Метод координат доклад 9 класс

Обновлено: 04.07.2024

2 Содержание Разложение вектора по двум неколлинеарным. Координаты вектора. Правила действий над векторами с заданными координатами. Простейшие задачи в координатах: 1)Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. 2) Координаты середины отрезка 3) Вычисление длины вектора по его координатам. 4) Расстояние между двумя точками Уравнение окружности Уравнение прямой Задачи Заключение

3 Теорема Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам и, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Пусть а и в не коллинеарные (т.е. не являются параллельными и не 0 ) Тогда: с = х·а + у·в, где х и у некоторые числа

4 Координаты вектора у Векторы i и j называются единичными координатными векторами. Т.к. они не коллинеарные, то любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде ОА = х· i + у· j. Числа х и у называются координатами вектора ОА. Записывается: ОА х;у i х j О А 1 1 1

5 Итак: координаты вектора –это коэффициенты разложения этого вектора по ЕДИНИЧНЫМ КООРДИНАТНЫМ ВЕКТОРАМ И координаты вектора численно равны координатам точки, являющейся концом этого вектора. у х х В С 1 1 М К N О А F

6 Самостоятельно Записать координаты векторов ОА; ОВ и ОС Ответ: ОА 10;8 ОВ 0;7 ОС -4;-9

7 Правила действий над векторами с заданными координатами. Если И, то х 1 = х 2 ; у 1 = у 2 1) Равные векторы имеют равные координаты

8 Правила действий над векторами с заданными координатами. 2) Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. (стр. 221) 3) Координаты противоположных векторов противоположны. 4) Координаты разности двух векторов равны разности соответствующих координат вычитаемых векторов. (стр. 221) 5) Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. 6) Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. (стр. 221)

9 Решаем стр (а;б) 922 (а;б) 923 (а;б) 924 (а;б) 925 (а;б)

10 Вспомним 1)4i -2j 2)ОЕ по i и j 3)ОА 4) Ответы: 1)ОС 2)- 4i - 2j 3) 4)ОD х у А В F E D H C

11 Простейшие задачи в координатах 1.1. Нахождение координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. Если точка А (х 1 ;у 1 ) и В(х 2 ;у 2 ), то вектор АВ будет иметь координаты Запомним, что из координаты конца вектора вычитают координаты начала вектора

12 Доказательство y x А (x 1 ; y 1 ) B(x 2 ; y 2 ) O Дано: точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) Доказать : AB < x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 >Доказательство: AB = OB – OA B (x 2 ; y 2 )=> OB A (x 1 ; y 1 )=> OA => => AB

13 Простейшие задачи в координатах 2. Нахождение координаты середины отрезка Если точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ), то координаты (x;y) середины отрезка АВ будут равны: х = (х 1 +х 2 ):2 у = (у 1 +у 2 ):2 (Доказательство на стр.225)

14 Простейшие задачи в координатах 3. Вычисление длины вектора по его координатам. Если а , то | а | будет равна | а | = х²+у² (Доказательство на стр.226)

15 Простейшие задачи в координатах 4. Вычисление расстояния между двумя точками Если точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ), то |AB| будет равна: | AB| = (х 2 -х 1 )² +(у 2 -у 1 )² (Доказательство на стр.226)

16 Рассмотрим задачу y x А (2;3) B(3; 1) O Дано: точки А(2 ; 3) и B(3; 1) Найти : AB Решение: AB AB => AB Ответ : AB

17 Рассмотрим задачу Дано: АВСD-квадрат A (8; 8), B (5; 5). S ABCD -? Решение. S ABCD = AB² => S ABCD = AB² = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед. A BC D

18 Решаем вместе стр (1;4;6) 938 (а;б;в) 940 (в;г)

19 Самостоятельно стр Помощь: Что такое периметр треугольника? Если координаты точек есть (координаты вершин треугольника), то по какой формуле можно найти расстояние между этими точками (т.е. длину стороны треугольника)? |AB| = (х 2 -х 1 )² +(у 2 -у 1 )²

20 Уравнение окружности Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой, которая называется центром окружности Составим уравнение окружности с центром в точке С (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. Тогда СM = R. => Квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса: (x – x 0 )² + (y – y 0 )² = R², где (x 0 ; y 0 ) -координаты центра окружности (х ; y ) -координаты любой точки

21 В частности, уравнение окружности с радиусом R с центром в начале координат имеет вид: x² + y² = R²

22 Уравнение прямой Уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени: ax + by + c = 0, где коэффициенты (числа) a и b одновременно не равны нулю. Причём: Если a = 0, то прямая || Ox. Если b = 0, то прямая || Oy. Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

23 Решаем Напишите уравнение окружности с диаметром АВ, если А(-3;5) и В(7;-3) Решение точка 0 – середина отрезка АВ, значит х 0= (хА+ха):2=2 у 0=(уА+уВ):2=1 Значит центр окружности имеет координаты (2;1). Найдём радиус окружности, т.е. |ОА|= (хА-х 0)²+(уА-у 0)² = =(-5)²+(4)²=25+16=41, R = 41 Можем написать уравнение окружности: (х - 2)² + (у - 1)² = 41 А(-3;5) В(7;-3) 0

25 Продолжение решения Найдём уравнение диагонали ВD: т.к. В(-3;1) Є ВD, то -3 а+в+с=0; 3 а=в+с; а=(в+с):3 т.к. D(3;1) Є ВD, то 3 а+в+с=0; 3 а= -в-с; а= - (в+с):3, Т.е. (в+с):3 = - (в+с):3, но это возможно, когда а=0, но тогда в = -с. Подставим все в общее уравнение прямой ах+ву+с=0 и получим: 0 х – су + с = 0; с – су = 0 (поделим на с) и уравнение диагонали ВD имеет вид: 1–у =0 или у–1=0 Ответ: уравнение диагонали АС х-у=0, а диагонали ВD у-1=0

26 Окружность задана уравнением (х+5)² + (у -1)² = 16. не пользуясь чертежом, укажите какие из точек А(-2;4); В(-5;-3); С(-7;-2) и D(1;5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью Решение. Пусть d-расстояние от центра окружности до точки, тогда: 1)если d=R, то точка находится на окружности 2)если d>R, то точка будет вне круга, ограниченного данной окружностью 3)если d

27 Продолжение решения 1) d(ОА)=(-2+5)²+(4-1)²= 3²+ 3²= 18=32 4 значит т. D вне круга, ограниченного данной окружностью Ответ: на окружности точка В; внутри круга, ограниченного данной окружностью точки А и С; вне круга – точка D

28 Решаем Задача. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A (–6; 0) и B (6; 0) равна 104. Решение. x y OA B M 1)Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM² + BM² = ) 3)(x + 6)² + y² + (x – 6)² + y² = 104. => x² + y² =16. Ответ: х² + у² = 16

29 Заключение Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать eё, используя знания по алгебре.

Профиль класса: физико-математический

Тип урока – повторительно-обобщающий, 45 мин.

Закрепить понятия по теме “Метод координат”.
Развивать умение применять формулы простейших задач к решению примеров.
Воспитывать культуру корректно отвечать определения и формулы, аккуратно оформлять записи в тетрадях.

Ход урока

1.1. Взаимное приветствие учителя и учащихся

1.3. Настрой на урок.

Цель: Выяснить у ответственных учеников о готовности учащихся к уроку.

II. Проверка домашнего задания: №902; №1000а; №1044а; 1041а.

Доказать: ABC – равнобедренный, но не равносторонний.

Так как AB=AC, то ABC – равнобедренный с основанием BC.

Ответ: ABC– равнобедренный с основанием BC.

№1000.

Выяснить: Является ли это уравнение уравнением окружности, если “да”, то найти координаты центра и радиус окружности.

Решение: Так как уравнение имеет вид: (x-x₀) 2 +(y-y₀) 2 = R 2 , где (x₀;y₀) - координаты центра; R - радиус окружности,

(1;-2) - координаты центра, R 2 =25;

Ответ: R=5; (1;-2) – координаты центра данной окружности.

№1041.

№1044(а).

а) “Из истории возникновения и развития метода координат”. Приготовил: Патрашкин Егор.

Первоначально идея координат зародилась в древности в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Так, на стене одной из древнеегипетских погребальных камер была обнаружена квадратная сетка (палетка), которой пользовались для увеличения изображений

Древнегреческий астроном Клавдий Птолимей применил географические координаты для определения местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользовались в середине века для определения положения светил на небе, для определения места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения.

Применять координаты в математике впервые стали Ферма и Декарт. В 1637 году вышла книга Декарта Рассуждения о методе, в которой наряду с общими философскими рассуждениями о материи значительное место уделяется универсальной математике.

от линии к уравнению,
от геометрии к алгебре.

Заслуга Декарта состояла в том, что он ввел переменные координаты.

Так, в уравнении ах + ву = с,

буквы х и у стали рассматриваться не как неизвестные, а как переменные.

Метод координат позволяет строить графики уравнений, изображать геометрически различные зависимости, выраженные аналитически с помощью уравнений и формул, решать различные геометрические задачи с помощью алгебры. Термины абсцисса, ордината были введены в употребление Г. Лейбницем в 70, 80-е годы XVII в.

Приготовила Азанова Алена: Задача 1. Найдите координаты точки М, если М - середина АВ, А(-16;5); В(4;2).
Приготовил Иванов Георгий:Задача 2. Найдите длину отрезка АВ, если А(3;-2); В(3;0).
Приготовила Семенова Марина: Задача 3. Найдите длину отрезка АВ, если А(3;-2); В(3;0).

Выполнил Путрин Антон:

Дан треугольник ABC, где M – середина отрезка AB. Найти координаты M, если A(3;5), а B(3;8).

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую.

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведены прямые AC и BD₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD₁. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D₁ = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD₁ = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD₁ = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB₁ и AC₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA₁, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB₁. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B₁ = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC₁. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C₁ иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение A₁BC₁. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A₁, B и C₁, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C₁ = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AA₁C₁C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A₁ и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x_a; y_a; z_a) и B = (x_b; y_b; z_b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A₁B₁C₁D₁.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A₁L = C₁L, т.е. точка L — это середина отрезка A₁C₁. Но A₁ = (0; 0; 1), C₁ = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Цель урока Подготовка к контрольной работе. Повторение и систематизация ваши знаний и умений по использованию метода координат в решении геометрических задач.

Математический диктант Теоретический вопрос Ответ Разложение вектора по координатным векторам. 2. Связь координат вектора с его разложением по координатным векторам 3. Правила нахождения координат суммы двух векторов. 4. Правила нахождения координат разности двух векторов. 5.Правило нахождения произведения вектора на число. 6. Формула координат вектора через координаты его начала и конца. 7. Координаты середины отрезка находим по формуле 8. Как вычислить длину вектора по его координатам? 9. Расстояние между двумя точками находим по формуле 10. Уравнение окружности 11. Каноническое уравнение прямой на плоскости а < х;у >а = х ∙ i + у∙ j

Применение метода координат к решению задач 6 5 4 1 2 3

Карта- схема с. Аладьино

Тест Вариант 1. 1. Если М(-3;4), N(-1;-5), то вектор MN имеет координаты н ) ; о) ; п ) . 2. Если a , b , c = -2 a + b , то вектор c будет иметь координаты: а) ; б) ; в) . 3. Если О – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD, А(3;-7), С(-5;-1), то: б ) О (4;-3); в) О (-1;-4 ); г ) О (-4;3). 4. Если координаты вектора a равны ( 6; – 8), то его длина : и) | a | = 2; к) | a | = 14 ; л) | a | = 10. 5. Если окружность задана уравнением ( х + 1) 2 + (у – 2) 2 = 16, то координаты центра и радиус окружности: о) (-1; 2), r = 4; п ) (1; -2), r = 16; р ) (-1; 2), r = 16; 6. Принадлежит ли окружности, заданной уравнением х 2 + (у – 1) 2 = 4, точка: в) А (2;1); г ) В (0;3); д ) С (5;0). Вариант 2. 1. Если А (2;-5), В (-4;-2), то вектор AB имеет координаты: д ) ; е) ; ж) . 2. Если a , b , c = -3 a + b , то вектор c будет иметь координаты: г) ; д ) ; е) . 3. Если АМ – медиана треугольника АВС, В(2;-5), С(-6;3), то: к) М(-2;-1); л) М(4;-4); м) М(-4;4). 4. Если координаты вектора a равны ( -3; 4), то его длина : я) | a | = 1; а) | a | = 5; б) | a | =7. 5. Если окружность задана уравнением ( х – 2) 2 + (у + 3) 2 = 25, то координаты центра и радиус окружности: о ) (-2;-3), r = 25; п ) (-2;3), r = 5; р ) (2;-3), r = 5. 6. Принадлежит ли окружности, заданной уравнением х 2 + (у - 2) 2 = 4, точка: с) А (7;-3); т) В (2;2); у) С (3;1)

Ключи к тесту 1 2 3 4 5 6 1 вариант П а в л о в 2 вариант Д е к а р т

Иван П етр ови ч Павлов Павлов И.П. (1849 – 1936) - великий русский учёный-физиолог , один из авторитетнейших учёных России. Изучите азы науки, прежде чем взойти на её вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущего. И.П. Павлов

Рефлексия Помог ли урок привести в систему ваши знания? Пополнился ли ваш багаж новыми математическими и практическими знаниями и умениями? Получили ли вы удовольствие, общаясь с одноклассниками? Что нового сегодня на уроке вы узнали? Оцените в баллах вашу работу.

Читайте также: