Квадратичная функция в астрономии доклад

Обновлено: 02.07.2024

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

«Именно функция является тем средством математического языка,

которое позволяет описывать процессы движения,

Математика – один из моиx самых любимых предметов. Я считаю, что ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Одним из инструментов описания реального мира является функция.

Современная математика знает множество функций, и у каждой своей неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на земле.

Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них появляются основные свойства функций.

На уроках математики все знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но мало знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Исслeдовать и изучить связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.

Исходя из цели, я поставил перед собой следующие задачи:

Узнать историю происхождения функций;

Найти и рассмотреть функции, которые существуют в нашем мире;

Установить связь математических функций с другими науками;

Выяснить, как часто в практической деятельности и природе человек может использовать функции и их свойства и, каким образом это позволит улучшить качество жизни людей.

сбор материала, работа с литературой,, анализ, обобщение;

изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии).

анализ полученной информации (опыт, наблюдение, решение задач, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, обобщение);

опрос учащихся и учителей с целью выявления мнения о роли функции в жизни.

Функции- неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду.

Математические функции и их приложения.

Функциональные зависимости в окружающей жизни.

А чтобы проверить эту гипотезу мною была изучена и проанализирована дополнительная литература, а также был проведен опрос учащихся моего класса с целью выявления мнения о роли функции в жизни человека.

Практическая значимость проекта

Работа позволяет развивать интерес школьников к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике и поможет желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

2 Основная часть

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

Что же такое функция?

Функция – это не только математическое понятие, но и:

функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;

функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;

функция — возможность, опция, умение программы или прибора;

функция — обязанность, круг деятельности;

функция персонажа в литературном произведении;

функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.

Математика создает условия для развития умения применять теоретические знания для решения практических задач, ориентироваться в окружающей нас действительности. Нам кажется, что функциональные зависимости могут касаться самых разнообразных явлений природы и окружающей среды. Каждому человеку в его повседневной практической деятельности приходится применять практические приемы геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков. Без конкретных математических знаний затруднено понимание и восприятие научных знаний, разнообразной социальной, экономической, технологической информации.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных областей науки и нашей жизни.

Экологические проблемы являются глобальными проблемами человечества, всех стран независимо от размеров территории, численности населения, уровня экономического развития.

С функцией мы встречаемся каждый день.

каждый ученик в школе учится в определённом классе. Если обозначить через Х – множество учеников в школе, а через Y – множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (т.е. каждому ученику) сопоставляется единственный элемент множества Y (т.е. тот класс, где данный ученик учится);

пришли в магазин, купить яблоки. Пусть их цена 200 рублей. Сколько денег мы отдаем за 2кг? За 5кг? Говорят, что стоимость покупки есть функция от количества яблок;

Изменение температуры в классе или на улице есть функция от времени. В одно и то же время температура не может принимать более одного значения и быть одновременно +5 и -10.

Способы задания функций.

Существует несколько способов задания функций:

с помощью графов.

Задать функцию – это значит указать ее область определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

1. Табличный способ.

При табличном задании просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Табличный способ особенно распространен в технике, естествознании. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Можно изобразить эту функцию на плоскости, она будет дискретной.

Преимущества: для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу без всяких вычислений найти соответствующее значение функции.

Недостатки: 1. Обычно невозможно задать функцию полностью, найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице.

2. Отсутствие наглядности при большом объеме таблицы, трудно выявить характер изменения функции.

Квадратичная функция является одной из первых, с которой мы познакомились в процессе изучения курса алгебры. С одной стороны эта функция простая, но с другой стороны, при её изучении, мы затронем очень интересную тему - баллистика. Эта тема позволит углубить наши знания о квадратичной функции и повысить интерес учащихся к данной теме.

Работа содержит 1 файл

Квадратичная функция.doc

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 64

Реферат по математическому моделированию

Галиб Анна, Ушков Антон -

Потапенок Наталья Владимировна - учитель по математике;

Денисов Владимир Иванович -

учитель по информатике.

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами на квадратичную функцию и задачи, сводящиеся к квадратичным функциям, очень популярны на экзаменах, ЕГЭ, школьных олимпиадах разного уровня. Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от учащегося требуется четкое понимание и знание всех этих свойств.

При этом задач на квадратичную функцию очень много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

Условия на существование корней, число корней, их значений, поведение и свойства графиков функции можно сформулировать в терминах соотношений между коэффициентами и условий на коэффициенты. По знакам коэффициентов можно однозначно восстановить эскиз графика функции, знак выражения определяет существование и число корней, выражения присутствуют в теореме Виета. Важно понимать, как влияют коэффициенты квадратичной функции, их знаки, соотношения между ними на свойства функции и ее графика.

Большое практическое значение при решении задач на квадратичную функцию имеет наличие однозначного соответствия между алгебраическим описанием и геометрической интерпретацией задачи – графическим изображением и положением эскиза графика функции на координатной плоскости. С одной стороны, от учащихся требуется свободное владение свойствами квадратичной функции и умение построить соответствующую графическую интерпретацию, с другой - геометрическая интерпретация помогает проверить логическую правильность и непротиворечивость теоретических рассуждений. Задачи на расположение корней квадратичной функции и сводящиеся – она из самых популярных тем в задачах с параметрами.

Цель – исследовать квадратичную функцию и осуществить ее полный анализ

Формирование обобщенных умений:

применять практические навыки, полученные на уроках смежных дисциплин;
решать задачи, требующие комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;
развитие интереса к математике и физике, к изучению связей между знаниями из смежных предметов
становление профессиональных интересов учащихся;
формирование у учащихся целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

1. Исследование квадратичной функции

1.1. Определение

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax 2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

1.2 График-парабола

Графиком квадратичной функции является парабола.

2. Виды квадратичной функции

2.1 Функция

Область определения этой функции - множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.

График функции y = ax 2 называется параболой.

Свойства функции у =aх 2 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0;0) - начало координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = aх 2 является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = aх 2 - четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = aх 2 возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = aх 2 убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

2.2 Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax 2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции:

- Область определения: R;

при а при D > 0 два нуля: ,

при D = 0 один нуль:

при D если, а > 0, D > 0, то

если, а > 0, D = 0, то

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

3. Преобразование графиков функции

3.1. Растяжение

Растяжение графика у = x 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| 2 .

3.2 Параллельный перенос по оси Ох

Параллельный перенос графика функции у = ах 2 вдоль оси х на |m| (вправо при

m > 0 и влево при т 2 .

3.3 Параллельный перенос по оси Оу

Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п 2 + п.

4. Квадратное уравнение

Уравнение ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, называется квадратным уравнением.

Выделив полный квадрат, получим уравнение

Если то отсюда следует, что

Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).

При D > 0 существуют два корня x₁ и x₂. При D = 0 корни квадратного уравнения совпадают: x ₁ = x ₂ . Наконец, при D невозможно, и корней у квадратного уравнения не существует.

Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители:

Таким образом y = a (x – x₁) (x – x₂),

Если D = 0, то Если D трехчлен нельзя разложить на множители.

5. Теорема Виета

Для того чтобы числа x₁ и x₂ были корнями уравнения ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

1. Необходимость. Пусть числа и являются корнями уравнения ( a ≠ 0).

2. Достаточность. Пусть имеется система

Из первого равенства Подставляя это значение во второе равенство, получим откуда Значит, число x1 является корнем квадратного уравнения Аналогично доказывается, что – также корень этого уравнения.

6. Сечение конуса

Парабола является одним из конических сечений

Точка является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и

Если a 7. Построение параболы по трем точкам

Функция f (x) = ax 2 + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Добиваясь поставленной цели, мы решили следующие задачи: применять практические навыки при решении задач, требующих комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;

Проработанный и изученный нами материал формирует становление профессиональных интересов у учащихся, формирование целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

Эта тема позволила нам расширить наше представления о функции и ее свойствах. Нас заинтересовала эта тема и мы углубили свои знания о ней. С помощью изучения квадратичной функции мы узнали ,что существуют разнообразные способы построения графиков.

Мы встречаемся с ней не только при решении задач и построении графиков, но и в окружающем мире. Ярким примером этого служит баллистика.

Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у , соответствующее заданному значению х .

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )

Возрастающая функция - если для любых х₁ и х₂ , таких, что х₁ f (х₂ )

Линейная функция.

Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом , а число - свободным членом . Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси .

График линейной функции - прямая

1. Область определения – все действительные числа.

2. Область значений – все действительные числа.

3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).

4. Линейная функция ни четная ни нечетная.

5. Функция возрастает если k>0,

Функция убывает если k 0, то в точке x =- b /(2 a ) функция имеет минимум. При x - b /(2 a ) монотонно возрастает.

a. Если а - b /(2 a ) монотонно убывает.

b. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x =- b /(2 a ) и ординатой y = -(( b 2 -4 ac )/4 a ) называется вершиной параболы .

7. Область изменения функции: при a >0 – множество значений функции [-(( b 2 -4 ac )/4 a ); + ¥ ) ; при a 2 -4 ac )/4 a )] .

8. График квадратичной функции пересекается с осью 0 y в точке y = c . В случае, если b 2 -4 ac >0 , график квадратичной функции пересекает ось 0 x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b 2 -4 ac =0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x =- b /(2 a ) ; если b 2 -4 ac 2 + bx + c

10. (или f ( x )= a ( x + b /(2 a )) 2 -( b 2 -4 ac )/(4 a )) может быть получен из графика функции f ( x )= x 2 следующими преобразованиями:

а) параллельным переносом r =(- b /(2 a ); 0) ;

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r =(0; -(( b 2 -4 ac )/(4 a ))) .

Степенная функция.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число - чётное, то и функция - чётная (то есть при всех ); если число - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).

График степенной функции при

б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если - чётное число, то и - чётная функция; если - нечётное число, то и - нечётная функция.

График степенной функции при

Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в). Если - не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

График степенной функции при

При , по определению, ; тогда .

График степенной функции при

1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.

2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.

3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

4. Степенная функция непрерывна во всей области определения.

5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

( x a ) ¢ = a . x a -1 .

Степенная функция x a монотонно возрастает во всей области определения при a 1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0 x )¢ =a x lna

4. При а >1 функция монотонно возрастает, при а 1. При 0 0, a ¹1, имеют место равенства

log_a 1 = 0, log_a a =1.

6. При а >1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0 0 при xÎ (2pn ; p+2pn ), n ÎZ ,

sin х 0 при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn )), n ÎZ ,

cos х 0 при xÎ (pn ; (p/2)+pn ), n ÎZ ,

8.Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn ), n ÎZ ,

Функция котангенс.

(в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;

то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.

1.График функции Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn , n ÎZ .

2.Область значения – множество всех действительных чисел.

3.Функциясtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

4.Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:

5.Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n ÎZ .

ctg х>0 при xÎ (pn ; (p/2)+pn ), n ÎZ ,

8.Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (pn; p(n +1)), n ÎZ .

Обратные тригонометрические функции.

Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.

Изучение многих физических процессов и закономерностей приводит к решению задач с параметрами. Рассматривая траекторию полета камня, брошенного над горизонтом, линии струй фонтана, полет космической ракеты мы видим их разнообразие и явное сходство.

Параболы используются в радиолокации при создании узконаправленных антенн, в астрономии – радиотелескопы, ярким примером является Зеленчугская обсерватория. Для уменьшения размеров телескопов используются параболические зеркала. А также применение парабол мы наблюдаем в самолетостроении, в баллистике и автомобильной промышленности (для уменьшения сопротивления воздуха - обтекаемости). В спортивных состязаниях в таких видах, как метание копья и молота, толкание ядра и других видах легкой атлетики присутствует движение по параболе.

Замечательные свойства параболы широко используются в науке и технике. Известно, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости.

Представим себе, что очень узкая зеркальная полоска изогнута в форме дуги параболы. Если мы параллельно оси параболы направим пучок лучей, то они, отразившись от зеркала, соберутся в некоторой точке F, расположенной на оси и называемой фокусом параболы (фокус - в переводе на русский означает очаг). И обратно, если мы поместим источник света (лампочку, вольтову дугу и т.п.) в фокусе параболы, то всякий его луч, отраженный от зеркала, направится параллельно оси параболы.

Вращая параболу вокруг своей оси, мы получим поверхность, называемую параболоидом вращения.

Особенно наглядно эту поверхность можно представить, вращая модель параболы вокруг оси симметрии с помощью центробежной машины.

Параболические зеркала и другие аналогичные им приспособления, использующие описанное свойство параболы, изготовляются в форме параболоида.

Вот несколько примеров:

• отражательный телескоп – рефлектор; см. рис.3

• прожектор или фара автомобиля; см. рис.4

• рефлектор солнечной электростанции; см. рис.5

• медицинский рефлектор; см. рис.6

• увеличительное туалетное зеркало; см. рис.7

Следует сразу же оговориться, что трудность изготовления параболических зеркал вынуждает иногда (например, в больших прожекторах и т.п.) вместо прямолинейной поверхности брать поверхность, образованную системой соответствующим образом уложенных маленьких плоских зеркал. Параболические антенны находят широкое применении в таких областях науки и техники, как радиолокация и радиоастрономия. Парабола находит широкое применение в технике, в частности, в мостостроении.

Кроме этого, очертания форм в железнодорожных мостах, в целях экономии материала, а также из архитектурных соображений, делают иногда в виде параболы. Цепь висячего моста, поддерживающая проезжую часть его, имеет форму параболы. Подобные мосты обладают высокими архитектурными качествами и дают возможность перекрыть большие пролеты (до 2000 м).Примером такого висячего моста может служить Крымский мост в Москве.

Создание презентации

Что такое презентация

Презента́ция (от лат. praesento — представление) — документ или комплект документов, предназначенный для представления чего-либо (организации, проекта, продукта и т.п.). Цель презентации — донести до аудитории полноценную информацию об объекте презентации в удобной форме.

Презентация может представлять собой сочетание текста, гипертекстовых ссылок, компьютерной анимации, графики, видео, музыки и звукового ряда (но не обязательно всё вместе), которые организованы в единую среду. Кроме того, презентация имеет сюжет, сценарий и структуру, организованную для удобного восприятия информации. Отличительной особенностью презентации является её интерактивность, то есть создаваемая для пользователя возможность взаимодействия через элементы управления.

В зависимости от места использования презентации различаются определенными особенностями.

· Презентация, созданная для самостоятельного изучения, может содержать все присущие ей элементы, иметь разветвленную структуру и рассматривать объект презентации со всех сторон. Реализуется, как правило, с использованием элементов гипертекста.

· Презентация, созданная для поддержки какого-либо мероприятия или события отличается большей минималистичностью и простотой в плане наличия мультимедиа и элементов дистанционного управления, обычно не содержит текста, так как текст проговаривается ведущим, и служит для наглядного представления его слов.

· Презентация, созданная для видеодемонстрации, не содержит интерактивных элементов, включает в себя видеоролик об объекте презентации, может содержать также текст и аудиодорожку. Разновидностью такой презентации является рекламный ролик.

· Учебная презентация, созданная для проведения занятия в образовательном учреждении. Вместе с учебной презентаций обычно используется конспект урока.

Читайте также: