История возникновения теории приближенных вычислений доклад 8 класс

Обновлено: 05.07.2024

Нечёткая логика (англ. fuzzy logic) — раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств, базирующийся на понятии нечёткого множества, впервые введённого Лотфи Заде в 1965 году как объекта с функцией принадлежности элемента к множеству, принимающей любые значения в интервале [0,1] , а не только 0 или 1. На основе этого понятия вводятся различные логические операции над нечёткими множествами и формулируется понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества.

Предметом нечёткой логики считается исследование рассуждений в условиях нечёткости, размытости, сходных с рассуждениями в обычном смысле, и их применение в вычислительных системах.

Направления исследований нечёткой логики

В настоящее время существует, по крайней мере, два основных направления научных исследований в области нечёткой логики:

• нечёткая логика в широком смысле (теория приближенных вычислений);

• нечёткая логика в узком смысле (символическая нечёткая логика).

Символическая нечёткая логика

Символическая нечёткая логика основывается на понятии t-нормы. После выбора некоторой t-нормы (а её можно ввести несколькими разными способами) появляется возможность определить основные операции над пропозициональными переменными: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание и другие.

Нетрудно доказать теорему о том, что дистрибутивность, присутствующая в классической логике, выполняется только в случае, когда в качестве t-нормы выбирается t-норма Гёделя.

Кроме того, в силу определенных причин, в качестве импликации чаще всего выбирают операцию, называемую residium (она, вообще говоря, также зависит от выбора t-нормы).

Определение основных операций, перечисленных выше, приводит к формальному определению базисной нечёткой логики, которая имеет много общего с классической булевозначной логикой (точнее, с исчислением высказываний).

Существуют три основных базисных нечётких логики: логика Лукасевича, логика Гёделя и вероятностная логика (англ. product logic). Интересно, что объединение любых двух из трёх перечисленных выше логик приводит к классической булевозначной логике.

Теория приближенных вычислений

Основное понятие нечёткой логики в широком смысле — нечёткое множество, определяемое при помощи обобщенного понятия характеристической функции. Затем вводятся понятия объединения, пересечения и дополнения множеств (через характеристическую функцию; задать можно различными способами), понятие нечёткого отношения, а также одно из важнейших понятий — понятие лингвистической переменной.

Вообще говоря, даже такой минимальный набор определений позволяет использовать нечёткую логику в некоторых приложениях, для большинства же необходимо задать ещё и правило вывода (и оператор импликации).

Лофти А.Заде (Lotfi Askar Zadeh) родился 4 февраля 1921г в Баку,. откуда семья в 1932 году преехала в Иран, где на протяжении 8 лет учился в Американском колледже Тегерана (впоследствии известном как Alborz[en] — миссионерской пресвитерианской школе с персидским языком обучения), затем на электроинженерном факультете в Тегеранском университете (окончил в 1942 году). После окончания университета в июле 1944 года переехал в Соединенные Штаты и в сентябре поступил в Массачусетский технологический институт (получил диплом магистра в области электрической инженерии в 1946 году). Родители Лотфи Заде в это время жили в Нью-Йорке (мать работала врачом), где он поступил в аспирантуру Колумбийского университета, а после защиты диссертации в 1949 году остался там же ассистентом на инженерном отделении. С 1959 года работает в Калифорнийском университете (Беркли).

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - определенное свойство. Обычное (четкое) подмножество N универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойство R, определяется как множество упорядоченной пары N = , где mN(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, когда x удовлетворяет свойство R, и 0 - в другом случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество N универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар N = N(x)/x>, где μ_N(x) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значение в некотором упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x к подмножеству N. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = , тогда нечеткое подмножество N может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Таким образом, нечеткое множество N можно записать как

где X_i - i-е значение базовой шкалы, а знак " Σ" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Арифметика родилась из практических нужд человека, из необходимости считать предметы, измерять величины. Числа, получаемые в результате измерения, всегда приближенные. Это объясняется главным образом следующими двумя обстоятельствами: 1) измерительные инструменты никогда не бывают точными и 2) при различных измерениях на практике всегда допускаются те или иные неточности. Различные измерения длины пути или взвешивания тела дают очень близкие друг к другу, но не одинаковые результаты.

Все геодезические измерения, относящиеся к площади поверхности и объёму Земли, как бы тщательно они ни производились, выражаются приближёнными числами. То же имеет место в точнейших измерениях современной физики и астрономии. Так, например, астрономы устанавливали, что расстояние до наиболее далеких галактик - грандиозных звездных систем, доступных для наблюдения современными телескопами -составляет около 3*1022 км, или 3 млрд. световых лет. Конечно, это число приближенное.

Во многих случаях и счет предметов приводит к приближенным числам, например, когда речь идет об определении числа деревьев в лесу или числа жителей большого города.

При составлении планов развития народного хозяйства нашей страны в любой отрасли сельского хозяйства и промышленности, в науке и технике мы пользуемся приближенными числами. Поэтому приближенные вычисления имеют особенно важное значение в настоящее время.

Правило А.Н. Крылова

Рассмотрение математических задач, решавшихся в Древнем Египте и Вавилоне, показывает, что еще в глубокой древности возникли некоторые приемы приближенных вычислений. Под влиянием запросов техники в настоящее время разработаны разные методы приближенных вычислений.

Пример: Записывая 142,35, мы должны быть уверенными в том, что абсолютно верна не только целая часть дроби, но и три десятых. Сомнительным может быть только число 5 сотых.

А.Н. Крылов был не только видным математиком, но и выдающимся механиком-кораблестроителем, сделавшим ряд важнейших технических открытий. Он отличался большим умением применять математическую теорию к решению практических и технических задач.

За большие заслуги в деле развития отечественной математики и советского кораблестроения А.Н. Крылов был награжден тремя орденами Ленина, ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

О приближенном и графическом решении уравнений

Издавна ученые сталкивались с решением уравнений третьей и высшей степеней. Отдельные виды кубических уравнений решали геометрическими способами (Архимед и другие в древности, Омар Хаяйями, ал-Коши и другие в средние века). Однако общего алгебраического решения уравнений третьей степени, т.е. правила для выражения корней через коэффициенты уравнения, не нашли ни древние греки, ни индийцы, ни арабские и среднеазиатские ученые.

Формула для решения общего уравнения третьей степени была открыта лишь в 16 веке итальянским математиком Ферро, Тортальей и Кардано.

Тогда же итальянский математик Феррари открыл формулу для решения общего уравнения четвертой степени.

Теория приближенных вычислений , как известно [18], основывается на положении о нецелесообразности излишне точных вычислений, исходными данными для которых являются приближенные числа, полученные определением тех или иных величин. В свою очередь, если расчеты пределов допустимых значений некоторой величины выполнены приближенно, то, очевидно, нецелесообразно определять с излишней точностью эту величину для того, чтобы убедиться, что ее действительное значение лежит в заданных пределах. [1]

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; 3) рационализировать самый процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата. [2]

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности, данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычисления от бесполезных расчетов; 3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата. [3]

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата. [4]

В теории приближенных вычислений известен ряд правил подсчета количества верных значащих цифр при арифметических действиях. Приведем эти правила без доказательств. [5]

В теории приближенных вычислений доказывается, что при делении двух чисел относительные погрешности суммируются, а число верных знаков частного должно быть равно наименьшему количеству верных знаков чисел, участвующих в делении. [6]

В курсах теории приближенных вычислений читатель может познакомиться со способами более рационального расположения вычислений в изложенных выше методах, облегчающими их применение. [7]

Возникла математическая наука - теория приближенных вычислений . Ее начальные элементы изложены выше в этой главе. [8]

Относительная роль разных источников погрешностей результата вычислений неодинакова для вычислений, проводимых вручную, применительно к которым происходило основное развитие теории приближенных вычислений , и для вычислительных систем. При ручных вычислениях можно, как правило, не уделять много внимания ошибкам округления, так как их всегда можно существенно уменьшить, проводя вычисления с увеличенным числом значащих цифр, и так как общее число арифметических действий не может быть уж очень большим из-за ограничения времени и малой скорости вычислений. Поэтому при ручных вычислениях обычно следует основное внимание обращать на погрешности исходных данных и на изменение их, отражаемое по-грешностями действий. [9]

Им же разработана теория приближенных вычислений , в которой изложены рациональные приемы и методы технических расчетов. [10]

Им же разработана теория приближенных вычислений , в которой изложены рациональные приемы и методы технических расчетов. [11]

В этих же работах были изложены принципы организации поиска экстремума, которые получили наименование стратегии поиска. В основу этих стратегий положены итеративные процессы теории приближенных вычислений , а именно - методы градиентные, наискорейшего спуска и последовательного определения экстремумов частных производных. Последний из изложенных методов был условно назван методом Гаусса - Зайделя. [12]

В последнее время Л. В. Канторович занимается систематическим приложением функционального анализа в теории приближенных вычислений . Здесь им получены результаты чрезвычайной общности и силы. [13]

В этих случаях обычные методы обнаружения экстремума, которые даются теорией приближенных вычислений , не всегда оказываются пригодными. [14]

Настоящая книга является первой частью учебника Алгебра и начала анализа, написанного в соответствии с новой программой по математике для средних специальных учебных заведений. Как и в первом издании, в самом начале изложены элементы теории приближенных вычислений и простейшие понятия теории множеств и математической логики. [15]

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Две статьи Крылова, опубликованные в 1931—1933 годах, дополняют его курс анализом приближенного решения векового уравнения и уравнения колебаний специального типа. Решением векового уравнения занимались знаменитейшие математики XVIII и XIX столетий. Достаточно указать Лагранжа, Лапласа, Леверье и Якоби. Эти математики доказали много теорем, относящихся к детерминантам, но кратчайший метод вычисления детерминантов достаточно высокого порядка этими исследованиями все же не был установлен. Главное неудобство векового уравнения для системы с k-степенями свободы состоит в том, что члены вида (а_i1—λ 2i ) стоят по диагонали детерминанта. При развертывании такого детерминанта приходится пользоваться методом Леверье или методом Якоби, сильно усложняющимися при увеличении порядка детерминанта. А. Н. Крылов, пользуясь некоторыми соображениями профессора Коркина, представляет вековое уравнение в таком виде, что члены (а_i1— λ 2i ) располагаются только в одном первом столбце определителя, все же остальные элементы этого определителя — известные постоянные, определяемые условиями задачи. Получение векового уравнения в численном виде становится значительно проще, так как детерминант легко разлагается по элементам первого столбца.

В целом ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями вида:

где n 2 — заданная постоянная, f (y), F (y')— известные целые функции, определяемые физическими условиями задачи, числа α, γ —суть достаточно малые постоянные параметры. А. Н. Крылов развивает подробную теорию интегрирования уравнения (5), обращая особое внимание на случаи, когда или α = 0 или γ = 0. Основная идея интегрирования заключается в разложении искомой функции и величины n 2 в ряды по степеням малых параметров. Так, например, для случая γ=0 разложения до членов порядка k относительно α будет:

Этот метод имеет существенное преимущество перед другими методами, так как в решении члены с множителями t наверняка исключены. Примеры, просчитанные Алексеем Николаевичем, показывают, что его метод гораздо эффективнее других ведет к цели.

В книге изложены наиболее важные и эффективные с точки зрения приложений методы математической физики: первый и второй методы Пуассона, приложения теории функций комплексного переменного к интегрированию линейных дифференциальных уравнений, метод Коши, метод Даламбера и метод Фурье.

Теория проиллюстрирована прекрасно подобранными примерами из самых различных отделов техники. Здесь и колебания струны при разных граничных условиях, и задача о распространении тепла в пруте, и поперечные колебания упругого стержня, и радиальные колебания полого цилиндра. На всем изложении лежит печать большого мастера. Самые трудные вопросы теории дифференциальных уравнений в частных производных Алексей Николаевич сумел изложить строго научно и совершенно доступно инженерам.

Вавилонская глиняная табличка примерно 1800—1600 года до н. э. с современными аннотациями. Надписи на табличке дают приближение значения квадратного корня из 2 как суммы четырёх шестидесятеричных чисел [1] : 2 ≈ 1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 ≈ 1,414 21296 >\approx 1+>+>>+>>\approx 141421296>

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.

Вычислительная математика обладает широким кругом прикладных применений для проведения научных и инженерных расчётов. На её основе в последнее десятилетие образовались такие новые области естественных наук, как вычислительная физика, вычислительная химия, вычислительная биология и так далее.

Содержание

История

Вычислительная математика возникла довольно давно. Ещё в Древней Месопотамии были разработаны методы получения квадратного корня. В эпоху научной революции вычислительная математика развивалась быстрыми темпами из практических применений параллельно с математическим анализом. Помимо этого, подобные вычисления широко применялись в небесной механике для предсказания траектории движения небесных тел. Это привело к появлению таких важнейших составляющих физики, как теория о гелиоцентрической системе устройства мира, законы Кеплера и законы Ньютона. XVII и XVIII век стали временем разработки значительного количества численных методов и алгоритмов.

Применение большого количества инженерных вычислений в XIX и XX веках потребовало создания соответствующих приборов. Одним из таких приборов стала логарифмическая линейка, также появились таблицы значений функций с точностью до 16 знаков после запятой, помогавшие проводить вычисления. Также существовали механические устройства для выполнения математических операций, называвшиеся арифмометрами. В первой половине XX века для решения дифференциальных уравнений стали активно использоваться аналоговые ЭВМ.

Изобретение компьютера в середине XX века означало создание универсального инструмента для математических вычислений. Совместно с мейнфреймами в распоряжении инженеров и учёных для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров.

Основные направления

В вычислительной математике выделяют следующие направления: анализ математических моделей, разработка методов и алгоритмов решения стандартных математических задач, автоматизация программирования [2] .

Анализ выбранных математических моделей для поставленной задачи начинается с анализа и обработки входной информации, что очень важно для более точных входных данных. Для такой обработки зачастую применяются методы математической статистики. Следующим шагом является численное решение математических задач и анализ результатов вычислений. Степень достоверности результатов анализа должна соответствовать точности входных данных. Появление более точных входных данных может потребовать усовершенствования построенной модели или даже её замены [2] .

Методы и алгоритмы решения типовых математических задач с применением вычислительной техники носят название численных методов. К типовым задачам относят [2] :

Оптимизация: изучение минимальных и максимальных значений функционалов на множествах; и теория игр: минимаксные задачи (в частности, для многошаговых игр); : задачи аппроксимации, задачи интерполяции, задачи экстраполяции.

Проводится изучение и сравнительный анализ методов решения типовых задач. Важным элементом анализа является поиск экономичных моделей, позволяющих получить результат, используя наименьшее число операций, оптимизация методов решения. Для задач больших размеров особенно важным является исследование устойчивости методов и алгоритмов, в том числе к ошибкам округления. Примерами неустойчивых задач является обратные задачи (в частности, поиск обратной матрицы), а также автоматизация обработки результатов экспериментов [2] .

Постоянно увеличивающийся круг типовых задач и рост числа пользователей определили повышение требований к автоматизации. В условиях, когда знание конкретных численных методов является несущественным для пользователя, возрастают требования к стандартным программам решения. С их использованием не требуется программирование методов решения, а достаточно задать исходную информацию [2] .

Особенности представления чисел в компьютере

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера. Так, например, если взять машинное число длиной в 8 байт (64 бита), то в нём можно запомнить только 2 64 разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения, требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.

Программное обеспечение

Алгоритмы решения множества стандартных задач вычислительной математики реализованы на различных языках программирования. Чаще всего для этих целей используются языки Julia, Фортран и C, библиотеки для которых можно найти в репозитории Netlib (англ.) ( рус. . Кроме того, большую популярность имеют коммерческие библиотеки IMSL (англ.) ( рус. и NAG (англ.) ( рус. , а также свободная GNU Scientific Library.

Программные пакеты MATLAB, Mathematica, Maple, S-PLUS (англ.) ( рус. , LabVIEW и IDL (англ.) ( рус. , а также их свободные альтернативы FreeMat, Scilab, GNU Octave (похожа на Matlab), IT++ (англ.) ( рус. (библиотека C++), R (похож на S-PLUS) имеет различные численные методы, а также средства для визуализации и отображения результатов.

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, имеют возможность задавать необходимую арифметическую точность, что позволяет получить результаты более высокой точности. Также большинство электронных таблиц могут быть использованы для решения простых задач вычислительной математики.

Вычислительные методы

Вычислительные (численные) методы — это методы решения математических задач в численном виде [3]

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел. В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.

Основами для вычислительных методов являются:

решение систем линейных уравнений; и приближённое вычисление функций; ; ; обыкновенных дифференциальных уравнений;
численное решение уравнений в частных производных (уравнений математической физики);
решение задач оптимизации.

Система линейных алгебраических уравнений

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

< a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m a_x_+a_x_+\dots +a_x_=b_\\a_x_+a_x_+\dots +a_x_=b_\\\dots \\a_x_+a_x_+\dots +a_x_=b_\\\end>>

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁ (1) , c₂ (1) , …, c_n (1) и c₁ (2) , c₂ (2) , …, c_n (2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c₁ (1) = c₁ (2) , c₂ (1) = c₂ (2) , …, c_n (1) = c_n (2) .

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Существуют прямые и итерационные методы решения линейных алгебраических уравнений. Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Интерполяция

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

. (интерполяционный многочлен) -функция — методы построения приближённых кривых — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)

Аппроксимация

Аппроксима́ция, или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например теория приближения функций, численные методы анализа.

Экстраполяция

Экстраполя́ция, экстраполи́рование (от лат. extrā — вне, снаружи, за, кроме и лат. polire — приглаживаю, выправляю, изменяю, меняю [7] ) — особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется вне заданного интервала, а не между заданными значениями.

Численное интегрирование

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.
Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f ( x ) = exp ⁡ ( − x 2 ) )> .

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честь Роджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать

Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников (n=0), формулы трапеций (n=1), формула Симпсона (n=2), формула Ньютона (n=3) и т. д.

Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734—1735 годам (опубликованы в 1740 году). В современных обозначениях оно имело вид:

Начиная с 1743 года, к работам Эйлера присоединился Даламбер, открывший общее решение волнового уравнения для колебаний струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. Эти работы ещё не создали сколько-нибудь завершённой теории.

Второй этап в развитии данной темы можно датировать 1770—1830 годами. К этому периоду относятся глубокие исследования Лагранжа, Коши и Якоби. Первые систематические исследования уравнений в частных производных начал проводить Фурье. Он применил новый метод к решению уравнения струны — метод разделения переменных, позднее получивший его имя.

Новый общий подход к теме, основанный на теории непрерывных групп преобразований, предложил в 1870-х годах Софус Ли.

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Математическая статистика

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений [8] . В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внес А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

Читайте также: