы счисления

5. Десятичная система счисления

6. Двоичная система счисления

7. Восьмеричная система счисления

8. Шестнадцатиричная система счисления

9. Перевод из одной системы счисления в другую

Список использованных источников

На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Мне стало очень интересно, и я решила изучить эту тему.

Данная тема мне интересна еще и потому, что в настоящее время двоичная система счисления приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.

Я поставила перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счета и систем счисления, изучить системы счисления, используемые в вычислительной технике, позиционные и непозиционные системы счисления и арифметические действия в различных системах. В данной работе будут рассмотрены разные системы счисления.

1. История создания систем счисления

В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй - десятки, третий - сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных славян.

Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12. Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят из полудюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

Таким образом, все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления./1/

2. Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимнооднозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. В вычислительной технике непозиционные системы не применяются.

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы - арабская десятичная система счисления.

Количества и количественные составляющие, существующие реально могут отображаться различными способами. Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в нижнем индексе указывать основание системы счисления. Каждой позиции в числе соответствует позиционный (разрядный) коэффициент или вес./2/

В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем - это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

В целом вычислительные машины могут быть построены в любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент со множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях./3/

3. Непозиционные системы счисления

В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Пример непозиционной системы счисления - римская система счисления. Возникшая в древнем Риме она просуществовала до наших дней. Традиционно применяют ее при нумерации веков или при составлении оглавлений печатных трудов. Римские цифры можно встретить на циферблатах часов.

В современной жизни наиболее яркий вариант использования непозиционной системы счисления - это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем в магазине за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе. Номинал монеты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

Таким образом, в настоящее время позиционная система счисления является наиболее распространенной.

4. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем: двоичная, состоящая из цифр 0 и 1; троичная, состоящая из цифр 0,1,2; и так далее.

Таким образом, позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия. /4/

5. Десятичная система счисления

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. Основанием десятичной системы счисления является число 10, которое образует единицу 2-го разряда, единицей 3-го разряда будет 100 = 10 2 , вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего (полагают, что выбор в качестве основания Д. с. с. числа 10 связан со счётом на пальцах).

Д. с. с. основана на позиционном принципе, т. е. в ней один и тот же знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. В связи с этим для записи всех чисел нуждаются в особых символах только первые 10 чисел. Символы эти, обозначаемые знаками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называются цифрами. Для записи числа определяют, сколько в нём содержится единиц наивысшего разряда; затем в остатке определяют число единиц разряда, на единицу меньшего, и т.д. Полученные цифры записывают рядом: например 4Ч10 2 + 7Ч10 1 + 3Ч10 0 = 473.

Таким образом, действия над числами производятся поразрядно, т. е. отдельно над цифрами каждого разряда; если при этом получаются числа больше 10 (при сложении, умножении), то прибавляют одну или несколько единиц к следующему, более высокому разряду; при делении и вычитании приходится разбивать разряды на более мелкие./4/

6. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления, система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел, с основанием 2. В двоичной системе счисления используются только два знака -- цифры 0 и 1; при этом, как и во всякой позиционной системе, значение цифры зависит дополнительно от занимаемого ею места. Число 2 считается единицей 2-го разряда и записывается так: 10 (читается: "один, нуль"). Каждая единица следующего разряда в два раза больше предыдущей, т. е. эти единицы составляют последовательность чисел 2, 4, 8, 16. 2 n .

Для того чтобы число, записанное в десятичной системе счисления, записать в Д. с. с., его делят последовательно на 2 и записывают получающиеся остатки 0 и 1 в порядке от последнего к первому, например: 43 = 21·2 +1; 21 = 10·2 +1; 10 = 5·2+0; 5=2·2+1; 2 = 1·2+ 0; 1 =0·2 + 1; итак, двоичная запись числа 43 есть 101011. Т. о., 101011 в Д. с. с. обозначает 1·2 0 +1·2 1 + 0Ч2 2 +1Ч2 3 + + 0·2 4 + 1·2 5 .

В Д. с. с. особенно просто выполняются все арифметические действия: например, таблица умножения сводится к одному равенству 1·1 = 1. Однако запись в Д. с. с. очень громоздка: например, число 9000 будет 14-значным.

Благодаря тому, что в двоичной системе счисления используются лишь две цифры, она часто бывает полезной в теоретических вопросах и при вычислениях на ЦВМ./5/

7. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления - позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Таким образом, восьмеричная система счисления выступает в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ. /5/

8. Шестнадцатиричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) -- позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Она очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники, и как восьмеричная система счисления служит человеку в качестве простейшего языка общения с ЭВМ. /6/

9. Перевод из одной системы счисления в другую

1. Перевод из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода целого числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо записать данное число в общем виде:

Например: переведем число 12568 в десятичную систему счисления.

1256₈=1·8 3 +2·8 2 +5·8 1 +6·8 0 =1·512+2·64+5·8+6·1=686₁₀

2. Правило перевода числа из десятичной системы счисления в другую систему.

2.1 Делим данное число на основание той системы, в которую необходимо перевести число.

2.2 Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число.

2.3 Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания.

Читайте также: