Преобразование степенных логарифмических выражений доклад по математике

Обновлено: 18.05.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Зам. директора по учебной работе

Рассмотрено на заседании ЦМК общепрофессиональных дисциплин

Председатель ЦМК _____________

Методическая разработка лекционного занятия по математике на тему:

« Логарифмы и их свойства. Преобразование логарифмических выражений..

Желновой И.А.

Тип занятия: изучение нового учебного материала.

Вид занятия: лекция.

Цели занятия:

1. Образовательные:

· ввести понятие логарифма;

· изучить основные свойства логарифмов;

· способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

2. Развивающие:

развитие математического мышления;
развитие техники вычисления;
развитие умение логически мыслить и рационально работать;
способствовать развитию у обучающихся навыков самоконтроля

3. Воспитательные:

· способствовать воспитанию у студентов интереса к математике, познавательной активности; коммуникативных навыков.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал.

Межпредметные связи: история.

Структура занятия:

I. Актуализация знаний.

2. Фронтальное решение задач с целью актуализации знаний и мотивации введения нового понятия.

II. Формирование новых знаний.

1. Ввести понятие логарифма числа.

3. Рассмотреть основные свойства логарифмов.

3.Ввести понятия десятичного и натурального логарифмов.

4. Начать формировать умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

III. Подведение итогов занятия.

IV. Домашнее задание.

I. Актуализация знаний.

Здравствуйте! Приводим себя в порядок (преподаватель смотрит на внешний вид студентов), присаживаемся. (Отмечает отсутствующих).

- Ребята, сегодня на занятии вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие, затем познакомимся со свойствами нового понятия; вы должны научиться различать эти свойства по их записи; научиться применять эти свойства при решении заданий. Будьте собраны, внимательны и наблюдательны. Успехов!

2. Фронтальное решение задач с целью актуализации знаний и мотивации введения нового понятия.

Студентам предлагается определить тему лекции, решив уравнения:

А теперь решим следующие уравнения: ; ; .

План нашей лекции следующий:

1. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

2. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.

3. Десятичные и натуральные логарифмы.

4. Преобразование логарифмических выражений

II. Формирование новых знаний.

1. Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Вернемся уравнению , где . Это уравнение не имеет решений при и имеет единственный корень при . Этот кореньназывается логарифмом b по основанию a и обозначается

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.

Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Пример № 1: Найти значение выражения (2 5 =32); (0,04=1/25, 5 -2 =1\25)

Основное логарифмическое тождество:

Пример № 2: ,

2. Основные свойства логарифмов.

При работе с логарифмами применяются их следующие свойства.

5. , для любого действительного p .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы.

6. Формула перехода к новому основанию:

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием, имея таблицы логарифмов, составленных для какого-нибудь одного основания b . Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов.

3. Десятичные и натуральные логарифмы.

В математике принято следующее сокращение:

Формула 6 потребуется при вычислении логарифма по калькулятору.

4. Преобразование логарифмических выражений

Пример 3: Вычислите

Пример 6:Найдите x :

X =40\9

5. Подведение итогов занятия.

1. Вопросы студентам:

1. Что нового мы сегодня узнали?

2. Что называется логарифмом?

3. Перечислите основные свойства логарифмов?

4. Работа по карточкам с целью формирования навыков вычисления логарифма.

Развивать математическое мышление, технику вычисления, внимание Формировать умения четко и ясно излагать свои мысли; развивать способность у обучающихся самоконтроля; взаимопроверки; Воспитывать чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности к себе; Воспитывать внимательность, аккуратность.

Эмоциональное состояние на начало урока отличное хорошее плохое

log 2 16 2 3 log 7 7 4 log 4 6 3 3 4 2 log 0 ,1 0 ,0 1 8 1 16 4 2 6 27 Т Е Н С Ь П Е составьте слово

8 1 16 4 2 6 27 Т Е Н С Ь П Е log 2 16=4 2 3 =8 log 7 7 = 1 4 log 4 6 = 6 3 3 =27 4 2 =16 log 0,1 0 ,0 1 = 2 ПРОВЕРИМ: С Т Е П Е Н Ь

ЗАДАНИЕ: 1. Логарифм числа b по _____ а называется _____ степени, в которую нужно _____ основание а , чтобы получить число b . 2. Основание и число, стоящее под знаком логарифма, должны быть _____ . 3. Формулу , где а ≠1 , а >0 , b>0 называют ____ 5. Если основание а = ___ , то такой логарифм называется десятичным и обозначается lgb . 4. Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называется выражение a n , равное произведению n множителей, каждый из которых равен a , где а - ____ , n - _____

Прочитайте выражение, назовите основание и показатель степени: = 1 = 4

Задание 1 1) log a 1 1) log с (a ∙ b) 2) log a a 2) b 3) log c a + log c b 3) n ∙ log a b 4) log c a – log c b 4) 0 5) log a b n 5) 1 6) log a n b 6) log c (a/b) 7) a log a b 7) (1/n) ∙ log a b

1) log a 1 4) 0 2) l og a a 5) 1 3) log c a + log c b 1) log с (a ∙ b) 4) log c a – log c b 6) log c (a/b) 5) log a b n 3) n ∙ log a b 6) log a n b 7) (1/n) ∙ log a b 7) a log a b 2) b Задание 1 Проверим:

ПРОВЕРИМ: (1,4), (2,7), (3,6), (4,3), (5,2)

Задание 2 Выясните, какое свойство логарифма применяется log 7 7 = log (1/2) 1 + 9 = 3 log 3 6 = log 2 16 + log 2 4 = log 6 3 + log 6 2 = log 6 6 9 = log 2 64 - log 2 1 = log 2 2 6 = 1 9 6 6 1 9 6 6

Задание 4 ( устно) Упростите выражение: 1) х 5 ∙ х 7 2) а 4 ∙ а 0 3) к 9 : к 7 4) r 10 : r 5) у 4 у 6 у 6) (- b )(- b ) 3 (- b ) 7) с 4 : с 8) а 20 ∙ a 4 9) х 9 : х 4 10) ( b ) 11) ссс 3 1 2 ) а 2 ∙ a

Задание 5 Найдите значение выражения: 1) 5 ∙ 5 2 2) 7 4 ∙ 49 ∙7 3 3) 16 : 4 2 4) (10 -3 ) 5) 7 3 : 49 6) 2 3 : 2

Задание 6 (работа в парах) Запишите ответы в виде степени с основанием С 1. С 5 ∙ С 3 2. С 8 : С 6 3. (С 4 ) 3 4. С 5 ∙ С 3 : С 6 5. С 14 ∙ С 8 6. С 7 : С 5 7 . ( С 4 ) 3 ∙ С 8. С 4 ∙ С 5 ∙ С 0 9. С 16 : С 8 10 . (С 3 ) 5 ∙ С 7

Задание 6 Сопоставьте полученные ответы буквам РЕНЕ ДЕКАРД

Задание (работа в парах) 1) 5 log 5 7 = 2) 6*11 log 11 5 = 3 ) log 6 6 = 4) log 3 (1/ 27 ) = 6 ) log 5 125 = 7 ) log 7 7 = 8 ) 26 : log 4 16 = 5 ) log 4 64 = 9 ) log 4 16 = 10 ) log 6 36 =

1) Задание Уровень 1 2 ) log 2 8 * 8 log 8 2 = 3) log 3 27 – log 7 7 = 4 ) 5) 4 6 2 13 2 2 6 :

Сегодня на занятии я повторил… Сегодня на занятии я научился… Сегодня на занятии мне было интересно… ПРОДОЛЖИТЕ ФРАЗЫ:

Рефлексия отличное хорошее плохое определите уровень эмоционального состояния в конце урока:

1) 3 -2log 3 5 2) 3 5log 3 2 3) 4) 0,3 2 log 0 , 3 6 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Вычислить: 5)

СПАСИБО ЗА урок!

РЕБУСЫ СЛОЖЕНИЕ ВЫЧИТАНИЕ

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) степень

ЗАГАДКИ Белый камешек растаял, На доске следы оставил . Проживают в трудной книжке Хитроумные братишки. Десять их, но братья эти Сосчитают всё на свете. Чёрный Ивашка , Деревянная рубашка, Где носом пройдёт - Там заметку кладёт. МЕЛ ЦИФРЫ КАРАНДАШ

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

презентация к открытому уроку по теме "Особенности немецкой кухни"

Цель открытого урока "Особенности немецкой кухни" - показать всевозможные средства обучения при изучении темы "Кухни народов мира". Цель изучения иностранного языка в техникуме - уметь применять.

Презентация к открытому уроку по теме: Сущность и функции денег.

Данная презентация позволит систематизировать материал по данной теме и установить акценты обучающимся при запоминании в ходе подготовки к уроку.

презентация для открытого урока по дисциплины "документоведение" для специальности "организация и технология защиты информации"

Приложение к открытому уроку по дисциплины "документоведение" для специальности "организация и технология защиты информации".

Презентация к открытому уроку "Формы работы и виды деятельности на уроке вокального ансамбля"

В презентации отражён план Введения к открытому уроку.

Олимпиада по Информатике, конспект открытого урока, презентация к открытому уроку

Презентация к открытому уроку по теме "Преобразование степенных, логарифмических выражений"

Презентация к откытому уроку.

Технологическая карта, паспорт урока и презентация к открытому уроку "Электролитическая диссоциация "

Представлен учебно-методический материал к открытому уроку по химии в 8 классе.

Содержание

стр. 3 Свойства логарифмов.

стр. 6 Примеры преобразования логарифмических выражений

стр.11 Список используемой литературы

Работа состоит из 1 файл

Документ Microsoft Office Word.docx

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение “Удомельская гимназия №3 имени О. Г. Макарова”

“Преобразование логарифмических выражений”

Ученицы 10 класса “A”

Рыбакова Анна Михайловна.

стр. 3 Свойства логарифмов.

стр. 6 Примеры преобразования логарифмических выражений

стр.11 Список используемой литературы

Тема Логарифмы изучаемая в школьном курсе является одной из самых сложных. Поэтому я решила подготовить реферат на эту тему и рассказать о способах преобразования логарифмических выражений. Вычисления и тождественные преобразований представляет важную проблему обучения математике. Эта проблема решается еще далеко не удовлетворительно. Доказательство этому – статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допускаемые учащимися 10 классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики. Я хочу попробовать систематизировать теоретические знания о логарифмах и практические приемы решения задач различного уровня по преобразованию логарифмических выражений. Эта проблема является очень важной на мой взгляд. Потому что данные знания необходимы для успешной сдачи экзамена по математике в 11 классе и поступления в хороший вуз.

Определение логарифма и его свойства.

Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание . Что бы получить число .

Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма

Преобразование выражений – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу. Если у нас есть выражение, содержащее логарифмы, то мы можем преобразовать его с учетом свойств этих логарифмов. В этом материале мы рассмотрим основные правила, по которым осуществляется данное преобразование.

Понятие трансцендентного выражения

Трансцендентным выражением называют выражение, содержащее переменные под знаком трансцендентной функции, т. е. под знаком показательной, логарифмической, тригонометрических или обратных тригонометрических функций. Примеры трансцендентных выражений:

Определение логарифма положительного числа. Натуральные логарифмы

Логарифмом положительного числа х по основанию называют показатель степени, в которую нужно возвести число , чтобы получить число х:

Равенство означает, что . Например,

В записи число — основание логарифма, х — логарифмируемое число.

Из определения логарифма вытекают следующие важные равенства:

Первое следует из того, что , а второе — из того, что .

Вообще имеет место равенство

Если основание логарифма равно числу е (см. п. 97), то логарифм называют натуральным. Вместо записи Справедливы равенства:

Свойства логарифмов

1°. Если , то

(логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей).

Например,

2°. Если , то

(логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя).

Например,

Если , то написать

Так как , то, применив свойство 1°, получим

Итак, если , то

(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени).

Например,

Пример:

Вычислить , если .

Решение:

Справедливо следующее утверждение: если k — четное число, то для любого . Например, .

Переход к новому основанию логарифма

Справедливы следующие два свойства, позволяющие перейти к новому основанию логарифма: 1°. Если х > 0, то

(формула перехода к новому основанию).

Например,

Пример 1.

Вычислить

Решение:

Перейдем в к основанию 2:

Пример 2.

Вычислить

Решение:

Согласно свойству 2° основание логарифма и логарифмируемое число можно возвести в одну и ту же степень, при этом числовое значение выражения не изменится:

Логарифмирование и потенцирование

Если некоторое выражение А составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы входящих в выражение А чисел. Такое преобразование называют логарифмированием.

Пример 1.

Прологарифмировать по основанию 5 выражение , где — положительные числа.

Решение:

Используя свойства логарифмов (см. п. 120), получим

Часто приходится решать обратную задачу: находить выражение по его логарифму. Такое преобразование называют потенцированием.

Пример 2.

Решение:

Из равенства находим, что

Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма

Если основание логарифма равно 10, то логарифм называют десятичным. Вместо записи принята запись lg х. На рисунках 1.98 и 1.99 изображены графики функций

В частности, для десятичных логарифмов справедливы равенства:

Пусть положительное число представлено в стандартном виде (см. п. 34) — порядок числа ). Прологарифмируем число по основанию 10, воспользовавшись свойствами логарифма (см. п. 120):

Поскольку т. e. Поэтому из равенства (1) следует, что есть наибольшее целое числа, не превосходящее число . Значит, есть целая часть числа , т. е. (см. п. 31). Слагаемое есть дробная часть числа , т. е. (см. п. 31). Целую часть числа , т. е. порядок числа , называют характеристикой , а дробную часть числа — его мантиссой.

Имеет место следующее утверждение: если число > 0 умножить на , где k — целое число, то мантисса логарифма не изменится; иными словами, и имеют одинаковые мантиссы.

В самом деле, имеем

Мантиссой числа является , т. е. то же число, которое служит мантиссой для .

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета "Математика":

Читайте также: