История открытия теоремы пифагора доклад интересный

Обновлено: 05.07.2024

Пифагоровы штаны

Теорема Пифагора для случая равнобедренного прямоугольного треугольника

Фигуры, изображённые на рис. 1 и 2, напоминают простейший орнамент из квадратов и их равных частей — геометрический рисунок, известный с незапамятных времён. Им можно сплошь покрыть плоскость. Математик назвал бы такое покрытие плоскости многоугольниками паркетом, или замощением * . При чём тут Пифагор? Оказывается, он первым решил задачу о правильных паркетах, с которой началось изучение замощений различных поверхностей. Так вот, Пифагор показал, что плоскость вокруг точки могут покрыть без пробелов равные правильные многоугольники только трёх видов: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.

4000 лет спустя

Теперь, почти 4000 лет спустя, мы имеем дело с теоремой-рекордсменом по количеству всевозможных доказательств. Между прочим, их коллекционирование — давняя традиция. Пик интереса к теореме Пифагора пришёлся на вторую половину XIX — начало XX столетия. И если первые коллекции содержали не более двух-трёх десятков доказательств, то к концу XIX века их число приблизилось к 100, а ещё через полвека превысило 360, и это только тех, что удалось собрать по разным источникам. Кто только не брался за решение этой нестареющей задачи — от именитых учёных и популяризаторов науки до конгрессменов и школьников. И что примечательно, в оригинальности и простоте решения иные любители не уступали профессионалам!

Вот какое изящное доказательство получается на основе чертежа из одного древнекитайского трактата (рис. 3), и сразу проясняется его связь с задачей об удвоении площади квадрата.

Первый математик

С. Перкинс. Пифагор

Отделить достижения Пифагора от достижений его учеников невозможно: следуя обычаю, они приписывали собственные идеи и открытия своему Учителю. Никаких сочинений ранние пифагорейцы не оставили, все сведения они передавали друг другу устно. Так что 2500 лет спустя историкам не остаётся ничего иного, кроме как реконструировать утраченные знания по переложениям других, более поздних авторов. Отдадим должное грекам: они хоть и окружали имя Пифагора множеством легенд, однако не приписывали ему ничего такого, чего он не мог бы открыть или развить в теорию. И носящая его имя теорема не исключение.

Такое простое доказательство

Неизвестно, Пифагор сам обнаружил соотношение между длинами сторон в прямоугольном треугольнике или позаимствовал это знание. Античные авторы утверждали, что сам, и любили пересказывать легенду о том, как в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка. Современные историки склонны считать, что он узнал о теореме, познакомившись с математикой вавилонян. Не знаем мы и о том, в каком виде Пифагор формулировал теорему: арифметически, как принято сегодня, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или геометрически, в духе древних, — квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Считается, что именно Пифагор дал первое доказательство теоремы, носящей его имя. Оно, конечно, не сохранилось. По одной из версий, Пифагор мог воспользоваться разработанным в его школе учением о пропорциях. На нём основывалась, в частности, теория подобия, на которую опираются рассуждения. Проведём в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высоту к гипотенузе c. Получим три подобных треугольника, включая исходный. Их соответствующие стороны пропорциональны, a : с = m : a и b : c = n : b, откуда a 2 = c · m и b 2 = c · n. Тогда a 2 + b 2 = c · (m + n) = c 2 (рис. 4).

Чертёж к возможному доказательству Пифагора

Такое доказательство не противоречило представлениям пифагорейцев о соизмеримости: изначально они считали, что отношение длин любых двух отрезков, а значит, и площадей прямолинейных фигур, можно выразить с помощью натуральных чисел. Никакие другие числа они не рассматривали, не допускали даже дробей, заменив их отношениями 1 : 2, 2 : 3 и т. д. Однако, по иронии судьбы, именно теорема Пифагора привела пифагорейцев к открытию несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Все попытки численно представить длину этой диагонали — у единичного квадрата она равна √2 — ни к чему не привели. Проще оказалось доказать, что задача неразрешима. На такой случай у математиков есть проверенный метод — доказательство от противного. Кстати, и его приписывают Пифагору.

Существование отношения, не выражаемого натуральными числами, положило конец многим представлениям пифагорейцев. Стало ясно, что известных им чисел недостаточно для решения даже несложных задач, что уж говорить обо всей геометрии! Это открытие стало поворотным моментом в развитии греческой математики, её центральной проблемой. Сначала оно привело к разработке учения о несоизмеримых величинах — иррациональностях, а затем — и к расширению понятия числа. Иными словами, с него началась многовековая история исследования множества действительных чисел.

Мозаика Пифагора

* Паркет, или замощение, — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

История теоремы Пифагора насчитывает несколько тысячелетий. Утверждение, гласящее, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, было известно еще задолго до рождения греческого математика. Однако теорема Пифагора, история создания и доказательства ее связываются для большинства именно с этим ученым. Согласно некоторым источникам, причиной тому послужило первое доказательство теоремы, которое было приведено Пифагором. Однако часть исследователей опровергает этот факт.

Музыка и логика

Мудрец учился у великих умов того времени. Среди преподавателей молодого Пифагора значатся Гермодамант и Ферекид Сиросский. Первый привил ему любовь к музыке, второй обучил философии. Обе эти науки останутся в центре внимания ученого на протяжении всей его жизни.

Обучение длиной в 30 лет

По одной из версий, будучи пытливым юношей, Пифагор покинул родину. Он отправился искать знаний в Египет, где пробыл, согласно разным источникам, от 11 до 22 лет, а затем попал в плен и был отправлен в Вавилон. Пифагор смог извлечь пользу из своего положения. В течение 12 лет он изучал математику, геометрию и магию в древнем государстве. На Самос Пифагор вернулся только в 56 лет. Здесь в то время правил тиран Поликрат. Пифагор не смог принять такую политическую систему и вскоре отправился на юг Италии, где располагалась греческая колония Кротон.

Сегодня нельзя точно утверждать, был ли Пифагор в Египте и Вавилоне. Возможно, он покинул Самос позже и отправился сразу в Кротон.

Пифагорейцы

История теоремы Пифагора связана с развитием созданной греческим философом школы. Это религиозно-этическое братство проповедовало соблюдение особого образа жизни, изучало арифметику, геометрию и астрономию, занималось исследованием философской и мистической стороны чисел.

Все открытия учеников греческого математика приписывались ему. Однако история возникновения теоремы Пифагора связывается древними биографами только с самим философом. Предполагается, что он передал грекам знания, полученные в Вавилоне и Египте. Есть также версия, что он действительно открыл теорему о соотношениях катетов и гипотенузы, не зная о достижениях других народов.

Теорема Пифагора: история открытия

В некоторых древнегреческих источниках описывается радость Пифагора, когда ему удалось доказать теорему. В честь такого события он приказал принести жертву богам в виде сотни быков и устроил пир. Некоторые ученые, однако, указывают на невозможность такого поступка из-за особенностей воззрений пифагорейцев.

Как бы то ни было, но первым, кто сформулировал теорему, все-таки был не Пифагор.

Древний Египет и Вавилон

Знали теорему Пифагора и в Вавилоне. На глиняных табличках, датируемых 2000 годом до н.э. и относимых ко времени правления царя Хаммурапи, обнаружен приблизительный расчет гипотенузы прямоугольного треугольника.

Индия и Китай

Таким образом, история теоремы Пифагора к моменту рождения греческого математика и философа насчитывала уже несколько сотен лет.

Доказательство

Еще одно простое доказательство сочетает геометрию с алгеброй. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами а, в, с вычерчиваются так, что образуют два квадрата: внешний со стороной (а + в) и внутренний со стороной с. При этом площадь меньшего квадрата будет равна с 2 . Площадь большого вычисляется из суммы площадей маленького квадрата и всех треугольников (площадь прямоугольного треугольника, напомним, вычисляется по формуле (а * в) / 2), то есть с 2 + 4 * ((а * в) / 2), что равно с 2 + 2ав. Площадь большого квадрата можно вычислить и иначе — как произведение двух сторон, то есть (а + в) 2 , что равно а 2 + 2ав + в 2 . Получается:

а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав,

История теоремы Пифагора, кратко изложенная в статье, развенчивает миф о ее происхождении. Однако трудно даже представить, что имя великого греческого математика и философа когда-нибудь перестанет ассоциироваться с ней.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это

простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых

начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.), свидетельствует о гигантском числе её конкретных реализаций.

Цели и задачи

Основная цель работы состояла в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитие науки и техники многих стран и народов мира, а также в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы.

Основной метод, который использовали в работе, - это метод систематизации и обработки данных.

Привлекая информационные технологии, разнообра зили материал различными красочными иллюстрациями.

Будь справедлив и в словах, и в поступках своих. Пифагор (ок. 570- ок. 500 гг. до н. э.)

Древнегреческий философ и математик, просла вившийся своим учением о космической гармонии и переселении душ. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Многое в учении Платона восходит к Пифагору и его последова телям.

Письменных документов о Пифагоре Самосском, сыне Мнесарха, не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. (Электронная энциклопедия : Star World ) Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у бере гов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи - пифагорейцы - образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Ита лии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звёздчатому пятиугольнику - пентаграмме. Но Пифагору пришлось удалиться в Метапонт, где он и умер. Позднее, во второй половине V до н. э., его орден был разгромлен.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и рели гия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной матема тикой.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тай на мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей дру гого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (великая теорема Ферма).

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учение о подо бии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг солнца. Когда в XVI веке церковь начала ожесточённо преследо вать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским. (Энциклопедический словарь юного математика : Э-68. А. П. Савин. - М .: Педагогика, 1989, с. 28.)

В античности Пифагор был известен более всего как проповедник оп ределенного образа жизни. Центральным в его учении было представле ние о реинкарнации (переселении душ), что, разумеется, предполагает способность души переживать смерть тела, а значит ее бессмертие. Поскольку в новом воплощении душа может переселиться в тело животного, Пифагор был противником умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже заявлял, что не следует иметь дело с теми, кто забивает животных или разделывает их туши. Насколько можно судить по сочинениям Эмпедокла, разделявшего религиозные воззрения Пифагора, пролитие крови рассматривалось здесь в качестве первородного греха, за который душа изгоняется в бренный мир, где она блуждает, будучи заключена то в одно, то в другое тело. Душа страстно желает освобождения, но по невежеству неизменно повторяет греховное деяние.

Избавить душу от нескончаемой череды перевоплощений может очищение. Простейшее очищение заключается в соблюдении некоторых запретов (например, воздержание от опьянения или от употребления в пищу бобов) и правил поведения (например, почитание старших, законопослушание и негневливость).

Пифагорейцы высоко ценили дружбу, и по их понятиям все имущество друзей должно быть общим. Немногим избранным предлагалась высшая форма очищения - философия, т. е. любовь к мудрости, а значит стремление к ней (слово это, как утверждает Цицерон, было впервые употреблено Пифагором, который назвал себя именно не мудрецом, а любителем мудрости). С помощью этих средств душа приходит в соприкосновение с принципами космического порядка и становится им созвучной, она освобождается от своей привязанности к телу, его беззаконных и не упорядоченных желаний. Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

В последующие столетия фигура самого Пифагора была окружена
множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном,
полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен преподавать в
одно и то же время в двух местах. Отцы раннехристианской церкви ответ
ли Пифагору почетное место между Моисеем и Платоном. Еще в XVI в[
были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки |.:
но и магии. (Электронная энциклопедия : Star World .).

Пифагору (570—490 гг. до н. э.) принадлежит доказательство знаменитой теоремы о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Пифагор родился на острове Самос. Считается, что он побывал и в Египте, и в Вавилоне, но в конце концов поселился в Кротоне — греческой колонии на юге Италии. Там он основал пифагорейский религиозно-мистический союз. Его члены были вегетарианцами, проповедовали аскетизм и считали основой всего число. Среди последователей Пифагора были знатные люди, которые практически захватили власть в Кротоне. Это вызвало недовольство, наука смешалась с политикой, и Пифагору пришлось покинуть город. А после его смерти пифагорейский союз был разгромлен.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу называется гипотенуза. Стороны треугольника, прилегающие к прямому углу — это катеты . Теорема о вычислении длины гипотенузы была известна ещё вавилонянам в 1700 — х гг. до н. э., но Пифагор, вероятно, был первым, кто её доказал, поэтому теорема носит его имя. Сейчас известно более 350 разных способов доказать верность теоремы Пифагора, ни одна другая теорема не имеет столько доказательств. Теорема Пифагора в формулировке Пифагора: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Современная формулировка теоремы Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (с) равен сумме квадратов длин катетов (а, b): с 2 = а 2 + b 2 .

Теорема Пифагора широко применяется на практике, например в мобильной связи. Нужно определить высоту АВ антенны (вышки), чтобы сигнал от неё передавался на расстояние 30 км, до точки С.

ВС — касательная к окружности Земли, следовательно, она перпендикулярна радиусу Земли ОС. Имеется прямоугольный треугольник ВСО, его гипотенуза — ОА + АВ (высота антенны + радиус Земли 6371 км). Известна длина его катетов:

Читайте также: