Метод исчерпывания евдокса и интегральные методы архимеда доклад

Обновлено: 05.07.2024

Интегральное исчисление появилось во времена античного периода развития математической науки и началось с метода исчерпывания, который был разработан математиками Древней Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. По этим правилам по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед.

Содержание работы

Файлы: 1 файл

Интеграл Исчислеие.doc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.А. БУНИНА

КАФЕДРА математического анализа и элементарной математики

студентки группы М-33 (заочное отделение)

Мягкого Евгения Алексеевича

канд. пед. наук, доцент

§ 1. Происхождение понятия определенного интеграла.

§ 2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

§3. От Кавальери до Ньютона и Лейбница.

Понятие неопределенного интеграла.

§ 6. Приближенное вычисление интегралов. Формула Симпсона.

§ 7. Интегральное исчисление в трудах Эйлера и других ученых XVIII—XIX вв.

Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического анализа. Интегральным исчислением называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Цель курсовой работы – проследить историю развития интегрального исчисления.

§ 1. Происхождение понятия определенного интеграла

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объемы произвольных тел. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учеными предвосхищена гораздо в большей мере, чем идея дифференциального исчисления. Мы уже говорили о методе исчерпывания Евдокса. Ниже пойдет речь о формировании понятия интеграла в XVII в. и о его дальнейшем развитии. Об интеграционных методах Архимеда рассказано в § 18. Чтобы дать общий обзор проблемы об интегральном исчислении, начнем с постановки вопроса.

Пусть требуется найти площадь S криволинейной фигуры A'C'B'D' (рис. 1). Отнесем ее к декартовой прямоугольной системе координат ХОУ и опустим из крайних точек А' и В' (имеющих наименьшую и наибольшую абсциссы) нашей фигуры перпендикуляры А'А и В'В на ось ОХ. Площадь S представится тогда как разность между площадью Si фигуры АА'С'В'В и площадью S₂ фигуры AA'D'B'B. Отсюда ясно, что задачу вычисления площади произвольной фигуры можно свести к задаче вычисления площади фигуры вроде АА'С'В'В, ограниченной дугой некоторой кривой, двумя ординатами А'А и В'В и отрезком АВ оси абсцисс, заключенным между этими ординатами. Такую фигуру принято называть криволинейной трапецией.

Итак, пусть требуется найти площадь S криволинейной трапеции ABCD (рис. 2), где DC — дуга линии y=f(x). Для этого разделим точками основание АВ нашей трапеции на п (вообще неравных) частей:

Длины участков x_i—х₀, х₂—х₁ . . . , х_п—x_n-1 обозначим через ∆x₁, ∆x₂, . , ∆х_п. Проведя ординаты, соответствующие точкам деления, мы разбиваем трапецию на п полосок с основаниями ∆x₁, ∆x₂, . , ∆x_k, ∆x_k+1, . , ∆х_п. Заменяя каждую полосу некоторым прямоугольником, в котором основанием служит основание соответствующей полосы, а высотой — одна из ординат (допустим, левая) полосы, мы как бы заменяем нашу фигуру ABCD другой, ступенчатой фигурой Т, площадь которой равна сумме S_n площадей построенных п прямоугольников. Площадь каждого из последних равна произведению высоты на основание, т. е. f(x_k)∆x_k, или y_k∆x_k, где k=1, 2, . , п. Итак,

Формула (1) или (2) дает лишь приближенную площадь криволинейной трапеции, но с неограниченным увеличением числа п, т. е. с неограниченным убыванием длин участков ∆x_k, ступенчатая фигура Т неограниченно приближается к фигуре ABCD, и мы можем достигнуть любой степени приближения. Поэтому точное значение S мы получим как предел суммы S_n, когда наибольшая из длин ∆x_k стремится к нулю. Этот предел и называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается символом

или . Символ был введен Лейбницем. В нем знак ò представляет как бы удлиненную букву S (первая в латинском слове Summa — сумма); ydx напоминает структуру слагаемых суммы.

К понятию определенного интеграла приводят и другие задачи геометрии, механики и физики, в которых требуется найти предел так называемой интегральной суммы, т. е. выражения

Здесь x_i — произвольная точка на участке ∆х. Итак,

Последнее обозначение для определенного интеграла ввел Ж. Фурье. Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интеграла. Если функция f(х), называемая подынтегральной, непрерывна, то предел, о котором идет речь, существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [а, b] на участки ∆х_i, ни от выбора на них точек x_i. Функцию f

§ 2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери

Мы уже знаем, что Архимед в некоторых своих работах вычислял площади фигур и объемы тел, вписывая и описывая около них ступенчатые фигуры и вводя по существу понятие верхних и нижних интегральных сумм, о котором шла речь в предыдущей беседе. Однако Архимед еще не выделял и ясно не применял общие понятия предела и интеграла, уже не говоря о том, что он решал каждую задачу отдельно, не владея общим алгорифмом, созданным лишь 2000 лет спустя. Для дальнейшего развития зачаточных интеграционных методов Архимеда необходимо было предварительно создать и развить новую алгебру с ее символикой, ввести понятия переменных, функции и т. д.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда, увенчавшиеся успехом, были предприняты в XVII в., когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой — все более интенсивно развивались экономика, естествознание и техника, требовавшие более общих и мощных математических методов изучения и вычисления величин.

где а — длина инциденты, т. е. расстояние между двумя крайними прямыми, параллельными регуле.

Доказательство он дал лишь для n=1, 2, . . . , 9.

Это был крупный сдвиг 2 по сравнению с результатами Кеплера. Вообще, в отличие от Кеплера, занимавшегося лишь практическими, конкретными задачами вычисления площадей (так называемыми квадратурами) и вычислением объемов (кубатурами), Кавальери интересовала главным образом общая постановка и систематическая трактовка проблемы в целом независимо от практических применений своих результатов к тем или иным частным квадратурам и кубатурам.

Несмотря на то, что труды Кавальери сыграли большую роль в создании исчисления бесконечно малых, в них было много пробелов и недостатков, среди которых следует упомянуть в первую очередь отсутствие алгебраической символики, громоздкость и искусственность приемов, молчаливое требование, чтобы соответствующие неделимые сравниваемых фигур находились на одинаковом расстоянии друг от друга, что на современном языке означает обязательное разделение интервала интегрирования на равные между собой части, рассмотрение лишь суммы значений функции у без учета независимой переменной и ее приращения dx и т. п.

Дело Кавальери продолжали другие видные ученые XVII в.

§3. От Кавальери до Ньютона и Лейбница

Среди последователей Кавальери самыми видными учеными, подготавливавшими в XVII в. создание интегрального и дифференциального исчисления, завершенное Ньютоном и Лейбницем, были Дж. Валлис, П. Ферма и Б. Паскаль.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

Реферат

Великие математики древности: Пифагор, Евдокс, Архимед

Выполнил

Петрусевич Николай Николаевич

Брест 2010

О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде, на юго-западе Малой Азии.

Учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.

Евдокс Книдский известен прежде всего как математик и астроном, но кроме того он писал книги по философии, географии, музыке и медицине. О жизни Евдокса известно следующее. В молодости он изучал математику у Архита в Таренте и медицину у Филистиона в Сицилии. 23-х лет он прибыл в Афины и, будучи очень бедным, поселился в гавани Пирея, откуда ежедневно ходил пешком в платоновскую Академию и обратно. Позднее при содействии друзей, он совершил путешествие в Египет, где набирался астрономических знаний у жрецов Гелиопля. Вернувшись в Грецию, он основал собственную школу в Кизике (на берегу Мраморного моря).

По своим философским взглядам Евдокс в ряде вопросов примыкал к Платону. Он признавал теорию идей, но в отличие от Платона полагал, что идеи как-то "примешиваются" к чувственно воспринимаемым предметам. Евдокс бесспорно был великим математиком. Развивая достижения Архита и Теэтета в области теории пропорций, он построил общую теорию отношений, основанную на новом определении величины. Если раньше теоремы теории отношений приходилось доказывать отдельно для чисел, отрезков и площадей, то понятие величины, введенное Евдоксом, включало в себя как числа, так и любые непрерывные величины. Другим важнейшим вкладом Евдокса в математику была разработка так называемого "метода исчерпывания", заложившего основы теории пределов и подготовившего почву для дальнейшего развития математического анализа. Для истории астрономии значения Евдокса было, пожалуй, еще более значительным. Фактически его можно считать создателем античной теоретической астрономии как самостоятельной науки. Евдокс был не только теоретиком, но и первоклассным астрономом-наблюдателем. При своей школе в Кизике он организовал первую греческую обсерваторию, где его ученики вели систематические наблюдения за небесными светилами. Он дал детальное описание созвездий, видимых на широте Греции, составил каталог звездного неба. Получив широкую известность, Евдокс еще раз побывал в Афинах, где беседовал с Платоном на философские темы. Умер он 53-х лет отроду на своей родине, Книде.

Общая теория отношений

Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V).

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство: отношения a:b и c:d равны, если для любых натуральных m, n выполняется одно из трёх соотношений:

либо ma nb и mc > nd.

В современной формулировке, это означает, что между a:b и c:d нельзя вставить рациональное число.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a, b; дробь m/n отнесём к классу A, если ma > nb, иначе — к классу B. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b:a с этим дедекиндовым числом.

Отметим, однако, что у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение Q определяет вещественное число.

Метод исчерпывания

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.)

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист.

Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с Самоса. Мнесарх был камнерезом (Диоген Лаэртский); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора.[2] Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV века до н. э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н. э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н. э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н. э. Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду, то есть в 532—529 гг. до н. э. Эти сведения хорошо согласуются с Порфирием, но полностью противоречат легенде самого Ямвлиха (вернее, одного из его источников) о вавилонском пленении Пифагора. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался по легендам восточной мудрости. Диоген Лаэртский цитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере, что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков.

Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей. Ямвлих сообщает:

Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только оккультная философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету. Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя и основателя. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя во времена Цицерона (I в. до н. э.) в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора.

У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь.

По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн. Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н. э.), говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по неназванным другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н. э. (или 480 до н. э., что маловероятно). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора.

Разгром пифагорейского союза

Среди последователей и учеников Пифагора оказалось немало представителей знати, которые пытались изменить законы в своих городах в соответствии с пифагорейским учением. На это наложилась обычная борьба той эпохи между олигархической и демократической партиями в древнегреческом обществе. Недовольство большинства населения, не разделяющего идеалов философа, вылилось в кровавые мятежи в Кротоне и Таренте.

Ямвлих со ссылкой на Аполлония, который пользовался архивами из Кротона, излагает разгром пифагорейцев в Кротоне так:

Согласно Порфирию и сам Пифагор погиб в результате антипифагорейского мятежа в Метапонте, однако другие авторы не подтверждают этой версии, хотя охотно передают историю о том, будто бы удручённый философ уморил себя голодом в священном храме.

Научные достижения

Математика пифагорейцев

Из-за отсутствия документального материала нет возможности установить последовательные этапы дальнейшей двухвековой разработки пифагорейцами математических знаний, первоначально перенятых ими у египтян и вавилонян.

Архимед определил длину окружности и площадь круга, объем и поверхности шара. При этом Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление.

Архимед родился в 287 г. до н.э. в Сиракузах — греческой колонии на острове Сицилия. Отцом Архимеда, возможно, был математик и астроном Фидий. По утверждению Плутарха, Архимед состоял в близком родстве с Гиероном II, тираном Сиракуз. Для обучения Архимед отправился в Александрию Египетскую — научный и культурный центр того времени. Архимед

Интегральные методы Архимеда

Формулу (2) он использовал в трёх случаях: для нахождения объёмов сегментов эллипсоида и гиперболоидов вращения, а также площади первого витка спирали ρ = а ϕ . Пользуясь неравенствами, вытекающими из (2), он находил нижнюю грань верхних сумм и верхнюю грань нижних сумм.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга. Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок, проведённый от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием. Цилиндр, описанный вокруг шара, имеет объём, равный трём вторым объёма шара, и площадь поверхности, равную трём вторым площади поверхности шара.

Дифференциальные методы Архимеда

Дифференциальные методы Архимеда Архимед нашёл общий метод сведения проблем определения экстремумов к проблемам нахождения касательных.

Дифференциальные методы Архимеда

Дифференциальные методы Архимеда Необходимым условием экстремума является равенство нулю производной.

Рассмотрение Архимедом двусторонних оценок погрешности при проведении интеграционных процессов позволяет считать его предшественником не только И. Ньютона и Г. Лейбница, но и Г. Римана. Архимед вычислил площадь эллипса, параболического сегмента, нашёл площадь поверхности конуса и шара, объём шара и сферического сегмента, а также различных тел вращения и их сегментов. Архимед исследовал свойства т. н. архимедовой спирали. Дал построение касательной к этой спирали, нашёл площадь её витка. Здесь он выступает как предшественник методов дифференциального исчисления.

Евдокс Книдский как математик и астроном. Разработка им так называемого "метода исчерпывания" как основ теории пределов и базы для развития математического анализа. Сведения о Пифагоре, его роль как ученого и политического деятеля, величие Архимеда.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	28.05.2010
Размер файла	832,6 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

Реферат

В еликие математики древности : П ифагор , Е вдокс, А р химед

Выполнил

Петрусевич Николай Николаевич

Брест 2010

О жизни Евдокса известно немного. Родился в Книде, на юго-западе Малой Азии.

Общая теория отношений

либо ma nb и mc > nd.

В современной формулировке, это означает, что между a:b и c:d нельзя вставить рациональное число.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса a, b; дробь m/n отнесём к классу A, если ma > nb, иначе -- к классу B. Тогда классы A и B определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел Q. Осталось отождествить отношение по Евдоксу b:a с этим дедекиндовым числом.

Метод исчерпывания

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.)

Биография

Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист.

По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV века до н. э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н. э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н. э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н. э. Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду, то есть в 532--529 гг. до н. э. Эти сведения хорошо согласуются с Порфирием, но полностью противоречат легенде самого Ямвлиха (вернее, одного из его источников) о вавилонском пленении Пифагора. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался по легендам восточной мудрости. Диоген Лаэртский цитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере, что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков.

У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь.

Разгром пифагорейского союза

Научные достижения

Математика пифагорейцев

Таким образом, в основе здесь лежит понятие числа, которое лишь изображается фигурой: геометрия подчинена арифметике.

Фигурные числа отражали своим видом способ, которым они были арифметически порождены, т. е. были ли они получены путем сложения или умножения. Пифагорейцы и продолжатели их традиций рассматривали преимущественно числа-суммы, между тем Евклид и его школа допускали геометрические изображения лишь для чисел-произведений.

Простейший и древнейший пример арифметического понятия (изображаемого единицами-точками) - это различение четного (парного) и нечетного (непарного). Противоположность нечетного и четного представляет одну из десяти пар противоположностей, считавшихся пифагорейцами философскими категориями.

Из треугольных чисел пифагорейцы получали и все квадратные числа, способом, который указан на чертеже.

Тем же путем, присоединяя друг к другу три равных треугольных числа, получали пятиугольные числа и т. д. На рис. 1.4 изображены

С дальнейшим развитием математики фигурные числа потеряли значение, за одним, однако, исключением: это квадратные и кубические числа, давшие возможность подойти к вычислению площадей и объемов, т. е. к решению собственно геометрических задач. Заменяя единицы-точки полями, мы видим, что квадратные числа, рассматриваемые как числа-суммы, изображаются так:

Правила, которые мы записываем формулами

и которые охватывают всю совокупность решений этого уравнения, встречаются у Диофанта, но должны были быть известны задолго до него.

Ранние пифагорейцы связывали с целыми числами и различные мистические спекуляции. Так, особенно совершенным представилось им число 10 - декада, так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4, но 1 есть единица (монада), Матерь всех чисел, 2 выражает линию, 3 - треугольник, а 4 - пирамиду. Это древнее рассуждение замечательно тем, что числа 2, 3 и 4 связываются с размерностью геометрических образов. Две точки определяют прямую - это одномерный образ, три точки (не лежащие на одной прямой) - треугольник или плоскость - двумерный образ; наконец, 4 точки (не лежащие в одной плоскости) - пирамиду - трехмерный образ. Кроме того, среди чисел, меньших 10, столько же простых, сколько составных, и т. д. Исходя из замечательных свойств декады, пифагорейцы считали, что число небесных сфер должно быть равно 10, а так как их насчитывали только 9 (сферы неба, Солнца, Луны, Земли, Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна), то была придумана новая планета - Противоземлие, которая вращалась по десятой сфере. Аналогичные мистические спекуляции с числами были распространены и среди ученых XV-XVI вв., и вообще они характерны для ранних стадий развития науки.

АРХИМЕД (около 287 до н.э.-- 212 до н.э.)

Архимед (около 287 до н.э.-- 212 до н.э.), родился в 287 году до нашей эры в греческом городе Сиракузы, расположенного на восточном побережье острова Сицилии, где и прожил почти всю свою жизнь. Отцом его был Фидий, придворный астроном правителя города Гиерона. Учился Архимед, как и многие другие древнегреческие ученые, в Александрии, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали знаменитую, самую большую в мире библиотеку. После учебы в Александрии Архимед вновь вернулся в Сиракузы и унаследовал должность своего отца. В теоретическом отношении труд этого великого ученого был ослепляюще многогранным. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики.

Если ко всему перечисленному прибавить еще то, что сделано Архимедом в области механики, то станут понятными то изумление и уважение, с которыми к нему относились его современники и теперь относятся все те, кто близок к математике, механике и прикладным наукам.

Пленяет и высокий моральный облик Архимеда. Он был подлинным патриотом своего города. Когда настали тяжелые дни для Сиракуз и римские войска под командованием Марцелла осадили город с двух сторон и никто из осажденных уже не надеялся на спасение, вот тут-то и привел Архимед в действие свои машины, которые задолго до этого он построил.

Машины Архимеда могли защитить город только от неприятельских приступов, но не могли спасти осажденных от голода. Марцеллу удалось, наконец, ворваться в город. Взятие Сиракуз, как и других городов, попавших в руки римлян, сопровождалось невероятными актами жестокости, убийствами и грабежами. В числе убитых был и Архимед.

Рассказ о смерти Архимеда существует в нескольких версиях.

4. Архимед сам отправился к Марцеллу, чтобы отнести ему свои приборы для измерения величины Солнца. По дороге его ноша привлекла внимание римских солдат. Они решили, что учёный несёт в ларце золото или драгоценности, и, недолго думая, перерезали ему горло.

Таковы легенды. Однако многие историки полагают, что Архимед был убит не случайно - ведь его ум стоил в те времена целой армии.

Научная деятельность

По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе.

Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Так, он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида , корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать.

Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.

Архимед сумел установить, что сфера и конусы с общей вершиной, вписанные в цилиндр, соотносятся следующим образом: два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара - задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

В сочинении Квадратура параболы Архимед доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Рис. 2.3 - Квадратура сегмента параболы

Для доказательства Архимед подсчитал сумму бесконечного ряда:

Каждое слагаемое ряда - это общая площадь треугольников, вписанных в неохваченную предыдущими членами ряда часть сегмента параболы.

Следующая задача относится к геометрии кривых. Пусть дана некоторая кривая линия. Как определить касательную в любой её точке? Или, если переложить эту проблему на язык физики, пусть нам известен путь некоторого тела в каждый момент времени. Как определить скорость его в любой точке? В школе учат, как проводить касательную к окружности. Древние греки умели, кроме того, находить касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления.

В математике, физике и астрономии очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин - их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как решать задачи на экстремумы.

Задача о трисекции угла

Задача о делении угла на три равные части возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей, разного рода украшений, многогранных колоннад, при строительстве, внут ренней и внешней отделки храмов, надгробных памятников древние инженеры, художники встретились с необходимостью уметь делить окру ж ность на три равные части, а это часто вызывало затруднения. Оригинальное и вместе с тем чрезвычайно пр о стое решение задачи о трисекции угла дал Архимед.

Измерение круга

Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архиме дом отношение длины окружности к диаметру.

Задача о квадратуре круга заключается в следующем: построить квадрат, площадь кот о рого была бы равна площади данного круга. Большой вклад в решение этой задачи внес Арх и мед. В своем трактате "Измерение круга" он доказ ы вает следующие три теоремы:

Теорема первая: Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равняется длине окружности круга, а другой радиусу круга.

Теорема вторая: Площадь круга относится к площади квадрата, построенного на диаметре, приблизительно, как 11:14.

Теорема третья: C-3d d, где С -длина окружности, а d-ее диаметр. Откуда, d

Из истории интегрального исчисления.

2. Метод исчерпывания — начало интегрального исчисления…1

3. Определение основных понятий и принципов интегрального исчисления. …1

4. Символьный метод, операторы…4

5. Ньютон и Лейбниц-рождение противоречий…5

6. Эйлер. Понятие об интегральной сумме…7

7. Проблема двойных и тройных интегралов…9

8. Коши — решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых. …9

10. Список литературы…11

Метод исчерпывания — начало интегрального исчисления.

Рассмотрим типичную схему доказательств, используемую в методе исчерпывания. Она выглядела следующим образом. Для того, чтобы определить величину A строилась некоторая последовательность величин C 1 , C 2 , …, C n , … такая, что

Предполагалось также известным такое B , что

и что для любого целого N можно найти достаточно большое n , удовлетворяющее условию:

Где величина d — константа. В результате трудоёмких вычислений, из последнего выражения удавалось получить следующее:

Таким образом, видим, что рассматриваемый метод был основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров , обозначенных последовательностью А 1 , А 2 , …, А n , …). Таким образом метод исчерпывания можно представить как античный интегральный метод.

Определение основных понятий и принципов

Известно, что кризис и упадок древнего мира привёл к забвению многих ценных научных достижений. Не повезло и методу исчерпывания — о нём вспомнили лишь в XVII веке. Дальнейшее его развитие связано с такими известными в математике именами, как Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер и ряда других выдающихся учёных. Они положили основу современного математического анализа.

Читайте также: