О бесконечности натуральных чисел доклад 3 класс

Обновлено: 30.06.2024

Бесконечность чужда нашему непосредственному опыту ,и в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого , в применении к сущностям без пространственных границ.

Также бесконечность неразрывно связана с обозначением бесконечно малого , к примеру ,ещё Аристотель сказал :

". всегда возможно придумать большее число , потому что количество частей на которое можно разделить отрезок , не имеет предела . Поэтому бесконечность потенциальна , никогда не действительна ; какое бы число делений не задали , всегда потенциально можно поделить на большее."

1.История изучения , с чего всё началось.

Первые ,кто задался вопросом бесконечности , были греческие математики. Главным из которых был Аристотель . Вообще Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности , разделив её на потенциальную и актуальную (под актуальной подразумевая реальность существования бесконечных вещей) (подробней на листе 5) и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа , а также указав на пять источников представления о ней:

время
разделение величин
мышление

Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру , в теологии бесконечность бога не столько даёт количественное определение , сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.

После Аристотеля вопросом бесконечности задались немецкий математик Давид Гильберт ( подробнее на листе 9 ) и более подробно основатель, теории множеств немец, Георг Кантор ( подробней на листе 10 ).

2.Актуальная и потенциальная бесконечность

Как уже говорилось выше Аристотель разделил понятие бесконечность на потенциальную и актуальную .

Что же значат эти определения ?

Рассмотрим эти понятия на примере актуальной и потенциальной возможности

Потенциальная возможность - возможность которую можно исполнить .

Актуальная возможность - возможность которая произошла.

Теперь применим эти определения к бесконечности.

Потенциальная бесконечность – мы можем утверждать ,что существует следующее число в последовательности больше предыдущего

Актуальная бесконечность – если мы сможем назвать такое следующее число в последовательности больше предыдущего

Сейчас ведутся споры о существовании актуальной бесконечности , лично Аристотель считал ,что истина только потенциальная бесконечность.

3.Определения и свойства.

Определение бесконечности в словарях встречаются разные , вот некоторые из них.

Отсутствие конца , предела наличию каких–либо однородных объектов в пространстве или момента осуществления каких-либо процессов.
Пространство , не имеющее видимых границ , пределов.
Условная величина , которая больше любого наперёд заданного значения (Обозначается знаком ∞ ).

3.2 Свойства бесконечности

4 Математики изучавшие бесконечность

4.1 Зенон Элейский и его парадоксы

Зенон Элейский (490-420 до н.э.) Греческий философ. О его жизни известно немногое, и о его трудах, включая его знаменитые парадоксы, мы знаем в основном из сочинений более поздних философов. Он был представителем Элейской школы, учеником Парменида (515–450 до н. э.), который утверждал, что истинная реальность должна быть вечной и неизменной, постижимой лишь разумом и логикой. Согласно легенде, элейский тиран Неарх пытал и казнил Зенона за участие в заговоре против правительства.

4.1.1 Парадокс движения

Для того чтобы Человек дошёл из точки А до точки B ему надо пройти середину этого пути ( С ) . В свою очередь ,чтобы пройти из А в С нужно пройти середину этого отрезка ( D ) . А чтобы пройти из А в D нужно пройти середину этого отрезка ( E ) и т.д. По данному парадоксу перемещение как такового не существует .Он доказывает ,что пространство(путь) бесконечно делимо

4.1.2 парадокс "Ахиллес и черепаха"

Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей , в противоположность черепахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой . Если они стартуют одновременно , то Ахиллес очевидно придёт к финишу первым .Все изменится , если дать черепахе небольшое преимущество , сколько бы мало оно ни было . В этих условиях Ахиллесу снова придётся пробежать расстояние , отделяющее его от черепахи. Однако за то время , пока он будет бежать , черепаха отойдёт ещё дальше , и Ахиллесу по-прежнему не сможет догнать её . Так как этот процесс повторяется бесконечно , он никогда не догонит черепаху.

4.2 Давид Гильберт , отель Гильберта.

Давид Гильберт ( 23 января 1862 - 14 февраля 1943 ) - немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков. Гильберт разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числе теорию инвариантов и аксиоматику евклидовой геометрии. Он сформулировал теорию гильбертовых пространств, одну из основ современного функционального анализа

Давид Гильберт внёс весомый вклад создав "отель Гильберта" , на котором построена Арифметика бесконечности ( подробнее лист 12) .

Отель Гильберта - это отель с бесконечным количеством номеров ( в каждом номере живёт 1 постоялец ) .

Разберём задачу , нам нужно заселить в этот отель 1 жителя , но все номера заняты .

Решение : Нужно переселить каждого жителя в номер N + 1 ( где N старый номер )

Тоже самое можно сделать и со 100 новыми жителями или с бесконечным множеством жителей ( переселить N ↔ 2N ) и т.д.

4.2 Георг Кантор и теория множеств

Гео́рг Ка́нтор — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике.

4.2.1 Теория множеств

Сравнение между собой двух множеств по числу элементов с помощью установления взаимно однозначного соответствия между элементами этих множеств.

Если можно установить однозначное соответствие между элементами множества ‘A’ и элементами множества ‘B’ то они имеют одинаковую мощность ( количество элементов ).

1) Георг Кантор решил проверить мощность какого множества больше множество натуральных чисел или множество целых чётных неотрицательных чисел . И оказалось ,что между числами этих множеств можно установить однозначное соответствие (следовательно мощности данных множеств равны)

2) Сравнивая между собой множество натуральных чисел и множество степеней тройки , Георг Кантор снова смог установить однозначное соответствие между членами этих множеств . Тогда он подумал , что возможно все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. И тогда он начал сравнивать множество натуральных чисел и множество точек на отрезке [0,1]

Долго мучаясь , Георг Кантор не смог установить однозначное соответствие между членами этих множеств .Но самое интересное , он обнаружил ,что множество точек на отрезке [0,1] имеет большую мощность чем множества всех натуральных чисел ( На рисунке показано ,что существует точка ,которая будет отличаться от всех других точек ,между которыми можно установить однозначное соответствие ).

5 Арифметика бесконечного

Георг Кантор обозначил множество натуральных чисел (алеф нуль) ,а множество большее по мощности множества натуральных чисел назвал "Континуум" и обозначил символом "С"

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Бесконечность Выполнила: Барабанщикова Ирина 6а класс Проверила: Шаянова Светлана Борисовна 2014 год

Бесконечность - математическое понятие

Что такое БЕСКОНЕЧНОСТЬ ? Бесконечность - это математический знак в виде перевернутой восьмерки… Бесконечность - это вселенная у которой нет конца и начала.

Два зеркала - одно глядит в другое. В них отраженья нет, сплошная тьма. Что это значит? Что это такое ? Как объяснить? - Загадка для ума. Быть может там лежит дорога в вечность? Не видно, сквозь стекло конца пути. Есть и ответ: "Пред нами - бесконечность ." И вновь вопрос: "Куда же нам идти? "

Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия

Понятие бесконечности в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.

Аристотель сделал большой вклад в осознание бесконечности, указав на пять источников представления о ней: перечислить Время; Разделение величин; Неисчерпаемость творений природы; Само понятие границы, выталкивает за ее пределы; Мышление, которое является неудержимым

5. Символ бесконечности Джон Волис ввел символ бесконечности в научной литературе. Точное происхождение символа бесконечности ∞ неизвестно. Наиболее вероятное объяснение состоит в том, что символ бесконечности происходит от формы ленты Мебиуса. Опять же, можно представить бесконечное путешествие по ее поверхности.

Ввод символа бесконечности ∞ часто приписывают Джону Волису в 1655 в его сочинении De sectionibus conicis. Одно из мнений о том, почему он выбрал этот символ является то, что он происходит из римского записи числа 1000 происходивший от этрусского записи числа 1000, который выглядел вроде этого CIƆ и иногда использовался для обозначения понятия "много". Другой мнением является то, что он происходит от греческой буквы ω омега, последней буквы в греческом алфавите. К тому же, поскольку вся верстка проводилась вручную, ∞ легко верстались как 8 возвращена на 90 ?. В Кодировке Unicode бесконечность обозначена символом ∞ (U +221 E).

Бесконечность – не только математическое понятие!

Спасибо за внимание !

Краткое описание документа:

работа выполнена ученицей 6 "а" класса на школьную НПК

Понятие бесконечности появилось далеко не сразу. Долгое время казалось, что существует некое самое большое число, дальше которого уже считать невозможно. Конец этому представлению положил великий Архимед, в свой книге "Пеаммит" показавший, как с помощью существовавшей тогда системы счисления выражать все большие и большие числа. Итак, ряд натуральных чисел - 1, 2, 3, 4, 5, 6 . -оказалось бесконечным. Сразу возникло множество вопросов: что будет, если очень малое число сложить само с собой бесконечное число раз? Бесконечно ли число атомов во Вселенной? А число точек на отрезке? Оказалось, что у бесконечного количества есть свойство, которого нет у обычных чисел. Например, каких чисел больше: натуральных или чётных? На первый взгляд, чётных чисел должно быть меньше, ведь есть ещё и нечётные! Ан нет: напишем под каждым натуральным числом чётное:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 Получается, что их поровну, ни верхний ряд, ни нижний не "вырываются вперёд". Мы пересчитали все чётные числа с помощью натуральных. Итак, сказалась, что часть может быть равна целому.

Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.

Аннотация к презентации

Содержание

О бесконечности ряда натуральных чисел.Как числа получили имена.История появления нуля.

Слайд 2

Цифры возникли примерно 5000 лет тому назад в Месопотамии — территории между реками Тигром и Ефратом.

Слайд 3

Шумеры приняли обозначения ▼ для 1 и ◄ для 10. Так что число 21738 они писали так: ▼▼ ◄ ▼▼▼▼▼▼▼ ◄◄◄ ▼▼▼▼▼▼▼▼

Слайд 4

Слайд 5

Абак или Саламинская доска

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

В 1271 — 1275 годах венецианский купец Марко Поло совершил неслыханное для той поры путешествие.

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

В США, Англии и Германии принята иная система названий чисел. По этой системе тысячу миллионов называют миллиардом или биллионом, тысячу биллионов — триллионом, тысячу триллионов — квадриллионом. Эту систему названий используют и в нашей стране.

Слайд 12

Слайд 13

Математика позволяет наладить общий язык с таким сложным понятием как бесконечность.

История бесконечности

Самыми ранними размышлениями о математической бесконечности, вероятно, являются парадоксы греческого философа Зенона. Один из них (написан в пятом веке до нашей эры) и касается Ахиллеса, самого быстроногого из всех греков, который должен бежать наперегонки с черепахой. Согласно парадоксу, быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.

Аристотель также был обеспокоен этой и другими загадками, касающихся бесконечной делимости. Вселенная, думал он, не может быть бесконечно большой. Если бы это было так, то ее половина тоже была бы бесконечной. Но что делает всю бесконечность больше ее половины? По-видимому, ничего; они обе бесконечны, поэтому должны быть одного размера. Но они не могут быть одинакового размера, так как одна половина больше другой. Аристотель выдвигает ряд других возражений и приходит к выводу, что Вселенная должна быть конечной. Глядя на звезды над собой, он приходит к выводу о том, что космос состоит из огромной (но конечной) сферы с Землей в центре.

Долгое время считалось, что бесконечность – нельзя применять в математической науке.

Однако, стоило Аристотелю это предложить, как кто-то спросил, что находится на другой стороне сферы. Тем не менее, эта идея нравилась людям на протяжении более чем тысячи лет, что в целом неплохо. В третьем веке до нашей эры Архимед подсчитал, сколько песчинок потребуется, чтобы заполнить вселенную Аристотеля, а в Средние века Святой Фома Аквинский поддержал Аристотеля, и этот взгляд стал основным для церкви.

Все изменилось, когда Николай Коперник заявил о том, что Земля – не центр Вселенной. Позже в семнадцатом веке Галилео Галилей был признан опасным мыслителем, так как открыто размышлял о бесконечности. Мир бесконечен, считал он, а материя вечна. Многим позже, в 1920-е годы немецкий математик Дэвид Гильберт придумал известный мысленный эксперимент, чтобы показать, как сложно осознать концепцию бесконечности.

Хотите всегда быть в курсе последних новостей из мира популярной науки и высоких технологий? Подписывайтесь на наш Telegram канал, чтобы не пропустить свежие анонсы новостей!

Парадокс Бесконечного отеля

По мнению создателя теории множеств, математика Георга Кантора, существует множество чисел, и это бесконечное количество чисел описывает многие типы чисел. Например, в парадоксе количество чисел было таким же, как и число четных чисел (и нечетных чисел, и простых чисел, и кратных миллиарду и т. д.). Сегодня это кажется очевидным, однако не было очевидным для Аристотеля и его последователей, которые считали актуальную бесконечность недопустимым научным понятием.

Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством.

Кантор также доказал, что число дробей равно этому бесконечному числу, которое он назвал алеф-нуль. Самое замечательное, что он доказал (с помощью так называемого диагонального аргумента), что существует более одного бесконечного числа.

Работа Кантора встретила значительное сопротивление, но окончательно победила и теперь почти повсеместно принята. Остается крошечное меньшинство математиков, называемых интуиционистами или конструктивистами, которые не верят, что мы действительно можем понять идею бесконечной тотальности. В двадцатом веке к ним присоединились философы, которые задались вопросом о том, можно ли понять канторовский взгляд на бесконечность. А что вы думаете по этому поводу? Ответы будем ждать здесь, а также в комментариях к этой статье.

Читайте также: