Доклад синус и косинус

Обновлено: 06.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Виды тригонометрических функций в тригонометрии

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе. Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число.

Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией .

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций разнообразны.

Например, любые процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Данные функции появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M ( x , y ). Угол между радиус-вектором OM и направлением оси Ox равен a .

Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M (x, y) к радиусу r: sin α = y/r. Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M (x ,y).

Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M (x,y) к радиусу r: cos α = x/r = x.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки

M (x, y) к ee абсциссе x: tg α = y/x, x ≠ 0.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки

M (x, y) к ее ординате y: ctg α = x/y, y ≠ 0.

В единичном круге x, y точки M (x, y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:

-Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

-Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

-Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

-Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

К тригонометрическим функциям относятся, во-первых, прямые тригонометрические функции:

синус ( sin x ),

косинус ( cos x );

во-вторых, противоположные им тригонометрические функции:

секанс ( sec x )

косеканс ( cosec x );

и, в-третьих, производные тригонометрические функции:

тангенс ( tg x ),

котангенс ( ctg x ).

Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x. Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0. Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z. Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z. Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Решим уравнение: a) sin x = 1/2

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда

Скажем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения:

где k ∈ Z.

Геометрия - одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования. Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применяются как при решении математических задач, так и в жизни. Больше всего меня заинтересовали теоремы синусов и косинусов, которые применяются при решении произвольных треугольников. Цель данного реферата - уметь доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решении задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, знать, где данные теоремы применяются в жизни.

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.

Виды треугольников :

· Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

· Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

· Треугольник называется прямоугольным , если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой , две другие стороны называются катетами .

· Треугольник называется остроугольным , если все три его угла – острые, то есть меньше 90°

· Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов – тупой, то есть больше 90°.

Бермудский Треугольник - широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико. Площадь Бермудского треугольника составляет свыше одного миллиона квадратных километров. Рельеф дна в этой акватории хорошо изучен. На шельфе, который составляет значительную часть этого дна, было проведено множество бурений с целью отыскать нефть и другие полезные ископаемые. Течение, температура воды в разное время года, ее соленость и движение воздушных масс над океаном - все эти природные данные занесены во все специальные каталоги. Этот район не особенно сильно отличается от других похожих географических мест. И, тем не менее, именно в районе Бермудского треугольника загадочно исчезали суда, а затем и самолеты.

Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана и объясняются естественными причинами.Морские и воздушные суда погибают и в других районах земного шара, иногда бесследно. Неисправность радио или внезапность катастрофы может помешать экипажу передать сигнал бедствия. Поиск обломков в море — непростая задача, особенно в шторм или когда место катастрофы точно неизвестно. Если учесть очень оживлённое движение в районе бермудского треугольника, частые циклоны и штормы, большое количество отмелей, количество случившихся здесь катастроф, которые так и не получили объяснения, не является необычно большим.

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуресредних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

Общие сведения о тригонометрических функциях

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Длительную историю имеет понятие синус . Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)). Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернуллив письме к Леонарду Эйлеру, который и стал употреблять их в своих математических работах. Эйлер ввел также обозначения для функций угла х: tg x , ct g x , sec x , cosec x .

· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).

· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).

· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).

· Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB) .

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
N/A	N/A
N/A	N/A	N/A

Значения косинуса и синуса на окружности.

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Формулы приведения:

sin(180° - α) = sinα

cos(180° - α) = - cosα

Чётность и нечетность функций.

Чётная функция - функция y = f ( x ) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f (- x ) = f ( x )

Нечётная функция - функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(- x) = - f( x)

Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:

Теоремы

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

S = ½ ab sin C

Дано:

∆ АВС, АВ= с, ВС = a , СА = b , h - высота

Доказать:

S = ½ absinC

Доказательство:

Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх , а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah , где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А , т.е. h = b sinC (т.к. sinC = h / b ) => S = ½ absinC

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Дано:

∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать :

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Доказательство:

По теореме о площади треугольника S= ½ absinC, S = ½ bcsinA, S= ½ acsinB.

Из первых двух равенств получаем ½ absinC = ½ bcsinA,

½ ab sinC = ½ bc sinA │ : ½ b

a sinC = c sinA │: sinA sinC

Точно также из второго и третьего равенства получаем

½ bc sinA = ½ ac sinB │: ½ c

b sinA = a sinB │: sinA sinB

Таккакa/sinA = c/sinC иb/sinB = a/sinA, тоa/sinA= b/sinB= c/sinC.

Замечание:

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего

угла равно диаметру описанной окружности.

a/sinA= b/sinB= c/sinC= 2R

Дано:

R – радиус описанной окружности, ВС = a, BA1 - диаметр

Доказать:

BC/sinA = 2R (BC=2RsinA)

Доказательство:

Проведем диаметр ВА1. Рассмотрим ∆А1ВС, ∟С - прямоугольный => ВС=ВА1×sinA1. Если т.А1 лежит на дуге ВАС, то ∟А1=∟А, если на дуге BDC, то ∟A1= 180° - ∟A. И в том, и в другом случае sinA1 = sinA => BC= BA1*sinA, BC= 2RsinAили BC/sinA= 2R.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα .

Дано:
∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα

Доказательство:

Введем систему координат с началом в точке А. Точка В имеет координаты (с; 0), а точка С(bcosA; bsinA). По формуле расстояния между двумя точками d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2получаем:

ВС 2 = a 2 = (b cosA – c) 2 +(bsinА- 0) 2 ,

a 2 = b 2 cos2A - 2bc cosA + c 2 + b 2 sin 2 A,

a 2 = b 2 (cos2A + sin2A) + c 2 - 2bc cosA,

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cosA.

Обобщенная теорема Пифагора.

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС ∟А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα получаем:

a 2 = b 2 + c 2 ,

т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.

Задачи

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано :

a = 7 см, b = 23cм, ∟ C = 130°

Найти: с , ∟ А, ∟ В

Решение :

c 2 = a 2 + b 2 − 2bc cosC

cos A = b 2 + c 2 − a 2 / 2bc

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

Дано:

а= 20 см, ∟ А= 75°, ∟ В= 60°

Найти: ∟ C , b , c

Решение:

a /sin A = b /sin B = c /sin C

b = a × (sin B / sin A )

c = a × (sin C / sin A )

Решение треугольника по трем сторонам.

Дано:

а= 7 см, b =2 см, с =8 см

Найти: ∟ А, ∟ В, ∟ С.

Решение:

∟ С = 180° - (54° + 13°) = 113°

№4

Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и измерим ∟АВН=a. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = а tg a.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: ∟АВН =a, ∟АСВ = b, ∟ВАС = a –b.Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов находим АВ: АВ = asinb/ sin (a –b). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:

АН = АВ sin a= a sina sinb / sin ( a –b).

№5

Измерение расстояния до недоступной точки (измерение ширины реки).

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В: ∟А= a и ∟В = b. Эти данные, т.е. с , a и b, позволяют решить ∆АВС и найти искомое расстояние d=AC.

Находим ∟С и sinC : ∟С= 180°- a –b, sin C= sin(180°- a –b) = sin(a+b).

Так как d/sinb = c/sinC, то d = csinb/ sin(a+b).

В данном реферате были выполнены все поставленные задачи: узнали более подробную информацию о тригонометрических функциях; привели доказательства теорем косинусов и синусов, а также теоремы о площади треугольников, применили их в решении задач на нахождение неизвестных элементов треугольника, узнали, как используются данные теоремы при проведении измерительных работ на местности. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.

1. Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс – 12-е изд.-М.: Просвещение, 2002г., стр.157-159, 256-261

3. Берманд А. Ф. Тригонометрия, 1967г., стр.4-6

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9 класс – 13-е изд.-М.: Просвещение, 2006г., стр.112-114

Геометрия – одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применяются как при решении математических задач, так и в жизни.
Цель данной работы – изучить историю теорем о косинусах и синусах.

Содержание

1) Введение
2) История тригонометрии
3) Теоремы и доказательства
4) Заключение
5) Список литературы

Вложенные файлы: 1 файл

презентация.pptx

теорем о синусах и косинусах

Выполнил студент гр. Тв-24

1) Введение
2) История тригонометрии
3) Теоремы и доказательства
4) Заключение
5) Список литературы

Цель данной работы – изучить историю теорем о косинусах и синусах.

Греческий математик Клавдий Птолемей также внес большой вклад в развитие тригонометрии.

Термин "тригонометрия" ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.
Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге.

Термины "синус" и "косинус" пришли от индийцев. Полухорду индийцы называли "ардхаджива" (в переводе с санскрита — "половина тетивы лука"), а потом сократили это слово до "джива". Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как "джиба", а затем оно превратилось в "джайб", что на арабском языке означает "выпуклость", "пазуха". Наконец, в 7 в. "джайб" буквально перевели на латынь словом "sinus", которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское "котиджива" — синус остатка (до 90°), а на латинском — sinus complementi, т. е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова "косинус". Наименования "тангенс" и "секанс" (в переводе с латинского означающие "касательная" и "секущая") введены в 1583 немецким ученым Финком.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Синус и косинус

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin и cos были впервые введены в 1739 г. швейцарским математиком Иоганном Бернулли в письме к Леонарду Эйлеру.

Определение синуса и косинуса

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Стороны треугольника пропорциональны синусам против оположных углов

Доказательство теоремы синусов

Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем что:
a/Sin(a) = b/Sin(B) = c/Sin(C)
По теореме о площади треугольника:
S = 1/2*ab*Sin(C), S = 1/2*bc*Sin(A), S = 1/2*ca*Sin(B)
из первых двух равенств получаем
1/2*ab*Sin(C) = 1/2*bc*Sin(A), откуда
a/Sin(A) = c/ Sin(C). Точно также из второго и третьего равенств получаем: a/Sin(A) = b/ Sin(B). Итак:
a/Sin(a) = b/Sin(B) = c/Sin(C)
Теорема доказана.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство теоремы косинусов

Одно из самых красивых и простых доказательств теорем ы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.
Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С.С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:

Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от - ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α - это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , - 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота α ". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности - точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α - это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Первоначально, на заре своего становления, тригонометрия не являлась самостоятельным разделом математики. Она, скорее, была частью астрономии. Дело всё в том, что древним астрономам, которые интересовались нашими главными небесными телами (Луной и Солнцем) и вовсю изучали их поведение, постоянно приходилось просчитывать и расстояния до них. С достаточной точностью для того далёкого времени, между прочим.) Скажем, чтобы предсказывать затмения. Или приливы/отливы. Просчитывать эти самые расстояния древним людям приходилось с помощью обыкновенного… треугольника.) Да-да! Просчитывать — значит, искать какие-то неизвестные элементы треугольника по известным другим. Это могут быть стороны (т.е. расстояния), а могут быть и какие-то углы. Всё зависело от того, какую именно задачу решали древние люди. И тот факт, что между сторонами и углами треугольника существует взаимосвязь, уже тогда у древних людей не вызывал сомнений.

Чуть позже, по мере развития цивилизации, большинство учёных стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика, навигация в дальних морских походах, геодезия и картография… Слово "триангуляция" (разбиение местности на треугольники) вам знакомо? Нет? А тригонометрическая вышка или тригонометрический знак? Тоже нет? Что ж, если попутешествуете по нашей необъятной Родине, то на открытых местах (на вершинах холмов, в полях и т.п.) вы можете заметить небольшие пирамидки или башенки. Эти пирамидки — и есть тригонометрические знаки. Или геодезические пункты. Они служили верой и правдой геодезистам и картографам тех далёких времён для составления карт местности.) Этих знаков сохранилось по России очень много.)

Короче, в любых областях, где приходилось сталкиваться с обычным треугольником и вычислением его элементов (сторон и углов) через другие его элементы, людям неизбежно приходилось сталкиваться с тригонометрией.

А дальше — теория колебаний, электричество, акустика, радиосвязь… И в основе всего этого богатства — тоже тригонометрия, да…)

И не было бы у нас сегодня ни мобильников, ни телевизоров, ни микроволновок, ни спутниковых навигаторов, ни многих других современных атрибутов комфортной жизни, кажущихся нам обыденностью…

Итак, в основе всей тригонометрии лежит обыкновенный треугольник! Да-да! Именно так.

Почему именно треугольник и откуда собственно взялось это красивое слово "тригонометрия" — об этом далее.)

Синус, косинус, тангенс и котангенс… Что за звери?

Для начала нарисуем в тетрадке самый обычный прямоугольный треугольник. Стороны его обозначим как a, b и c, а один из острых углов обозначим буквой α . Это греческая буква "альфа", при написании очень похожая на "двойку без головы". Самая распространённая буква в тригонометрии для обозначения углов. Привыкаем.)

Вот такая картинка у нас получится:

На всякий случай, напомню, что стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b — катеты), а третья сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (c — гипотенуза).

Казалось бы, треугольник и треугольник, эка невидаль! Что с ним делать-то? Спокойствие. Сейчас всё узнаете.)

Сейчас, как и древние люди, мы будем наш треугольник измерять. Да-да! Кстати, страшное слово "тригонометрия" с древнегреческого языка на русский так и переводится — измерение треугольников. Намёк понятен?)

Вот и измеряем. На рисунке специально клеточки нарисованы, как и в заданиях ЕГЭ или ОГЭ бывает. Чему равен катет a? Трём клеточкам (a = 3). А катет b? Не вопрос! Четырём клеточкам он равен (b = 4). А гипотенуза? Гипотенузу, конечно, по клеточкам не посчитаешь, но, воспользовавшись великой и могучей теоремой Пифагора, легко можно получить, что гипотенуза равна пяти (c = 5).

Кстати сказать, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 — весьма интересная фигура! Он известен ещё с античных времён и называется египетским треугольником. Ибо активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами. В том числе и при построении пирамид, между прочим.)

А вообще, целые числа a, b, c, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, т.е. для которых выполняется теорема Пифагора

в математике так и называются — пифагоровыми тройками . Тройка (3; 4; 5) — самая известная. Ещё распространена тройка чисел (5; 12; 13). Или (8; 15; 17). Таких троек известно очень и очень много. Кому интересно, прогуляйтесь по ссылке и почитайте. Для самообразования.)

А мы продолжим. Теперь сделаем следующее. Поделим длину катета a на длину катета b. Или, как принято говорить в математике, возьмём отношение a к b.

Можно наоборот, поделить b на a. Получим 4/3. Или, скажем, поделить a на c. Получим 3/5. Иными словами, можно брать любые стороны прямоугольного треугольника, делить их длины друг на друга и получать какие-то числа. Безразмерные.

И что из этого? Согласен, пока ничего особенного. Бессмысленное занятие, одним словом.)

А теперь я поступлю следующим образом. Увеличу треугольник, продлив стороны b и c, но не как попало, а так, чтобы наш треугольник остался прямоугольным. Это важно. На картинке я для удобства увеличил все стороны треугольника в два раза.

Угол α , как видно, остался прежним. Старые стороны a, b и с превратились в новые стороны x, y, z. Их длины, естественно, изменились, увеличившись вдвое:

А вот отношения новых длин сторон — не изменились!

Стало: x/y = 6/8 = 3/4.

И для других соответствующих сторон их отношения также не изменятся. Можно что угодно делать с треугольником — увеличивать, уменьшать, сохраняя при этом угол α , а отношения соответствующих сторон всё равно останутся прежними. Кому интересно, можете попробовать и проверить. Это полезно.)

А вот это уже крайне важно! Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике никак не зависят от длин этих самых сторон при одном и том же угле α . Этот факт настолько важен, что указанные отношения сторон даже заслужили свои специальные названия. Ну что, знакомимся? :)

Синус угла α - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус угла α - это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс угла α - это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенс угла α - это отношение прилежащего катета к противолежащему:

Вот такая вот весёлая семейка. Возможно, особо внимательные и любознательные ученики заметили, что я ничего не сказал здесь про отношения гипотенузы к катетам c/a и с/b. Они имеют какие-то свои специальные названия? Конечно! Секанс и косеканс.)

Но эти соотношения никакого практического смысла не имеют и в школе не рассматриваются. И мы тоже не будем.)

Вся эта великолепная четвёрка (синус, косинус, тангенс и котангенс) называется тригонометрическими функциями.

Зачем я всё это так занудно повторяю и некоторые слова выделяю жирным шрифтом? Да затем, что это надо запомнить! Причём запомнить железно. Улавливаете?

Процесс запоминания можно существенно облегчить, если для начала запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется. Кроме того, ещё могут нахлынуть сомнения, какой из катетов, противолежащий или прилежащий, сидит соответственно у синуса/косинуса. Да и у тангенса/котангенса тоже. Здесь работает принцип под условным названием "дальше/ближе".

Например: синус угла — это отношения дальнего от угла (т.е. противолежащего) катета к гипотенузе, а косинус — отношение ближнего (т.е. прилежащего) катета к гипотенузе.

Тангенс — отношение дальнего от угла катета к ближнему. А котангенс — наоборот.

Подведём предварительный итог. Как вы видите, всё просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс — это просто какие-то числа. Безразмерные. Ни больше ни меньше. Для каждого конкретного угла — свои персональные.

А теперь давайте поразмышляем вот над чем. Как вы думаете, почему мы всегда говорим синус, косинус, тангенс и котангенс угла? Вроде бы мы отношения сторон считаем. Угол-то тут при чём? Догадались? Если нет, то тогда смотрим на следующую картинку:

Что здесь нового? Я изменил (увеличил) угол с α до β ("бета"). При этом все отношения сторон стали другими!

Скажем, было a/b = 3/4, а стало m/b = 5/4. И все остальные отношения сторон также поменялись. Какой вывод можно сделать? Да! При одном и том же угле α отношения длин сторон никак не зависят от их длин. Но при этом колоссально зависят от этого самого угла! И только от него. Именно поэтому тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к углу. И говорить, скажем, о тангенсе, без конкретного угла — бессмысленно. Угол — ключевая действующая фигура в тригонометрии.

Отсюда можно сделать важный вывод: если нам известен некий угол, то мы автоматически знаем и все его тригонометрические функции. Это неразрывная связь, которую надо уяснить железно.

Стало быть, если нам дан угол, то считается, что все его тригонометрические функции нам тоже известны. Полностью весь комплект, от синуса до котангенса. И наоборот, если нам дана какая-то из тригонометрических функций угла (скажем, косинус), то автоматически нам известен и сам угол.

Запоминаем: если нам известен угол, то нам автоматически известны и ВСЕ его тригонометрические функции. И наоборот — известна какая-то из тригонометрических функций (хотя бы одна), то известен и сам угол.

У каждого угла есть свои персональные синус и косинус. И почти у каждого — свои тангенс и котангенс.

Слово "почти" для тангенса и котангенса стоит не случайно. Об этом узнаете дальше.)

Сейчас, в век калькуляторов и компьютеров, найти тригонометрическую функцию какого-либо угла — не проблема. И наоборот, по функции найти угол. Нажал нужную кнопочку и — ответ готов.) А вот раньше, во времена отсутствия вычислительной техники, для тригонометрических функций углов существовали свои специальные таблицы. Таблицы Брадиса назывались. Они, конечно же, существуют и поныне, но, благодаря техническому прогрессу, давно отошли на задний план и пылятся на полках. Но знать об их существовании и уметь ими пользоваться — очень и очень полезно.

Конечно же, запомнить все-все значения тригонометрических функций всех-всех углов нереально. И не нужно.) Но среди всего многообразия углов есть некоторые углы, про которые вы обязаны знать всё. Об этом в следующих уроках будет. Но общий принцип "знаю угол — знаю его тригонометрические функции" срабатывает всегда! Безотказно.)

А зачем нам вообще нужны все эти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы — спросите вы? Вопрос резонный.

Пожалуйста! Вот вам типичная задачка из ЕГЭ:

Всё. Никаких данных, кроме тех, что на картинке, больше нет. Нужно найти длину катета AB.

Что делать будем? Клеточки не спасают: треугольник как-то неправильно ориентирован. Специально, похоже.) Известна длина гипотенузы (6 клеток). Зачем-то дан ещё и угол…

Вот тут самое время вспомнить про тригонометрию. Раз нам дан угол, то вспоминаем заклинание: "знаю угол — знаю и его тригонометрические функции!" И какую же из функций в дело пускать? А что нам дано в задачке? Нам дана гипотенуза AB, дан угол А, а найти просят прилежащий к этому углу катет.

Понятное дело, что надо косинус в дело пускать. Вот и действуем. Прямо по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе) пишем:

Гипотенуза AC равна 6 клеток, угол А у нас 60 градусов. Про этот угол известно, что его косинус равен 1/2. Это одно из тех значений, которое ученик знать обязан. Безо всяких таблиц и безо всяких калькуляторов!

Подставляем наши данные и получаем:

Простенькое линейное уравнение с величиной АВ в качестве неизвестного. Решаем и получаем:

Что и является верным ответом.

В этой задачке нам, конечно, пришлось вспомнить, чему равен косинус угла в 60 градусов. Для знающих учеников никаких проблем. А вот у новичков, ещё не знакомых с тригонометрическими функциями популярных углов, пока остаются вопросы… Откуда и почему именно 1/2? А не 1? Или, может быть, 2/3…

Ответы на эти вопросы будут позже. В соответствующем уроке.)

Ещё из той же оперы, ближе к нашей теме. Уже чисто на определение и понимание смысла тригонометрических функций. Никаких конкретных табличных значений знать не требуется.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Внушает? Вспоминаем определение тангенса — отношение противолежащего катета к прилежащему. Но… где здесь катеты? Дан просто угол, а для тангенса нам позарез нужен прямоугольный треугольник. Где его взять?!

Не беда! Раз надо, значит… сделаем!) Привяжем наш угол к некоторому прямоугольному треугольнику, про который мы точно знаем всё что нам нужно. А именно — катеты. Первое что напрашивается — опустить перпендикуляр из точки А на сторону ОВ.

Ну и как? Осеняет? Вот вам и прямоугольный треугольник и катеты! Противолежащий катет AH = 2, а прилежащий OH = 4.

Прямо по определению тангенса записываем и считаем:

И все дела.) Это правильный ответ.

А теперь задачка для самостоятельного решения.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите все тригонометрические функции этого угла.

Что, круто, да? Да-да, надо найти полный набор функций — от синуса до котангенса включительно. Тренироваться так тренироваться.)

Но где здесь прямоугольный треугольник? Нету его! Да и угол как-то совсем уж скверно расположен. Ни одну из сторон напрямую по клеточкам не посчитать, да…

Что ж, подскажу немного, что именно надо дополнительно построить, чтобы не надорваться. Снова, как и в предыдущей задаче, опускаем перпендикуляр из точки А на сторону OB. Получим прямоугольный треугольник AHO.

А теперь внимание! Клеточки, конечно, дело хорошее, удобное и красивое. Но… Кто гарантировал, что основание перпендикуляра (точка Н) уляжется ровно на середину отрезка OB (т.е. строго в один из узлов сетки)? Интуиция? Интуиция в математике — штука опасная. Особенно при рисовании картинок, да…

Поэтому, прежде чем что-то решать, что-то считать, делаем задание по элементарной геометрии. На доказательство. А именно — докажите, что отрезок AH, проведённый так, как показано на картинке, действительно будет перпендикулярен отрезку OB. Или, что то же самое, треугольник AHO — действительно прямоугольный. И да помогут вам вспомогательные синие пунктирные линии и теорема Пифагора (это подсказка)! Ну и клеточки спасут, само собой.:)

Без доказательства этого важного факта и без прямоугольного треугольника говорить о каких-либо тригонометрических функциях бессмысленно. Пока что… Придёт время — и мы с вами научимся считать любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника. Вообще. Как? Совсем скоро узнаете. Всему своё время.)

А пока — доказываем перпендикулярность отрезков, а затем считаем синус, косинус, тангенс и котангенс угла. После доказательства все необходимые данные для расчёта тригонометрических функций у вас уже будут. Обязательно.)

Ответы (в беспорядке):

А где какая функция — это уж вы сами как-нибудь.)

Итак, вот мы с вами и освоили синус, косинус, тангенс и котангенс на самом примитивном уровне. С помощью обычного прямоугольного треугольника. Но это пока только первый шаг.

Когда древние люди поняли, что у каждого угла имеется свой набор тригонометрических функций, они озадачились вполне логичным вопросом — а не связаны ли как-нибудь синус, косинус, тангенс и котангенс между собой? Чтобы, зная какую-то одну из функций, можно было бы отыскать и все остальные? Не вычисляя сам угол.

Читайте также: