Конъюнкция доклад 8 класс
Обновлено: 04.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Лекция 8. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.
Для задания таких связок удобно записывать таблицы истинности:
Согласно определению, конъюнкция двух элементарных высказываний истинна только в том случае, когда истинны оба высказывания, ее образующие (строка 1), и ложна в любом другом случае (строка2,3,4).
КОНЪЮНКЦИЯ А = истинна только тогда, когда Петя любит физику, а математику не любит. В остальных трех случаях, т.е. когда Петя:
не любит математику и не любит физику,
любит математику и физику,
любит математику, но не любит физику
высказывание А В ложно.
Таблица истинности для дизъюнкции имеет вид:
Дизъюнкция А VВ = будет истинной, если на первом уроке будет литература (вторая строка таблицы истинности) или математика (третья строка таблицы истинности), и ложной, если на первом уроке будет любой другой предмет или если урока вообще не будет (четвертая строка таблицы истинности).
Согласно Единой спортивной квалификации и высказывание А, и высказывание В истинны, следовательно, и дизъюнкция их истинна (1-я строка таблицы истинности).
Задания для самостоятельной работы по теме:
Определите значение истинности следующих высказываний:
2. Составьте 2-4 сложных высказывания на конъюнкцию, определите их истинность.
3. Определите значение истинности высказываний А,В, если:
4. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции условие истинности каждого предложения
(а, в ϵ R ): а) а×в≠0; б) а÷в=0; в) а 2 + в 2 = 0;
Определите значение истинности следующих высказываний:
5. Составьте 2-4 сложных высказывания на дизъюнкцию, определите их истинность.
6. Определите значение истинности высказываний С и D, если:
7. Сформулируйте и запишите в виде дизъюнкции условие истинности каждого предложения (а, в ϵ R ):а) а × в = 0, б) >2.
В информатике существует специальная дисциплина, рассматривающая логические операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. В математике это направление называется булевой алгеброй и применяется для построения алгоритмов, проверяющих различные условия и соответствия. Специалисты в области информационных технологий рекомендуют перед практическим решением примеров получить теоретические знания.
Общие сведения
Булева алгебра — раздел математического анализа, изучающий истинность логических утверждений. Ее открыл Д. Буль в ХIХ веке. Алгебра логики получила практическое применение только в ХХ веке при проектировании различных элементов персонального компьютера. Дисциплина доказывает истинность или ложность тождеств логического типа математическим путем с применением специальных таблиц.
Следует отметить, что логическое тождество является определенной функцией, принимающей значения 0 или 1 в зависимости от ее элементов. В алгебре логики значения имеют следующие названия: 0 — ЛОЖЬ (FALSE) и 1 — ИСТИНА (TRUE).
Операторы сравнения
Например, если необходимо указывать несколько тождеств логического вида, то при помощи отрицания можно использовать только одно. Для примера необходимо написать, что число не равно 0: (t 0). При использовании логического отрицания условие выглядит короче: t=!0.
Приоритеты вычислений
При решении выражений булевского типа, как и в алгебре, существуют определенные приоритеты. Каждая операция обладает определенным из них. Наибольшей степенью пользуется конъюнкция, средней — дизъюнкция. Наименьшим приоритетом обладает логическое отрицание. Однако эту особенность можно поменять при помощи группировки элементов в выражениях, которая производится скобками. С учетом этих особенностей алгоритм решения тождества имеет следующий вид:
- Написать выражение: S&T|S|[¬(S|T)].
- Определить последовательность вычислений: [¬(S|T)], S&T, [S&T]|S и [S&T|S]v[¬(S|T)].
- Составить обобщенную таблицу.
Иногда бывают задачи, в которых следует упрощать выражение. Для этой цели следует знать некоторые особенности:
- ¬(0)=1.
- ¬(1)=0.
- ¬(¬(0))=0.
- ¬(¬(1))=1.
- ¬(S&T)=¬(S)&¬(T).
- S&(S|T)=S|T.
Этих правил достаточно для упрощения булевского выражения. Следует отметить, что перед построением булевской таблицы требуется с самого начала упростить исходное тождество.
Примеры решений
В первом простом примере требуется составить таблицу булевского типа для выражения S&(S|T)|T&S|¬(T&S).
Решать задание нужно по такому алгоритму:
Следующий пример будет сложнее, поскольку выражение ¬ < ¬[ ¬((S|0)&¬(T|S)& ¬(S&(T&S)) ]& ¬(S&S) >следует упростить, а затем составить таблицу. Задача решается по такой методике:
Следует отметить, что исходное логическое выражение необходимо на начальном этапе решения упростить, а затем строить таблицу. В этом возможно убедиться на основании приведенного примера, в котором сокращается одна переменная.
Таким образом, для решения выражения, содержащего логические операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии, необходимо его упростить, а затем разбить на простые элементы.
В информатике существует специальная дисциплина, рассматривающая логические операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. В математике это направление называется булевой алгеброй и применяется для построения алгоритмов, проверяющих различные условия и соответствия. Специалисты в области информационных технологий рекомендуют перед практическим решением примеров получить теоретические знания.
Общие сведения
Булева алгебра — раздел математического анализа, изучающий истинность логических утверждений. Ее открыл Д. Буль в ХIХ веке. Алгебра логики получила практическое применение только в ХХ веке при проектировании различных элементов персонального компьютера. Дисциплина доказывает истинность или ложность тождеств логического типа математическим путем с применением специальных таблиц.
Следует отметить, что логическое тождество является определенной функцией, принимающей значения 0 или 1 в зависимости от ее элементов. В алгебре логики значения имеют следующие названия: 0 — ЛОЖЬ (FALSE) и 1 — ИСТИНА (TRUE).
Операторы сравнения
Следует отметить, что в этих примерах получается истинное значение, поскольку условие выполняется. Однако в информатике при построении алгоритмов используются методы ветвления. Они представляют собой такую конструкцию: ЕСЛИ (a>b), ТО a+b. ИНАЧЕ (a*b). Читается запись следующим образом: в том случае, когда значение а больше b, нужно сложить оба числа, а иначе (a Логические операции
Операции логического типа очень часто применяются при построении выражений, используемых в программировании. К ним относятся следующие:
Однако булева алгебра не ограничивается только ими, поскольку существуют и другие их производные. Для каждой из трех составляются определенные таблицы истинности, которые каждый раз необходимо строить для получения результата вычисления логических выражений. Специалисты рекомендуют отдельно на листе картона перечертить таблицы всех логических операций.
Функция конъюнкции
| S | T | S&T |
| 0 | 0 | F |
| 0 | 1 | F |
| 1 | 0 | F |
| 1 | 1 | T |
Таблица 1. Значение функции в зависимости от логических переменных.
Из таблицы 1 видно, что выражение S&T принимает только TRUE при всех истинных значениях переменных. Если рассматривать алгебру, то можно провести аналогию между логическим и обыкновенным умножениями. Например, произведение двух чисел S*T, которые для удобства сравнения принимают значения 0 или 1.
Если сравнивать два результата, то они будут идентичны. Следовательно, для правильного построения таблицы для конъюнкции нужно руководствоваться аналогичной операцией умножения.
Информация о дизъюнкции
В булевой алгебре операция логического сложения называется дизъюнкцией. Обозначается она символом, который называется дизъюнктором (V или I). Логическое тождество, содержащее два элемента, имеет такой вид: SVT. Операция имеет только ложное значение при равенстве S и T нулю. Для нее нужно также строить специальную таблицу:
Таблица 2. Истинность операции дизъюнкции SVT.
Операция аналогична сложению в алгебре, хотя имеются некоторые отличия. Чтобы убедиться в этом, требуется выполнить определенное действие — построить специальную таблицу результатов для алгебраического сложения нулей и единиц.
Если рассмотреть результаты в последнем случае, то можно сделать вывод о схожести сложения и дизъюнкции. Однако в последней строке алгебраической суммы есть некоторое несоответствие — 2. Это показывает, какое переполнение разряда происходит в булевой алгебре. В последней происходит переход с одного разряда в другой.
Булево отрицание
| Исходное выражение, S | Результат, ¬(S) |
| 0 | T |
| 1 | F |
Таблица 3. Истинность ¬(S).
Например, если необходимо указывать несколько тождеств логического вида, то при помощи отрицания можно использовать только одно. Для примера необходимо написать, что число не равно 0: (t 0). При использовании логического отрицания условие выглядит короче: t=!0.
Приоритеты вычислений
При решении выражений булевского типа, как и в алгебре, существуют определенные приоритеты. Каждая операция обладает определенным из них. Наибольшей степенью пользуется конъюнкция, средней — дизъюнкция. Наименьшим приоритетом обладает логическое отрицание. Однако эту особенность можно поменять при помощи группировки элементов в выражениях, которая производится скобками. С учетом этих особенностей алгоритм решения тождества имеет следующий вид:
Иногда бывают задачи, в которых следует упрощать выражение. Для этой цели следует знать некоторые особенности:
Этих правил достаточно для упрощения булевского выражения. Следует отметить, что перед построением булевской таблицы требуется с самого начала упростить исходное тождество.
Примеры решений
В первом простом примере требуется составить таблицу булевского типа для выражения S&(S|T)|T&S|¬(T&S).
Решать задание нужно по такому алгоритму:
Следующий пример будет сложнее, поскольку выражение ¬ < ¬[ ¬((S|0)&¬(T|S)& ¬(S&(T&S)) ]& ¬(S&S) >следует упростить, а затем составить таблицу. Задача решается по такой методике:
Следует отметить, что исходное логическое выражение необходимо на начальном этапе решения упростить, а затем строить таблицу. В этом возможно убедиться на основании приведенного примера, в котором сокращается одна переменная.
Таким образом, для решения выражения, содержащего логические операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии, необходимо его упростить, а затем разбить на простые элементы.
Логическая операция конъюнкция — бинарная операция над высказываниями, результатом которой является истинное высказывание только в случае, когда исходные высказывания истинны.
Другие названия конъюнкции — логическое умножение, логическое И или просто И.
Конъюнкция изучается в информатике при рассмотрении раздела алгебра логики.
В языках программирования для конъюнкции используют обозначение ‘ and ‘ или знак амперсанд ‘ & ‘ (либо ‘ && ‘) (например, x>0 and x или a>=10 & a ).
Для обозначения конъюнкции используют символ ∧ или & .
Как набрать знак конъюнкции на клавиатуре
Так как на клавиатуре нет знака конъюнкции (∧), ее удобно набирать используя комбинацию символов слэш и обратный слэш /\ .
Таблица истинности для конъюнкции
Истинность конъюнкции определяется ее таблицей истинности.
| A | B | A /\ B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Конъюнкция и круги Эйлера
Результатом конъюнкции является область пересечения высказываний.
Электрический аналог конъюнкции
Представим, что выключатели A и B — это высказывания, причем 0 — выключатель разомкнут, 1 — выключатель замкнут. Лампа символизирует конъюнкцию. Когда она не горит — 0, горящая лампа — 1. Тогда становится очевидным, что лампа будет гореть только когда оба выключателя будут замкнуты, что полностью соотносится с таблицей истинности для конъюнкции.
Читайте также: