Механический смысл второй производной доклад

Обновлено: 18.08.2022

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение .

Задать функцию – это значит указать правило, позволяющее по данному значению независимой переменной находить соответствующее значение функции.

Существует три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1.Аналитический способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами задается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей, какие и в каком порядке действия надо выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

1.Аналитический способ является наиболее совершенным, т.к. к нему могут быть применены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

2.Табличный способ предусматривает задание таблицы, в которой различным значениям аргумента поставлены соответствующие значения функции :

3. Графический способ задания функции состоит в том, что в данной системе координат задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Окрестность точки, множества и её свойства, предел функции


Определение 1.Окрестностью точки радиуса ( ) называется множество всех действительных чисел таких, что (рис. 11а).

Определение 2. Проколотой окрестностью точки радиуса ( ) называется множество всех действительных чисел таких, что (рис. 11б).

Обозначения: – -окрестность точки ;

– проколотая -окрестность точки .

Предел функции – величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к заданной точке.

Замечательные пределы, их следствия

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

Первый замечательный предел>=1.> следствия первого замечательного предела>=1.> Второй замечательный предел >=1.> следствия второго замечательного предела











для а>0, а≠1

Бесконечно малые функции, их свойства, сравнение

Бесконечно малая функция — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Функция y=f(x)называется бесконечно малой(илибесконечно малой величиной) при , если . Например, б.м. при х→0, т.к.f(x) →0, т.е.

Свойства бесконечно малых[Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

· Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

· Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

· Если >бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то =>>> бесконечно большая последовательность


Если то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или в>a.


Если то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или a>в.


Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как а~в или как одновременное выполнение отношений в=0(а)и а=0(в).


Если предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина в имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой .

Таблица производных элементарных функций


Производная высшего порядка, механический смысл второй производной

Под производной высших порядков понимают дифференцирования функции более одного раза. Если производную повторно дифференцировать, то получим производную второго порядка, или вторую производную функции , и она обозначается

Производная третьего порядка будет иметь вид

Аналогично получают формулы для нахождения производных высших порядков. При нахождении производной порядке необходимо иметь производную порядка. Исключение составляют функции для которых можно заметить тенденцию изменения производных. Это степенные, некоторые тригонометрические и экспоненциальные функции:

В других случаях, для нахождения производных высших порядков от заданной функции нужно последовательно находить все ее производные низших порядков. Для практического усвоения материала рассмотрим примеры.

Механический смысл второй производной.


Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Геометрический и физический смыслы производной


1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

Теоремы о производных суммы, произведения и частного. Производная сложной и обратной функции.

Теорема. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'.

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а) (с•u)'=с•u', где с = const;
б) (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'.

Теорема.Производная частного двух функций , если v(x) ≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производ­ную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя , v ≠ 0.

Следствие. .Следствие. ,где с = const.

Пусть у=f(и) и и=φ(x), тогда у=f(φ(x)) сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема.Если функция и = φ(х)имеет производную в точке х, а функ­ция у = f(u)имеет производную соответствующей точке и = φ(х), то сложная функция у = f(φ(x))имеет производную вточке х, которая находится по фор­муле : * .

Основные признаки растений: В современном мире насчитывают более 550 тыс. видов растений. Они составляют около.

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s = f(t), где s - путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения это функция времени:

В момент времени t скорость имеет значение $v_0 = v(t)$. Рассмотрим момент времени $t + \Delta t$. Ему соответствует значение скорости

$v_1 = v(t + \Delta t)$

Приращению времени $\Delta $t соответствует приращение скорости

Средним ускорением $\Delta $t является отношение

Ускорением $\omega $ в момент t называется предел среднего ускорения при $\Delta $t стремящемся к 0.

Ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени.

Таким образом, скорость - производная пути s по времени t. Учитывая это, имеем:

Значит, ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по закону

где время t выражается в сек, а путь s -- в см.

Найти ускорение w движущейся точки в момент времени t = 4 сек.

Найдем искомое ускорение

Материальная точка осуществляет движение по закону

где время s измеряется в метрах, а t -- в секундах.

Найти момент времени t в котором ускорение достигает значения 10 секунд.

Найдем вторую производную:

Заменим ускорение значением 10 секунд:

Скорость движения тела выражается формулой

Найти ускорение тела спустя 12 секунд от начала его движения.

Поскольку ускорением является производная от скорости:

Через 12 секунд ускорение составит:

\[\omega =4,8\cdot 12=57,6 м/с^ \]

Готовые работы на аналогичную тему

Чему равно ускорение точки в момент времени 2 секунды, если закон движения выражается как:

Ускорением является вторая производная от скорости. Найдем первую и вторую производную соответственно.

Во время равное 2 секунды, ускорение составит:

\[\omega =18\cdot 2+4=40 м/c^ \]

В какой момент времени ускорение материальной точке будет равно ную, если закон движения точки:

С вычислением производной мы сталкиваемся всякий раз, когда требуется определить скорость изменения одной величины - функции в зависимости от изменения другой величины - независимой переменной.

Средней скоростью изменения функции $y=f(x)$ при переходе независимой переменной от значения $x$ к значению $x+\Delta x$ называется отношение приращения $\Delta y$ функции к приращению $\Delta x$ независимой переменной, то есть

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции $y=f(x)$ при заданном значении независимой переменной $x$ называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента $\Delta x$:

Механический смысл производной

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь $s=f(x)$ движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени $t$ есть производная от пути $s$ по времени $t$:

Задание. Тело движется прямолинейно по закону $s(t)=\frac t^-2 t^+4 t$ (м). Определить скорость его движения в момент $t=10$ с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

$v(10)=2 \cdot 10^-4 \cdot 10+4=200-40+4=164$ (м/с).

Ответ. $v(10)=164$ (м/с).

Геометрический смысл производной

Производная функции $y=f(x)$, вычисленная при заданном значении $x$, равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси $O_$ и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой $x$:


Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ .



Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. На рисунке №1 изображен график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найти значение $f^<\prime>\left(x_\right)$.

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Найдем угол $\alpha$. Рассмотрим треугольник $AOB$ - прямоугольный, равнобедренный. Тогда $$\angle A O B=45^$$, а значит

Рассмотрим движение материальной точки вдоль координатной оси, причём задан закон движения функцией времени В течение интервала времени от до материальная точка перемещается на расстояние , а её средняя скорость равна

\[ v_<cp></p>
<p> = \frac \]

При значение средней скорости стремится к определенной величине, которая называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени , то есть

\[ v(t_0) = \lim_<\Delta t \to 0></p>
<p> \frac \]

А по определению производной, величина, стоящая в правой части, равна , то есть

\[ v(t_0) = \lim_<\Delta t \to 0></p>
<p> \frac = x

Задание Чему равна скорость тела, двигающегося по закону в момент времени .
Решение Находим первую производную от пути:

\[ v(t) = s

В заданный момент времени имеем:

\[ v(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 3 - 3 =0 \]

Задание Движение материальной точки задано уравнением . Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю.
Решение Найдем скорость движения точки, для этого продифференцируем функцию :

\[ v(t) = x

По условию в некоторый момент времени скорость равна нулю, то есть

Решаем полученное уравнение:

\[ 2t_0 - 18 = 0 \text< ></p>
<p> \Rightarrow \text < >2t_0 = 18 \text < >\Rightarrow \text < >t_0 = 9 \]

Читайте также: