Старинные задачи и способы их решения 7 класс доклад

Обновлено: 30.06.2024

В данной заметке речь идёт о старинных задачах и арифметических способах их решения.

Такие задачи давали учащимся в те времена, когда ещё не использовали уравнений и их систем, поэтому отдельный интерес представляет арифметические способы их решения. Применение уравнений и их систем — вопрос более понятный.

Кристина изобразила в виде отрезка общее количество мешков, показав части, принадлежащие ослице и мулу.

Если число мешков мула уменьшить на 1, то у него окажется половина всех мешков. Если число мешков ослицы уменьшить на 1, то у неё окажется треть всех мешков (у мула — в два раза больше, чем у ослицы).

Похожие задачи встречались и у более поздних авторов. У Бхаскары (Индия, 1114 – 1185), у И. Ньютона (1642 – 1727), у Л. Эйлера (1707 – 1783).

5. (9 кл., 1188) Некто желает дать милостыню убогим, дав каждому по 3 пенязи (деньги), но недостаёт денег на 3 человека. Если бы дал им по 2 пенязи, тогда бы осталось денег на 4 человека. Спрашивается, сколько было убогих и сколько у того мужа было денег.

Название денария Великого княжества Литовского пе́нязь (польск. pieniądz ), пришло, видимо, из задачи более раннего времени.

Представим, что сначала тот муж дал каждому человеку по 2 пенязя. Осталось на 4 человека — 2 ∙ 4 = 8 пенязей. Если к этому добавить ещё 3 ∙ 3 = 9 пенязей (для раздачи по 3 не хватало на трёх человек), то 8 + 9 = 17 пенязей хватило бы, чтобы каждому добавить ещё по 1 пенязю. То есть было 17 убогих и 17 ∙ 2 + 8 = 42 пенязя.

Соглашусь, что рассуждение получилось сложное, что данную задачу проще решить уравнением

3( x – 3) = 2( x + 4),

где x — число убогих.

Но вернёмся в I–II века нашей эры, в Китай.

6. (6 кл., 1252) Китай, I в. Сообща покупают вещь. Если каждый внесёт по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3. Если каждый внесёт по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Представим, что сначала каждый внёс по 7, и не хватило 4 денежных единиц. Со скольких человек нужно взять ещё по одной денежной единице ( 8 – 7 = 1), чтобы покрыть недостаток 4 единицы, да ещё осталось 3 единицы.
1) 3 + 4 = 7 (человек),
2) 7 ∙ 7 + 4 = 53 (денежных единиц).

7. (6 кл., 1253) Китай, II в. Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесёт по 9 (денежных единиц), то останется 11. Если же каждый человек внесёт по 6, то не хватит 16. Найти число людей и стоимость курицы.
8. (9 кл., 1190) Китай, II в. Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?

Если кому милее линейные уравнения и их системы, то он всё-таки должен согласиться, что иногда арифметический способ решения может пригодиться для проверки применения уравнений и их систем. А уравнения и их системы учащиеся тоже должны освоить. Это будет тем легче сделать, чем лучше они разовьют свои способности искать арифметические способы решения задач, дающие для развития творческих способностей гораздо больше, чем следование алгоритмам решения задач при помощи уравнений.

В статье собраны по темам старинные задачи для 7 класса. К задачам даны решения и ответы.

Старинные задачи для учащихся 7 класса

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Два человека, хотяще вещь некую купити, из них первый глаголет другому: даждь ми 2/3 твоих денег их же имаши, и аз (я) един за ону вещь заплачу цену, а другой первому глаголет: даждь ты мне денег твоих 3/4 их же у себя ныне имаши, и аз един за ту вещь заплачу. Цена же вещи тоя 38 рублёв, и ведательно есть: колино у которого в то время денег было?

2. Из теоретической и практической арифметики, собранной Дмитрием Аничковым (1793г.).

Некто продает двух коней с седлами, из коих цена одному седлу 120 руб., а другому – 25 руб. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешевым седлом; а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешевым седлом. Спрашивается цена каждого коня.

5. Старинная китайская задача.

В одном дворе находились кролики и куры. Всего было 35 голов и 94 ноги. Сколько было кур, а сколько кроликов?

7. Из алгебры арабского математика и астронома ал-Караджи (X –XI вв.).

1) х + у = 10; 2) х + у = 2у; у + 1 = 3х.

1) 2)

Формулы сокращенного умножения

9. Задача Авиценны (980-1037г. – среднеазиатский философ-естествоиспытатель, врач, математик, поэт).

Если число, будучи разделено на девять, даёт в остатке один или восемь, то квадрат этого числа, делённый на девять, даёт в остатке один.

10. Из старинного руководства (1200 г.).

Две башни в равнине находятся на расстоянии шестидесяти локтей одна от другой. Высота одной из них – пятьдесят локтей, высота другой – сорок локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удалённый от вершин обеих башен. Спрашивается, как далеко находится колодец от основания каждой башни.

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

Пусть х руб. у первого, у руб. у второго:

Ответ: 25 рублей.

Пусть х вёдер несла ослица, у вёдер – осёл.

Ответ: 5 вёдер – ослица, 7 вёдер – осёл.

Пусть х руб. стоит первый конь, у руб. – второй.

Ответ: 735, 260 рублей.

Пусть х яиц было у первой торговки, у яиц – у второй.

Ответ: у первой – 27 яиц, у второй – 33.

Пусть х – кроликов, у – кур.

Ответ: 17 кроликов, 18 кур.

Пусть х динариев было у первого человека, у динариев – у второго.

Ответ: 7 динариев, 9 динариев.

7. Ответ: 1) х = ; 2) .

8. Ответ: 1) х = 98, у = 24; 2)

Презентация по алгебре, выполненная ученицей 7 класса ГБОУ гимназии № 433 Санкт-Петербурга по теме "Старинные задачи и способы их решения". Работа имеет мотивационный характер и служит общеразвивающей цели.

Вложение	Размер
Старинные задачи и способы их решения	2.48 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Старинные задачи и способы их решения Работу выполнила Ученица 7 класса ГБОУ гимназии № 433 Санкт-Петербурга Орлова Валерия

Цель: Рассмотреть старинные задачи и решить их.

План: Смотрим задачу и пробуем ее решить Смотрим решение и ответ Всего мы рассмотрим 5 задач

Задача 1 Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?

Решение 1 Лев за час съест 1/2 часть овцы, волк за час съест 1/3 часть овцы, собака за час съест 1/6 часть овцы. Вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу) Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.

Задача 2 Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Сколько стоили дома?

Решение 2 800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим; 2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство; 1200+800=2000(руб.) - стоил дом. Ответ: дом стоил 2000 рублей.

Задача 3 У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. (Он не соврал!) Как это могло быть?

Решение 3 Он родился в високосный год 29 февраля.

Задача 4 Летела стая гусей, а навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?

Решение 4 Пусть было х гусей. Составим уравнение: х+х+0,5х+0,25х+1=100 2,75х=99 х=36 Ответ: в стае 36 гусей.

Задача 5 Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?

Решение 5 Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек. х+(х+10)=12 2х=2 х=1(коп) - стоит пробка. 1+10=11 (коп) - Стоит бутылка Ответ: пробка стоит 1 копейку, бутылка - 11 копеек.

Вывод: Для решения старинных задач нужно использовать логику и применять способы решения известные нам, например, решение с помощью уравнения.

Источники Для создания презентации были использованы: Яндекс Учебник по алгебре 7 класса

№ слайда 2

Цель работы 1) Изучить историю возникновения арифметических задач, причины, побудившие их возникновение, авторов-составителей задач, их биографии. 2) Подробнее познакомиться со старинными единицами измерения.3) Проследить методы решения задач: от простых арифметических (арифметический способ) до более сложных задач на доказательство и решаемых с помощью уравнений, систем.4) Найти новые методы решения задач.

№ слайда 3

№ слайда 4

№ слайда 5

№ слайда 6

№ слайда 7

Перевод единиц измерений Вершок - 44.38 ммАршин - 0.71 м = 16 вершков = 2.333 фута = 28 дюймовСажень - 3 аршина = 2.13 мВерста -1066.78 м = 500 саженей

№ слайда 8

Задачи на старинные русские меры длины Задача № 1 УсловиеРасстояние между дворцом государя и боярским поместьем равно 40 верстам. Из поместья выехал приказчик со скоростью 8 верст/час. Сколько часов он ехал? Решение 1) 40*1,066=42, 64 (км) 2) 8*1,066=8,528 (км/ч) 3) 42,64:8,528=5 (ч) Ответ:Приказчик ехал 5 часов.

№ слайда 9

Задача № 2 Условие Иван был на 3 вершка выше Федора, но ниже Ильи на 1 вершок. На сколько Илья выше Федора? Решение1) 3*4,4445=13,3335 (см)2) 4,4445+13,3335=17,778 (см)Ответ: Илья выше Федора на 17,778 см.

№ слайда 10

Задача № 3 УсловиеЗамостили брусчаткой 25% всей главной улицы города. Вся длина улицы составляла 4 версты, а ширина дороги составляла 2 сажени. Сколько осталось замостить дороги, если еще замостили 5 саженей2? Решение4*500=2000 (саж.)2000*2=4000 (саж2.)4000*0,25=1000(саж2.)1000+5=1005 (саж2.)4000-1005=2995 (саж2.)Ответ: Осталось замостить 2995 саженей2 дороги.

№ слайда 11

Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) Род. в семье крестьянина. Самоучкой выучился грамоте. В 1684 был послан крестьянами с рыбой в Иосифо-Волоколамский монастырь, где был оставлен "для чтения", а в дальнейшем отправлен в Симонов монастырь в Москве. В 1685 - 1694 учился в Славяно-греко-латинской академии. В 1694 - 1701 Магницкий жил в Москве, занимался самообразованием, изучив немецкий, голландский, итальянский языки и математику. 22 февр. 1701 по распоряжению Петра I Магницкий был назначен преподавателем Навигацкой школы и ему было поручено написать учебник по математике и кораблевождению. В 1703 Магницкий разработал рукописный курс по геометрии, тригонометрии и кораблевождению и выпустил в свет первый рус. учебник по математике "Арифметика, сиречь наука числительная" тиражом 2 400 экз. По этому учебнику учился М.В. Ломоносов. Составленная "ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей", эта книга служила полстолетия распространению математических знаний в России. В 1703 - -1739 Магницкий занимался подготовкой для Навигацкой школы преподавателей из числа лучших учащихся. В 1704 по распоряжению Петра I для Магницкого был построен дом, а за "непрестанные и прилежные в навигацких школах во учении труды" Магницкий был награжден "саксонским кафтаном". В 1715 Магницкий стал старшим преподавателем. Будучи бессменным преподавателем Навигацкой школы в течение почти четырех десятилетий, а затем и главным ее руководителем, Магницкий способствовал успеху петровских преобразований в области просвещения.

№ слайда 13

Житейские истории Задача № 4 УсловиеКосцы. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса. РешениеОбозначим неизвестное количество косцов буквой х. Запишем: 6 косцов 8 часовХ косцов 3 часаСоставим пропорцию: Х/6=8/33х=48Х=16Следовательно, 16 косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

№ слайда 14

№ слайда 15

№ слайда 16

№ слайда 17

Денежные расчеты Задача № 8 УсловиеСколько стоит кафтан? Хозяин нанял работника на год и обещал заплатить ему 12 рублей и впридачу дать кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей денег. Сколько стоит кафтан? РешениеЗнаем, что работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, месячная его плата в деньгах составляет 7/5 рубля, или 1 рубль 40 копеек. Плата за 7 месяцев составит 7*7/5=9 4/5 рубля, или 9 рублей 80 копеек.Но работник за это время получил 5 рублей и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 рубля 80 копеек.

№ слайда 18

Леонард Эйлер (1707-1783) ЭЙЛЕР, ЛЕОНАРД (1707–1783), великий математик, механик и физик. Родился 4 апреля 1707 в Базеле. Учился в Базельском университете (1720–1724), где его учителем был известный математик Иоганн Бернулли. Уже в 1722, в возрасте 16 лет, получил степень магистра искусств. В 1727 переехал в Санкт-Петербург, получив место адъюнкт-профессора в недавно основанной Академии наук и художеств. В 1730 стал профессором физики, в 1733 – профессором математики. За 14 лет своего первого пребывания в Петербурге Эйлер опубликовал более 50 работ. В 1741–1766 он работал в Берлинской академии наук под особым покровительством Фридриха II, и за эти 25 лет написал огромное множество сочинений, охватывающих по существу все разделы чистой и прикладной математики. В 1766 по приглашению Екатерины II Эйлер возвратился в Россию. Вскоре после прибытия в Санкт-Петербург он полностью потерял зрение из-за катаракты, но благодаря великолепной памяти и способностям проводить вычисления в уме до конца жизни занимался научными исследованиями: за это время им было опубликовано около 400 работ, общее же их число превышает 850. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 17 сентября 1783.

№ слайда 19

Задача Эйлера Задача № 9 УсловиеДокажите, что в произвольном выпуклом четырехугольнике сумма квадратов длин сторон превышает сумму квадратов длин диагоналей на величину, равную учетверенному квадрату расстояния между серединами диагоналей. ДоказательствоПусть ABCD-выпуклый четырехугольник, точки H и G-середины диагоналей AC и BD. На продолжении отрезка AG за точку G отложим точку E такую, что AG=GE. Аналогично на продолжении отрезка CG за точку G отложим точку F такую, что CG=GF. В четырехугольниках ABED, ACEF, и BCDF диагонали в точке их пересечения G делятся пополам. Следовательно, эти четырехугольники-параллелограммы. Так как

№ слайда 20

Задачи из книг, изданных в ХVIII веке

№ слайда 21

Сколько кому лет Задача № 10 УсловиеСколько им лет? Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года. Сколько лет каждому? РешениеПусть возраст старшего из беседующих-х, а возраст младшего-у. По условию задачи, когда старшему было у лет (а было это х-у лет тому назад) и, следовательно, младшему у-(х-у)=2у-х лет, возраст младшего был вдвое меньше, чем нынешний возраст старшего. Поэтому х=2*(2у-х), или 3х=4у. С другой стороны, когда младшему будет х лет, т. е. через (х-у) лет, сумма возрастов составит 63 года, следовательно, х+(х-у)+х=63, или 3х=у+63.Из полученных равенств следует, что 4у=у+63 и у=21. Но тогда х=28. Старшему из беседующих 28 лет, младшему 21 год.

№ слайда 22

Задача № 11 УсловиеЗамысловатый ответ. У отца спросили, сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил, что если к произведению чисел, означающих их года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14. Сколько лет сыновьям? РешениеПусть одному сыну х лет, а другому y лет. Тогда из условия задачи имеем хy+х+y=14, откуда y=14-х/х+1=15/х+1-1. Поскольку у-натуральное число, а 15=5*3*1, то: 1) либо х+1=5; 2) либо х+1=3; 3) либо х+1=1В случае 1) х=4, тогда у=2; в случае 2) х=2, тогда у=4; в случае 3) х=0, чего не может быть, так как х-натуральное число. Следовательно, одному сыну 2 года, а другому 4 года.

№ слайда 23

Фигурные числа Задача № 12 УсловиеПирамида из ядер. Пушечные ядра, приготовленные для стрельбы, сложены в виде треугольной пирамиды. Ядра, образующие первый слой, составляют правильный треугольник, на стороне которого лежит n ядер. Ядра второго слоя положены в выемки, образованные ядрами первого слоя. Точно также образуются и последующие слои. Последний слой состоит из одного ядра. Сколько ядер в этой пирамиде? РешениеКоличество ядер, лежащих в первом слое, равно треугольному числу с номером n, во втором слое-треугольному числу с номером n-1 и т. д. В последнем слое с номером n лежит одно ядро, и первое треугольное число также равно 1. Значит количество ядер в пирамиде равно сумме первых n треугольных чисел, т. е. Сумме чисел вида (k2+k)/2,k=1, 2, …, n. Для того, чтобы найти сумму, составим тождество (k2+k)/2=(k3+3k2+2k)/6-((k-1)3+3(k-1)2+2(k-1))/6. Подставляя в него последовательно k=1,2,3,…,n, получим равенства1=1-03=4-16=10-410=20-10…………. (n2+n)/2=(n3+3n2+2n)/6-((n-1)3+3(n-1)2+2(n-1))/6.Сложим теперь почленно левые и правые части написанных равенств. Слева получится сумма всех треугольных чисел от первого до n-го, т. е. количество ядер в пирамиде. При сложении же выражений в правой части уничтожаются все слагаемые, кроме (n3+3n2+2n)/6. Следовательно пирамида сложена из (n3+3n2+2n)/6=(n(n+1)(n+2))/6 ядер.

№ слайда 25

Выводы Выполняя эту работу, я изучила много дополнительной литературы:исторические справочники, задачники, энциклопедии. Проделанная работа дала мне представление о практике решения задач в старые времена, доставила мне огромное удовольствие и расширила мой кругозор. Решенные задачи могут быть использованы для внеклассной работы по математике. Они будут интересны не только школьникам, но и людям, увлекающимся математикой.

№ слайда 26

Читайте также: