Теорема бернулли закона больших чисел и ее приложения в экономическом анализе доклад

Обновлено: 02.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Данная теорема дает такое определение: описывает верхний рубеж вероятности того, что аномалия смысла случайной величины от ее математической надежды больше некого данного количества. Неравенство Чебышева является истоком в основе подтверждения теорем:

Рассмотрим пример № 81: допустим, что некоторое устройство состоит из 100 элементов, которые работают самостоятельно. Возможность отказа каждого из этих элементов за время т=0,03. Поставить вероятность того, что безусловная величина разницы между математическим ожиданием за время т будет: а) меньше двух; никак не меньше двух.

Решение будет состоять в следующем: а) если х станет числом элементов, которые отказали за время т. Тогда м [х] = np = 100 ? 0,03 = 3 и d [ x ] = npq = 100 ? 0,03 ? 0,97 = 2,91. После того, как мы воспользуемся неравенством Чебышева (подставили в него м[х] = 3, d [х] = 2,91, ɛ= 2), получаем:

Решение: б) События, которые противоположны |х - 3| Понятие корреляционных связей

Существуют виды зависимости между математическими явлениями:

Функциональная (жестко детерминированная) зависимость (ежели любому значению величины x подходит единственное значение величины Y и напротив);

Статическая (стохастически детерминированная) зависимость (любому фиксированному значению независящей сменой X подходит никак не одно, а очень много значений зависимой переменной Y, при этом заблаговременно невозможно заявить, какое конкретно значение примет Y.).

Примеров в функциональной связи экономике сможет послужить зависимость производительности труда от размера, сделанной продукции и издержек рабочей медли. При данном надлежит подметить, что ежели Х – детерминированная, никак не случайная величина, то и функционально зависящая от нее величина Y также считается детерминированной. Несмотря на это, в экономике нередко имеет место статистическая зависимость, а не функциональная зависимость.

Корреляционная зависимость – это наиболее частый случай статистической зависимости (функциональной зависимостью связаны фактор X и математическое ожидание результативного показателя Y). Статистическая зависимость имеет возможность существовать только исходя из итогов довольно огромного количества надзоров. С помощью поля корреляции можно представить графически статистическую зависимость, при построении которого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака X, сообразно оси ординат – результирующего Y.

Корреляционная связь – частный вариант статистической взаимосвязи, при котором различным значениям переменной подходят различные средние смысла иной переменной.

Ежели исследуется связь меж 2-мя показателями, налицо парная корреляция; ежели исследуется связь меж почти всеми показателями – множественная корреляция.

Корреляционная связь меж показателями имеет возможность появиться различными способами. Важный первый путь - причинная подневольность результативного показателя от варианты факторного показателя. Примером может послужить то, что знак х — балл оценки плодородия основ, знак у — урожайность сельскохозяйственной культуры. Тут совсем все логично и понятно, какой из этих знаков выступает как независящая переменная (причина) х, какой-никакой — как зависимая переменная (итог) у.

Второй путь – это сопряженность, которая образуется при наличии единой предпосылки.

Третий путь – это взаимозависимость показателей, каждый из каких и фактор, и последствие. Примером послужит здесь корреляция меж уровнями производительности труда трудящихся и уровнем оплаты 1 час труда. Если посмотреть на это с одной стороны, то степень получки — последствие производительности труда: нежели она больше, тем больше и плата. Однако, с иной стороны, поставленные тарифные ставки и цены играют подстегивающую роль: при верной системе оплаты они выступают в качестве фактора, от которого находится в зависимости производительность труда.

Примеры работы закона больших чисел в разных областях и отраслях. Чем отличаются ЗБЧ от Чебышева и Бернулли и как их применять в своей жизни.

Этот термин пришел из теории вероятности, закон больших чисел показывает насколько близким окажется среднее значение выборки к математическому ожиданию для одного и того же распределения.

Звучит несколько непонятно, ниже подробнее остановимся на физическом смысле этого закона и методах его применения в разных сферах человеческой деятельности.

Этот закон применяется и в инвестировании, и в здравоохранении, и в сфере страхования – везде, где нужно анализировать массив информации.

Очень дорогая реклама — Продолжить чтение ниже

Что такое закон больших чисел
Сущность закона больших чисел
Как использовать закон больших чисел инвестору
Как использовать закон больших чисел в бизнесе
Применение закона больших чисел в банковской деятельности
Как работает закон больших чисел в страховании
Пример
Когда закон больших чисел не работает
Заключение

Что такое закон больших чисел

Для начала разберемся с терминами:

Математическое ожидание – под ним понимается усредненное значение случайной величины. Например, при броске костей (1 кубика) при каждом броске вероятность выпадения цифры от 1 до 6 равна. Матожидание же рассчитывается как среднее значение выпавшего результата на определенной выборке, его величина зависит от выбранной выборки;
Случайная величина – любое событие, итог которого невозможно спрогнозировать со 100%-ной точностью. Простейший пример – подбрасывание монетки (экспериментатор не знает какая сторона монеты выпадет в каждом конкретном случае).

Закон больших чисел простыми словами – это закон, позволяющий понять, каким вероятнее всего окажется результат эксперимента, если проводить его неоднократно. Чем большим будет число таких экспериментов, тем ближе будет результат к математическому ожиданию.

Более того, закон больших чисел – это та закономерность, которая позволяет прогнозировать исход случайных событий на длинной дистанции. Это важно в прогнозировании и оценке рисков в любой сфере деятельности человека.

Если заинтересуетесь доказательствами этого, рекомендуем углубиться в теорию вероятности. Так, доказательство закона больших чисел Чебышева показывает, что среднее арифметическое при приближении числа экспериментов к бесконечности практически уравнивается с матожиданием.

Схожее доказательство есть для закона больших чисел Бернулли. В нем доказывается, что при неограниченно большом количестве экспериментов частота проявления определенного события оказывается равной вероятности его появления.

Помимо обычного есть и усиленный закон больших чисел. В обычном матожидание может бесконечное количество раз сильно отличаться от среднего значения результата экспериментов (происходит это бесконечно редко). В усиленном же законе вероятность такого отличие сведена к нулю, то есть со 100%-ной вероятностью матожидание сводится к арифметическому среднему.

Сущность закона больших чисел

Для визуализации закона представьте себе подбрасывание монетки. Вероятность выпадения одной из сторон 50%, если подбросить ее 10 раз, то распределение может оказаться и 70/30 и 20/80.

Шикарная реклама — Продолжить чтение ниже

Но если продолжать эксперимент 10000, 1000000 раз, то распределение будет приближаться к 50/50. То есть частота проявления каждого события на дистанции стремится к вероятности его появления.

Еще один пример – подбрасывание кубиков (вернее одного кубика). В каждом эксперименте может выпасть число от 1 до 6, но закон больших чисел утверждает, что на длинной дистанции среднее арифметическое суммы бросков приближается к 3,5. Результаты эксперимента доказывают это на практике.

Похожую закономерность можно найти, например, при исследовании результатов общения страховых агентов с потенциальными клиентами. При большой выборке окажется, что в среднем на 1000 звонков приходится определенное количество заключенных договоров. Так что важно понимать суть закона больших чисел, он работает в любой сфере.

Без использования этого закона было бы невозможно планировать развитие бизнеса и оценивать эффективность работы в прошлом.

Как использовать закон больших чисел инвестору

Зная, что понимается под законом больших чисел инвестор может прогнозировать результаты вложений.

Работа со статистикой в этом и заключается, инвестиционная стратегия проверяется на истории, рассчитывается математическое ожидание, коэффициент Шарпа, Сортино и прочие характеристики.

Если для исследования взять достаточно продолжительный временной отрезок, то в будущем при использовании этой инвестиционной стратегии результат вероятнее всего окажется близок к полученному на истории.

Простейший пример оценки стстратегии:

Известно, что при бросках игрального кубика математическое ожидание выпавших чисел стремится к 3,5;
Представьте, что при каждом броске игрок получает вознаграждение, равное выпавшему числу. То есть от $1 до $6;
Плата за бросок составляет $3, при этом количество бросков не ограничено.

Ответьте на вопрос – стоит ли работать при таких условиях?

Так как по количеству бросков ограничения нет, то на дистанции в среднем заработок составит $0,5 на одном броске. Стратегия однозначно выигрышная и ее стоит использовать. Это простейший пример закона больших чисел, примененного для оценки эффективности инвестиций.

Например, алгоритмические хедж-фонды работают с сотнями/тысячами стратегий, нацеленных на сотни различных инструментов. Обязательное требование для включения стратегии в пул – положительное математическое ожидание. При работе с инструментами с с максимальной отрицательной корреляции, это делает работу практически безубыточной.

Рядовой инвестор также использует понятие о законе больших чисел (даже если не владеет терминологией из теории вероятности). Вспомните как проводится анализ любого инвестиционного портфеля:

Подбирается его состав;
Он тестируется на истории;
Если на дистанции математическое ожидание положительное, портфель берется в работу.

Эта схема – типичное использование закона больших чисел, ей следуют все опытные инвесторы.

Разберем этот метод на примере инвестиций в ETF с тикером SPY.

Для тестирования выберем любой временной промежуток, например, 2010-2016 гг.. В отчете нас интересует математическое ожидание или средний арифметический прирост капитала в год и в месяц.

Есть еще и средний геометрический прирост, он рассчитывается на основании наклона кривой роста депозита, при стабильном росте капитала средний арифметический и геометрический прирост практически совпадают.

Теперь проведем форвард-тест (взяв участок истории после 2016 г.). Если кратко, то по закону больших чисел в будущем должны получить примерно тот же результат.

Ожидания оправдались – рассчитывали на среднюю месячную и годовую доходность на уровне 1,07% и 13,62%, а при форвард-тесте получили 1,20% и 15,42%. Расхождение составило 12,2% и 13,2%, что для не особенно длинной дистанции неплохой результат.

Закон больших чисел просто показывает каким вероятнее всего будет результат случайного события. Но он не гарантирует, что в каждом следующем испытании итог будет строго равен математическому ожиданию.

За период с февраля 1993 г. по конец 2000 г. SPY показал себя отлично. Опираясь на статистику, инвестор мог рассчитывать на средний профит в 17,98% в год или 1,39% в месяц.

Но после 2000 г. начался спад и фонд просел, инвестор получил убыток. На короткой дистанции могло показаться, что закон перестал работать и пора искать новый инструмент для вложений.

В следующие пару лет ETF SPY был убыточным. Вместо роста капитала инвестор получил убыток в среднем 15,19% в год или 1,36% в месяц. Расхождение с ожиданиями порядка 180-200%, на погрешность это списать нельзя.

Причина таких расхождений – работа с небольшими временными промежутками. Здесь уместна аналогия с подбрасыванием монетки:

Если подбрасывать ее 1 млн. раз, то распределение выпадения аверса и реверса составит почти 50/50;
Но если из этого миллиона подбрасываний исследовать выборку, например, в 10-20 экспериментов, то распределение может оказаться любым – и 10/0, и 60/40, и 30/70.

То же и в инвестировании. Вспомните сущность закона больших чисел, он применим только при достаточном массиве статистики.

Если вернуться к ETF SPY и оценить его показатели за все время существования, то окажется, что рассчитывать можно в среднем на рост в 10,83% за год и 0,86% в месяц.

Этим результатам стоит доверять больше еще и потому, что за выбранный период SPY успел пережить 2 кризиса.

Ровно по такой же схеме закон больших чисел используется и в хедж-фондах, управляющих миллиардами долларов. Отличаются лишь инструменты анализа информации, сам принцип остается тем же.

Как использовать закон больших чисел в бизнесе

Закон больших чисел связан с обработкой статистических данных. Крупный бизнес не сможет работать и прогнозировать развитие без обработки статистики, поэтому этот закон в бизнесе применяется повсеместно.

Ниже – варианты применения закона в различных секторах:

Закон больших чисел в бизнесе применяется повсеместно. Прогнозирование результатов в будущем – не единственное его применение.

Так, закон больших чисел описывает фазы развития бизнеса. В частности, из него следует, что темпы роста бизнеса в процентном соотношении не могут сохраняться постоянными неограниченно долго.

Отсюда следует, что у молодого бизнеса более вероятен резкий рост, чем у компаний с многомиллиардными оборотами. Это следует взять на вооружение инвесторам.

По мере роста происходит насыщение рынка, рост в процентном соотношении падает (при этом в деньгах показатели растут). Чтобы не перейти к стагнации компания выводит новые продукты, выходит на новые рынки.

Применение закона больших чисел в банковской деятельности

Закон больших чисел просто необходим в банковской сфере.

Для обоснования частичного банковского резервирования. Для банка нет смысла постоянно располагать 100% депонированных средств. Если клиенты, например, совокупно внесли на счет $10 млрд., то банк часть этой суммы держит наготове на тот случай, если клиенты захотят обналичить средства, а часть пускает в оборот, зарабатывая фактически на пустом месте. Закон больших чисел позволяет рассчитать долю средств, которые можно пустить в оборот. Для нормальных условий рассчитывается процент клиентов, которые могут одновременно затребовать возврат денег, исходя из этого определяется норма резервирования.

В кредитовании. Например, чтобы обосновать проценты по кредиту. Использовав закон больших чисел банк может спрогнозировать какая доля заемщиков не выплатит займ. В том числе исходя из этого назначается процент за использование кредитных денег.

Для составления профиля благонадежного и неблагонадежного заемщика. На основании этого закона составляется профиль заемщика, который с наибольшей вероятностью вернет займ. Учитываются все составляющие – пол, сфера работы и должность, трудовой стаж, средний месячный доход, назначение займа, кредитная история, семейное положение.

Что касается того, на чем основывается закон больших чисел при его применении в банковской сфере, то это тот же массив статистики.

Эта закономерность используется и другими околофинансовыми учреждениями. Например, БКИ при расчете кредитного рейтинга и прогнозе о возможности займа в банке опираются на анализ статистики. Значит закон больших чисел задействован и здесь.

Как работает закон больших чисел в страховании

Сектор страхования предлагает всем желающим (не только физлицам) защитить себя от убытков при наступлении несчастного случая.

На первый взгляд форс-мажоры спрогнозировать невозможно, но при изучении статистики оказывается, что и они подчиняются математическим закономерностям.

Закон больших чисел в страховании используется для определения минимального страхового взноса, который бы позволил компании перекрыть убытки при наступлении страхового случая.

Пример

Компания страхует 100 000 автомобилей, усредненная стоимость каждого $50 000, столько страховщик обязан выплатить при наступлении страхового случая.

Закон больших чисел говорит о том, что в среднем за год вероятность попадания в ДТП/угона (условия наступления страхового случая оговариваются отдельно) составляет 1/200 или 0,5%. То есть ежегодно страховщику придется выплачивать компенсацию 0,5 х 100000/100 = 500 автовладельцам.

При выплате в $50 000 ежегодно компания будет выплачивать 500 х $50 000 = $25 млн.

Теперь рассчитаем стоимость страховки для страхователей. Чтобы страховщик вышел в ноль каждый из страхователей должен заплатить $25 000 000/100 000 = $250. Но так как страховщик хочет заработать, то в реальности стоимость страховки будет равна $250 + N, где N – вознаграждение компании, зависящее в первую очередь от конкуренции.

Страхование – бизнес, который стал возможным исключительно благодаря закону больших чисел. Без прогнозирования соотношения прибыли и убытка по страховым случаям страховщики не стали бы работать.

Когда закон больших чисел не работает

Сложно найти сферу деятельности человека, где не применяется закон больших чисел. Но сама по себе эта закономерность не является 100%-ной гарантией того, что в будущем события будут развиваться в соответствии с расчетами.

Закон больших чисел может не работать при:

Это не значит, что закон больших чисел нельзя использовать в бизнесе и инвестировании. Просто нужно заранее понимать, что он лишь прогнозирует вероятный результат в будущем на основе статистики.

Заключение

Если дать определение закону больших чисел простым языком, его можно назвать законом, описывающим наиболее вероятный сценарий развития событий в будущем, опираясь на массив исторических данных. При этом он не гарантирует на 100%, что результаты окажутся точно такими же.

Эту закономерность использует любой бизнес без исключения, в инвестировании ей также отведена существенная роль.

Вероятнее всего вы и сами неосознанно пользуетесь этой закономерностью при планировании своих инвестиций. Если же нет – самое время начать это делать.

Трейдер, инвестор, частный предприниматель. "Финансовые рынки объединяют разные интересы, бизнес, континенты. Это то место, где всегда можно найти, чем заняться, что и как сделать или создать."

Для решения многих практических задач необходимо знать комплекс условий, благодаря которому результат совокупного воздействия большого количества случайных факторов почти не зависит от случая. Данные условия описаны в нескольких теоремах, носящих общее название закона больших чисел, где случайная величина _к равна 1 или 0 в зависимости от того, будет ли результатом k-го испытания успех или неудача. Таким образом, Sn является суммой n взаимно независимых случайных величин, каждая из которых принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и q.

Простейшая форма закона больших чисел - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра-Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона распределения. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом.

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.

В основе качественных и количественных утверждений закона больших чисел лежит неравенство Чебышева . Оно определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа. Замечательно, что неравенство Чебышева дает оценку вероятности события для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина x имеет дисперсию, то для любого x > 0 справедливо неравенство , где Mx и Dx - математическое ожидание и дисперсия случайной величины x .

Теорема Бернулли. Пусть x_n - число успехов в n испытаниях Бернулли и p - вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда при любом s > 0 справедливо .

Теорема Ляпунова. Пусть s₁ , s₂ , …, s_n , …– неограниченная последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями m₁ , m₂ , …, m_n , … и дисперсиями s₁ 2 , s₂ 2 , …, s_n 2 … . Обозначим, , ,.

Тогда = Ф(b) - Ф(a) для любых действительных чисел a и b , где Ф(x) - функция распределения нормального закона.

Пусть дана дискретная случайная величина . Рассмотрим зависимость числа успехов Sn от числа испытаний n. При каждом испытании Sn возрастает на 1 или на 0. Это утверждение можно записать в виде:

Sn = ₁ +…+ _n . (1.1)

Закон больших чисел. Пусть к >—последовательность взаимно независимых случайных величин с одинаковыми распределениями. Если математическое ожидание = М(_к ) существует, то для любого > 0 при n

(1.2)

Иначе говоря, вероятность того, что среднее S_n /n отличается от математического ожидания меньше, чем на произвольно заданное , стремится к единице.

Центральная предельная теорема. Пусть к >—последовательность взаимно независимых случайных величин с одинаковыми распределениями. Предположим, что и существуют. Пусть Sn = ₁ +…+_n , Тогда для любых фиксированных

Ф () — Ф () (1.3)

Здесь Ф (х) — нормальная функция распределенияю. Эту теорему сформулировал и доказал Линлберг. Ляпунов и другие авторы доказывали ее раньше, при более ограничительных условиях. Необходимо представить себе, что сформулированная выше теорема является только весьма частным случаем гораздо более общей теоремы, которая в свою очередь тесно связана со многими другими предельными теоремами. Отметим, что (1.3) намного сильнее, чем (1.2), так как (1.3) дает оценку для вероятности того, что разность больше, чем . С другой стороны, закон больших чисел (1.2) верен, даже если случайные величины _k не имеют конечной дисперсии, так что он применим к более общему случаю, чем центральная предельная теорема (1.3). Проиллюстрируем последние две теоремы примерами.

Примеры. а) Рассмотрим последовательность независимых бросаний симметричной кости. Пусть _k — число очков, выпавших при k-м бросании. Тогда

M(_k )=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

aD(_k )=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2 )/6-(3.5) 2 =35/12 и S_n /n

является средним числом очков, выпавших в результате n бросаний.

Закон больших чисел утверждает: правдоподобно, что при больших п это среднее окажется близким к 3,5. Центральная предельная теорема устанавливает вероятность того, что |Sn — 3,5n | 1/2 близка к Ф() — Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 660 . Осторожная предварительная оценка дает возможность найти необходимый объем выборки.

в) Распределение Пуассона.

Предположим, что случайные величины _k имеют распределение Пуассона . Тогда Sn имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием и дисперсией, равными n.

Написав вместо n, мы заключаем, что при n

(1.5)

Суммирование производится по всем k от 0 до . Ф-ла (1.5) имеет место и тогда, когда произвольным образом.

Доказательство закона больших чисел

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что существует, и заметим, что в этом случае D(S„)по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t> 0

(2.1)

При t> nлевая часть меньше, чем, а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от , следующим образом:

U_k =, V_k =0, если (2.2)

U_k =0, V_k =, если

Здесь k=1,… , п и фиксировано. Тогда

=U_k +V_k (2.3)

Пусть j )> — распределение вероятностей случайных величин (одинаковое для всех _j ). Мы предположили, что = M() существует, так что сумма

(2.4)

конечна. Тогда существует и

(2.5)

где суммирование производится по всем тем j, при которых . Отметим, что хотя и зависит от п, но оно одинаково для

U₁ , U_2, . U_n . Кроме того, при , и, следовательно, для произвольного > 0 и всех достаточно больших n

.(2.6)

Далее, из (2.5) и (2,4) следует, что

(2.7)

U_k взаимно независимы, и с их суммой U₁ +U₂ +…+U_n можно поступить точно так же, как и с X_k в случае конечной дисперсии, применив неравенство Чебышева, мы получим аналогично (2.1)

(2.8)

Вследствие (2.6) отсюда вытекает, что

(2.9)

Далее заметим, что с большой вероятностью V_k = 0. Действительно,

(2.10)

Поскольку ряд (2.4) сходится, последняя сумма стремится к нулю при возрастании n. Таким образом, при достаточно большом п

Pk 0>(2.11)

P1 +…+V_n 0>. (2.12)

Но , и из (2.9) и (2.12) получаем

(2.13)

Так как и произвольны, правая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и завершает доказательство.

При дальнейшем анализе сущности закона больших чисел будем пользоваться традиционной терминологией игроков, хотя наши рассмотрения допускают в равной степени иболее серьезные приложения, а два наших основных предположения более реальны в статистике и физике, чем в азартных играх. Во-первых, предположим, что игрок обладает неограниченным капиталом, так что никакой проигрыш не может вызвать окончания игры. (Отбрасывание этого предположения приводит к задаче о разорении игрока, которая всегда интригует изучающих теорию вероятностей.) Во-вторых, предположим, что игрок не имеет нрава прервать игру, когда ему заблагорассудится: число п испытаний должно быть фиксировано заранее и не должно зависеть от хода игры. Иначе игрок, осчастливленный неограниченным капиталом, дождался бы серии удач и в подходящий момент прекратил бы игру. Такого игрока интересует не вероятное колебание в заданный момент, а максимальные колебания в длинной серии партий, которые описываются скорее законом повторного логарифма, чем законом больших чисел .

Введем случайную величину _k как (положительный или отрицательный) выигрыш при k-м повторении игры. Тогда сумма S_n =₁ +…+_k является суммарным выигрышем при п повторениях игры. Если перед каждым повторением игрок уплачивает за право участия в игре (не обязательно положительный) взнос , то ппредставляет собой общий уплаченный им взнос, aS_n — побщий чистый выигрыш. Закон больших чисел применим, если p=M(_k ) существует. Грубо говоря, при больших п весьма правдоподобно, что разность S_п — покажется малой по сравнению с п. Следовательно, если меньше, чем р, то при больших п игрок будет, вероятно, иметь выигрыш порядка . По тем же соображениям взнос практически наверняка приводит к убытку. Короче, случай благоприятен для игрока, а случай неблагоприятен.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Принцип Бернулли. Закон Бернулли". Презентация на заданную тему содержит 14 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Принцип Бернулли. Закон Бернулли" До сих пор мы рассматривали движение твердых тел. Знание законов сохранения дает нам возможность познакомиться с основными закономерностями движения жидкостей и газов, которое очень распространено в природе и технике

Примеры движения жидкостей и газов Движется воздух в земной атмосфере; Движется вода в океанах и морях, озерах, реках; Движется кровь в кровеносных сосудах; Движутся питательные соки в капиллярах растений; Движутся вода, нефть, газ в трубопроводах.

194932 194929 194918 194941 194906 194947 194933 194909 194940 194907 194912 194919 194942 194943 194949 194946 194945 194950 194923 194934 194936 194910 194911 194951 194944 194930 194948 194913 194922 194935

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Мы в социальных сетях

Читайте также: