Геометрические преобразования плоскости доклад

Обновлено: 03.07.2024

Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F", то говорят, что фигура F" - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F". Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F", а затем фигура F" переводится в фигуру F"", то отображение, переводящее F в F"" называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением . Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным . Пусть фигура F" получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Движением называется отображение плоскости на себя при которром сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

Докозательство : пусть движение переводит точки A, B, C в точки A", B", C". Тогда выполняются равенства

A"B"=AB , A"C"=AC , B"C"=BC (1)

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A"C"+B"C"=A"C". А из этого следует, что точка B" лежит между точками A" и C". Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A", B", C" лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A", B", C" следовтельно точки A", B", C" должны быть вершинами треуголька, следовтельно точки A", B", C" не должны лежать на одной прямой.

Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:

Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

На плоскости существуют четыре типа движений:

Рассмотрим подробнее каждый вид.

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X" и Y", что XX"=YY" или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса . Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X" и Y" соответственно. Тогда выполняется равенство XX"=YY". Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X"Y", откуда получаем, что во-первых XY=X"Y", то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X"Y", то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.

Точки X и X" называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX". Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X", симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).

Возьмем любые две точки A(x 1 , y 1 ) и B(x 2 , y 2 ) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A"(x 1 ,- y 1 ) и B"(x 2 , -y 2 ). Вычисляя растояния A"B" и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X", что, во-первых, OX"=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX" откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол - углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X" и Y". Покажем, что X"Y"=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X"OY" равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY" равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY"):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX"=OX, и OY"=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X"Y"=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X"Y" будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX", OY". Поэтому и в этом случае X"Y"=XY. Итак, поворот является движением.

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с цетром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X", что точка O является серидиной отрезка XX".

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно,пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X". Тогда угол XOX"=180 градусов, как развернутый, и XO=OX", следовтельно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные .То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответсвуют точки X" и Y", то

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX", то, очевидно,

Учитывая это находим вектор X"Y":

Таким образом X"Y"=-XY.

Даказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."

О симметрии фигур

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична) , если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

Например, фигура обладает поворотной симметрией , если она переходит в себя некоторым поворотом.

Рассмотрим симметрию некоторых фигур:

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противополжной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X" и Y", что X"Y"=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F" с коэффициентом k , если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F".

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X", что OX" = kOX, причем не ислючается и возможность k

Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на k. Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффффициентом k перешли в точки A" и B", то

Пусть точка O- центр гомотетии. Тогда OA" = kOA, OB" = kOB. Поэтому A"B" = OB" -OA" = kOB-kOA = k(OB-OA) = kAB.

Из равнетсва A"B" = kAB следует, что A"B" = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.

Отметим, что любое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения.

Преобразование линии, фигуры, плоскости. Определение и виды движения. Особые свойства переноса. Понятие центральной и осевой симметрии. Доказательство признаков равенства треугольников. Использование поворота отрезков при решении геометрических задач.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	03.10.2019
Размер файла	412,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Теоретическая справка

1.1 Преобразования пространства

1.3 Свойства движений

1.4 Виды движений

1.4.1 Параллельный перенос.

1.4.2 Осевая симметрия

1.4.3 Центральная симметрия

2. Применение движений при решении задач

2.1 Задачи на доказательство

2.2 Задачи на вычисление

2.3 Задачи на построение

2.4 Задачи с практическим содержанием

Мотивом написания работы послужили впечатления от выставки гравюр Маурица Корнелиуса Эшера. Мне захотелось разобраться, что стоит за столь необычными образами художника. Я знала, что некоторые его рисунки - это двухмерный орнамент.

Меня в большей степени заинтересовал вопрос практического применения движения (как в случае описания всех возможных видов орнаментов), то есть цель моей работы - познакомиться с методом движения. Я узнала, что, кроме орнаментов, движение используется в задачах на построение фигур с помощью циркуля и линейки, на доказательство и вычисления, построение графиков с помощью преобразований - все те же движения плоскости.

1. Теоретическая справка

1.1 Преобразования плоскости

Пусть дано некоторое правило, по которому для каждой точки A плоскости можно указать некоторую точку A'.

Рассмотрим на плоскости некоторую фигуру F, например, отрезок, кривую линию, треугольник, окружность и т. д. При заданном преобразовании каждая точка A фигуры F перейдет в новую точку A'. Геометрическое место всех преобразованных точек, получившихся из точек фигуры F в результате данного преобразования, образует некоторую фигуру F' . В этом случае говорят, что фигура F' получена преобразованием фигуры F .

Может случиться, что при рассматриваемом преобразовании некоторые точки и целые фигуры переходят сами в себя, т. е. остаются неизменными. Точки и фигуры, не меняющиеся при данном преобразовании, т. е. преобразующиеся сами в себя, называются неподвижными относительно данного преобразования.

Если при данном преобразовании разным точкам фигуры соответствует разные образы, то преобразование называют взаимно однозначным. В этом случае можно задать преобразование, обратное преобразование f'. Оно определяется так: если при данном преобразовании f точке Х сопоставляется точка Х', то при обратном преобразовании точке Х' сопоставляется точка Х.

1.2 Определение движения

Самыми важными являются такие преобразования фигур, при которых сохраняются все их геометрические свойства: расстояния между точками, углы, площади, параллельность отрезков и т. д.

Оказывается, для этого достаточно потребовать сохранения лишь расстояний между точками данной фигуры. Тогда у полученной фигуры сохраняются и все остальные геометрические свойства, поскольку они зависят только от расстояний.

Определение. Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры.

Подробнее: фигура N получена движением фигуры M, если любым точкам X, Y фигуры M сопоставляются такие точки X', Y' фигуры N, что X'Y'=XY.

1.3 Свойства движений

Свойство 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, - в три точки, не лежащие на одной прямой.

Свойство 2. Отрезок движением переводится в отрезок.

Свойство 3. При движении луч переходит в луч, прямая - в прямую.

Свойство 4. Треугольник движением переводится в треугольник.

Свойство 5. Движение сохраняет величины углов.

Свойство 6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Свойство 7. Движение обратимо. Преобразование, обратное движению, является движением.

1.4 Виды движений

1.4.1 Параллельный перенос

Преобразованием плоскости, при котором каждая точка перемещается в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор переноса.

Особые свойства переноса:

- параллельный перенос сохраняет направление;

- у параллельного переноса нет неподвижных точек.

1.4.2 Осевая симметрия

Возьмем на плоскости ось a. Для каждой точки A плоскости построим точку A' так, чтобы отрезок AA' был перпендикулярен к оси a и делился ею пополам. Такая точка A' называется симметричной точке A относительно оси a. Ясно, что если точка A' симметрична A, то A симметрична A' относительно той же оси a.

Преобразование плоскости, при котором каждая точка А преобразуется в симметричную ей относительно оси a точку А', называется преобразованием осевой симметрии или просто осевой симметрией.

Геометрическое место точек, симметричных точкам фигуры F относительно оси a, образует фигуру F', которая называется симметричной фигуре F относительно оси a.

Особые свойства осевой симметрии:

-прямые х и х', симметричные относительно оси а, либо пересекаются в точке, лежащей на оси а, образуя при этом равные угла с а, либо параллельны и равноудалены от оси а

-Множество неподвижных точек при осевой симметрии - прямая(ось симметрии).

1.4.3 Центральная симметрия

Возьмем на плоскости точку O, называемую центром. Для каждой точки A плоскости построим точкуA' - такую, что отрезок AA' проходит через центр O и делится им пополам.

Такая точка A' называется симметричной точке A относительно центра симметрии O.

Очевидно, что если точка A' симметрична точке A, то и наоборот, точка A симметрична точке A' относительно центра O.

Преобразование, переводящее каждую точку A плоскости в точку A', симметричную ей относительно центра O, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Геометрическое место точек, симметричных точкам фигуры F относительно центра O, образует фигуру F', которая называется симметричной фигуре F относительно центра O.

Особые свойства центральной симметрии:

-отрезки AB и A'B', симметричные относительно центра O, либо параллельны, либо лежат на одной прямой;

-прямые a и a', симметричные относительно центра O, либо параллельны, либо совпадают;

-центральная симметрия изменяет направление на противоположное.

1.4.4 Поворот

Пусть дана точка O. На окружности с центром O можно указать два направления обхода - по часовой стрелке и против нее. Этим задаются также два направления отсчета углов от идущих из точки O лучей - по часовой стрелке и против нее.

Поворот фигуры F вокруг центра O на данный угол (0 180) в данном направлении определяется так: каждой точке X фигуры F сопоставляется такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых, X'OX= и, в-третьих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении.

Точка O называется центром поворота, а угол - углом поворота.

-неподвижная точка поворота - его центр.

2. Применение движений при решении задач

Метод геометрических преобразований применяется при решении задач на доказательство, построение фигур с помощью циркуля и линейки, вычисление длин и углов. В ряде случаев он дает наиболее простые и изящные решения.

2.1 Задачи на доказательство

Рассмотрим задачу на доказательство из курса геометрии 8 класса.

ЗАДАЧА 1. Докажите, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Решение. Рассмотрим симметрию с осью СД. При этой симметрии окружность и прямая АВ переходят сами в себя, значит точки их пересечения переходят друг в друга, и отрезок АК переходит в отрезок КВ, следовательно, эти отрезки равны.

Предложенное решение нагляднее решения через равенство треугольников, не требует дополнительного построения.

ЗАДАЧА 2. Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

Решение: 1) Известно, что площадь треугольника не превосходит половины произведения двух смежных сторон. Чтобы использовать этот факт, необходимо в данном четырехугольнике из противоположных сторон сделать смежные.

2) Отобразим сторону АД относительно серединного перпендикуляра р к диагонали АС. Точка Д перейдет в Д', АД>СД', ДС>АД'.

3) S(АВСД) = S(АВСД') =S(ВАД') + S(ВСД') ? ЅАВ·АД' + ЅВC·СД' = Ѕ(АВ·СД+ВС·АД).

С помощью симметрии дается определение равных фигур и доказываются признаки равенства треугольников ( хотя в 7 классе не рассматривается строгое определение движений). Используя движения и их свойства, легко доказать свойства и признаки равнобедренного треугольника, свойство серединного перпендикуляра, признаки параллелограмма.

2.2 Задачи на вычисление

ЗАДАЧА 3 В равностороннем треугольнике АВС внутри взята точка М так, что АМ=1, ВМ=, СМ=2. Найти сторону треугольника и углы АМВ, ВМС.

Решение. 1) Повернем ДАСМ вокруг точки С на 60° так, чтобы точка а перешла в точку В, тогда С>С, А>В, М>Д, то есть ДАСМ переходит в ДСДВ.

2) По определению поворота СМ=СД и угол МСД равен 60°, значит ДСМД - равносторонний (СМ=СД=ДМ).

3) ДВДМ по обратной теореме Пифагора прямоугольный (), тогда LМВД=90°, L1=30°( ВД=ЅМД), L2=60°.

4) Найдем нужные углы: LСМД=L1+60°, LАМВ=180°-30°=150°.

5) ДВМС - прямоугольный ( LСМВ=90°), тогда по теореме Пифагора найдем ВС:

ВСІ=СМІ+ВМІ=4+3=7, то есть ВС=.

Эту задачу можно решить без помощи поворота, используя, например, теорему косинусов. При этом решение не будет длиннее, но будет алгебраически значительно сложнее приведенного решения.

ЗАДАЧА 4. Диагонали четырехугольника АВСД перпендикулярны и равны. Найдите угол АВС, если АВ=1, ВС=.

Решение:1) Повернем отрезок СД на 90° вокруг точки В.

2) Получим: С>С', Д>Д', отрезок СД>С'Д', тогда ВД=ВД'(опред. поворота)=АС(усл),

ВД'||АС( как перпендикуляры к прямой ВД). Значит, АВД'С - параллелограмм и СД'=1.

3) Из ?ВС'С найдем угол ВСС'(45°), так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, и СС'=2. Из ДС'Д'С( прямоугольного по обратной теореме Пифагора) найдем угол С'СД'(60°).

2.3 Задачи на построение

Воспользуемся методом создания новой фигуры при решении задач на построение. Я не буду приводить полное решение, а только анализ, так как моя цель - продемонстрировать применение движений.

ЗАДАЧА 5. Построить трапецию по четырем сторонам.

Анализ. Предположим, что заданная трапеция построена. Перенесем сторону СД на вектор СВ, тогда СД>ВМ. Теперь видно, что надо построить ?АВМ по трем сторонам: АВ=с, ВМ=d, АМ= в-а, потом полученный треугольник достроить до нужной трапеции.

ЗАДАЧА 6. Построить трапецию по основаниям, одной боковой стороне и углу, который она составляет с основанием.

Анализ. 1) Предположим, что искомая трапеция построена.

2) Перенесем сторону СД на вектор СВ.

3) Построим ?АВМ по двум сторонам и углу между ними.

4) Достроим треугольник до искомой трапеции.

ЗАДАЧА 7. Построить трапецию по двум основаниям и двум диагоналям.

Анализ. Предположим. что искомая трапеция построена.

1) Перенесем АС на вектор АД

2) Построим треугольник СДХ по трем сторонам: d, с, а+в.

3) Достроим треугольник до искомой трапеции.

В следующей задаче используем такое свойство: в треугольнике при симметрии относительно биссектрисы его угла получается отрезок, равный разности сторон, образующих этот угол, а при симметрии относительно биссектрисы внешнего угла образуется отрезок, равный сумме этих сторон.

ЗАДАЧА 8. Построить прямоугольный треугольник по сумме его катетов и гипотенузе.

Анализ. 1)Предположим, что треугольник построен.

2) При симметрии относительно биссектрисы внешнего угла образуется отрезок В*А=а+в

3) ДВ*СВ - прямоугольный и равнобедренный, значит угол ВВ*С равен 45°

4)Тогда положение точки В можно определить пересечением луча В*В, который составляет с отрезком а+в угол в 45°, и окружности с центром А и радиусом равным с.

ЗАДАЧА 9.Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других углов.

Анализ.1) Пусть искомый треугольник построен.

2)При симметрии относительно серединного перпендикуляра к стороне ВС получается угол АСА*, равный разности углов В и С. Прямая АВ переходит в прямую А*С, по свойству симметрии эти прямые образуют с осью симметрии равные углы, то есть прямая ХО является биссектрисой угла АХА*.

3)Тогда план построения такой: от отрезка АС отложить в одну полуплоскость угол, равный б, а в другую полуплоскость угол, равный г-в. Если сторона одного угла пересечется с продолжением стороны другого в точке Х, то дальше надо построить биссектрису угла АХС. Если пересечения нет, то треугольника с такими данными не существует. Точку В получаем как симметричную к точке С относительно построенной биссектрисы.

Рассмотрим две задачи, где требуется найти на двух фигурах точки , равноудаленные от данной точки. Такие задачи легко решаются, если использовать центральную симметрию. Очевидно, что такие задачи могут иметь практическое применение.

ЗАДАЧА 10. Даны угол С и точка Н внутри него. Требуется построить отрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находится в точке Н.

Анализ. 1)Предположим, искомый отрезок АВ построен.

2)Рассмотрим осевую симметрию относительно точки Н

3) Прямая Ca перейдет в прямую Вb параллельную ей ,точка А перейдет в точку В . Это означает, что В - точка пересечения прямой Сy и образа прямой Ca при симметрии относительно точки Н.

5)Искомый отрезок получается, при продолжении ВН за точку Н до прямой Са.

ЗАДАЧА 11. Через данную точку Н требуется провести прямую, так чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения её с данной прямой и данной окружностью, делится точкой Н пополам.

Анализ. 1)Предположим, что отрезок ВС построен.

2) Рассмотрим осевую симметрию относительно точки Н. Точка В перейдет в точку С, прямая а перейдет в прямую y, параллельную ей.

3)Возможны три случая: а) если прямая y не пересекается с окружностью, это означает, что невозможно построить такой отрезок.

б) Если прямая y является касательной к окружности, это означает, что у этой задачи одно решение.

в) Если прямая y пересекает окружность в двух точках, это означает, что у этой задачи два решения.

4)Положение точки С определяется пересечением данной окружности с образом прямой а при симметрии с центром в точке Н.

Можно продолжить ряд задач, подобных №10 и 11, выбирая произвольно объекты.

ЗАДАЧА 12. Даны прямая AB и две точки F и G по одну сторону от нее. Требуется построить на прямой АВ точку Х так, чтобы FХA=2BХG.

Анализ. 1) Предположим, что искомая точка Х найдена.

2) Точка С симметрична точке точке G относительно данной прямой. По свойству симметрии уголGXA равен углу АХС. Угол АХС равен углу ОХН( вертикальные). Таким образом прямая СХ будет биссектрисой угла FXB.

3)Точки F и Н, симметричны относительно биссектрисы угла, значит они равноудалены от точки С, принадлежащей биссектрисе.

3) Положение точки Н определяется пересечением прямой АВ и окружности с центром С и радиусом СF. А точка Х - это точка пересечения прямой АВ и серединного перпендикуляра к отрезку FН.

2.4 Задачи с практическим содержанием

При изучении литературы мне встретилось несколько задач практического содержания, которые наглядно демонстрируют, что метод движения может применяться в нашей жизни в строительстве, разметке участка, геодезии, картографии.

Самым важным при решении практических задач является переход от текста к математической модели. В геометрии это обычно сводится к правильному построению чертежа. Решив геометрическую задачу, нужно вернуться к практической стороне.

ЗАДАЧА 13. На площадке, имеющей форму параллелограмма, размещен участок прямоугольной формы. Как провести прямую, которая разобьет одновременно и площадку и участок на две равные части?

Решение. Проведем прямую через центры симметрии прямоугольника и параллелограмма.

Прямая, проходящая через центр симметрии, разбивает фигуру на две равные. геометрический движение симметрия треугольник

ЗАДАЧА 14. На земельном участке прямоугольной формы разбит сад, имеющий форму круга. Как провести прямую, которая разобьет одновременно участок и сад на две равные части?

ЗАДАЧА 15. Для снабжения водой двух поселков, расположенных по одну сторону от реки, требуется построить на ее берегу водонапорную башню. Где нужно построить башню, чтобы общая длина труб от башни до обоих поселков была наименьшей?

Переведем задачу на язык математики: на данной прямой найдите такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до двух данных точек была наименьшей.

Решение. Если точки А и В лежат по разные стороны от прямой а, очевидно, что искомая точка - это точка пересечения прямой а и отрезка АВ, так как наименьшее расстояние между точками - длина отрезка, их соединяющего.

Если точки А и В лежат по разные стороны от прямой а, очевидно, что искомая точка - это точка пересечения прямой а и отрезка АВ, так как наименьшее расстояние между точками - длина отрезка, их соединяющего.

Если точки А и В лежат по одну сторону от прямой а, то сначала надо отобразить, например, точку В относительно прямой а. Тогда точка пересечения прямой а и отрезка АС искомая, потому что по свойству симметрии ВМ=СМ.

ЗАДАЧА 16. Между пунктами А и В протекает река (берега ее считаем параллельными).

В каком месте реки следует построить мост, чтобы путь от А до В был кратчайшим?

Решение. Будем считать, что мост перпендикулярен берегам.

Перенесем точку В на вектор d. Найдем точку пересечения отрезка АС и прямой а. Тогда АМ+МН+НВ - наименьшее расстояние. При рассмотрении другого варианта видно, что ширину реки можно не учитывать(она постоянна), а АМ+НВ=АМ+МС

Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки , называется центральной симметрией пространства относительно точки . При этом точка отображается на себя и называется центром симметрии.

Примерами центральной симметрии являются: автомобильное колесо, окружность, куб, шар, снежинка, цветок и тд.

Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия):

Определение.Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.

Свойства: при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскости – в плоскости; сохраняются углы между полупрямыми.

Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости , называется симметрией пространства относительно плоскости . Плоскость называется плоскостью симметрии.

Примеры симметрии относительно плоскости:

Параллельный перенос:

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка отображается на такую точку , что выполняется векторное равенство . Это перенос (движение) всех точек пространства в одном и том же направлении, на одно и то же расстояние

Примеры параллельного переноса:

Осевая симметрия:

Определение. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Определение.Преобразования фигуры в фигуру называется преобразования подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. То есть преобразование, которое сохраняет форму фигуры, но изменяет их размеры.

Определение. Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия .

Можно ли взаимно-однозначно отобразить: а) поверхность куба на поверхность другого куба; б) поверхность куба на сферу; Сделайте соответствующие рисунки.

Решение.а) Достаточно кубы расположить так, чтобы совпали их центры, а грани одного были параллельны граням другого. Тогда поверхность одного куба взаимно-однозначно отображается на поверхность другого куба посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении одного квадрата на другой посредством центрального проектирования.)

б) Достаточно центр сферы совместить с центром куба, тогда поверхность куба взаимно-однозначно отображается на сферу посредством центрального проектирования из их общего центра. (Аналогичная задача планиметрии — о взаимно-однозначном отображении квадрата — замкнутой ломаной — на окружность посредством центрального проектирования.)

Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением . Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным . Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Поворот вокруг точки

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Докозательство : пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда выполняются равенства

A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A', B', C' следовтельно точки A', B', C' должны быть вершинами треуголька, следовтельно точки A', B', C' не должны лежать на одной прямой.

Отрезок движение переводится в отрезок.

При движении луч переходит в луч, прямая в пррямую.

Треугольник движением переводится в треугольник.

Движение сохраняет величины углов.

При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

Композиция двух движений также является движением.

Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:

Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

На плоскости существуют четыре типа движений:

Поворот вокруг точки

Рассмотрим подробнее каждый вид.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X' и Y', что XX'=YY' или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса . Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y' соответственно. Тогда выполняется равенство XX'=YY'. Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X'Y', откуда получаем, что во-первых XY=X'Y', то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X'Y', то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX'. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X', симметричная X относительно a.

Возьмем любые две точки A(x 1 , y 1 ) и B(x 2 , y 2 ) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A'(x 1 ,- y 1 ) и B'(x 2 , -y 2 ). Вычисляя растояния A'B' и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол ( ) в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол - углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X' и Y'. Покажем, что X'Y'=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X'OY' равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY' равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY'):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X'Y'=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X'Y' будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX', OY'. Поэтому и в этом случае X'Y'=XY. Итак, поворот является движением.

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с цетром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серидиной отрезка XX'.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно,пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовтельно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,

Учитывая это находим вектор X'Y':

Таким образом X'Y'=-XY.

О симметрии фигур

Например, фигура обладает поворотной симметрией , если она переходит в себя некоторым поворотом.

Рассмотрим симметрию некоторых фигур:

Отрезок имеет две оси симметрии (серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок) и центр симметрии (середина).

Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет однуось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120°.

У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота .

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противополжной стороны.

Любая прямая, проходящая через центр окружности является ее осью симметрии, окружность также обладает поворотной симметрией, причем угол поворота может быть любым.

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k , если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на k . Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффффициентом k перешли в точки A' и B', то

Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB.

Из равнетсва A'B' = kAB следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.

Некоторые свойства гомотетии

Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

Гомотетия сохраняет величину углов.

Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k 1 и k 2 ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.

Подобие отрезок переводит в отрезок.

Подобие сохраняет величину углов.

Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны

В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k 2 .

Композиция подобий с коэффициентами k 1 и k 2 есть подобие с коэффициентом k 1 k 2 .

Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/k.

Аффинные преобразования

. . Глава II.Аффинные 2.1 Аффинные плоскости Аффинным α называется такое плоскости, которое всякую прямую .

Композиции преобразований

. логическим продолжением темы композиций геометрических плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно .

Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах

. инверсии (с положительной степенью). Значит, всякое плоскости, задаваемой формулой , есть обобщенная инверсия . , то и для нее все очевидно. ■ 2º. плоскости, представляющее собой последовательно выполненную дважды .

Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

. прямолинейных координат преобразуются точки плоскости. В аффинных плоскости особую роль играют . порядка можно описать любое аффинное плоскости. Считая, h = 1, сравним две записи:  (x * y * 1) = (x y 1)  .

Трансформация преобразований

. , решаемых с помощью трансформации В основном в работе рассматриваются плоскости, если не оговорено иное . сдвига движением Сдвигом называется аффинное плоскости, при котором произвольная точка А смещается .

Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

. z этой точки М. Известно, что аффинное плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах .

Преобразования в России в начале XX века

. хх века План Смысл в России в начале хх в. . итоги. Признание невозможности реформ. №1 Смысл в России в начале ХХв. Столыпин пришёл . идея конфискации помещичьей земли находилась в плоскости практического решения, а в настоящий .

Преобразования фигур

. точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости . гомотетии переводит точку A в точку A’ на . . Точка X' называется симметричной точке X относительно плоскости a, а которое переводит X в симметричную ей точку .

Преобразования плоскости, движение

- 1 - Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè Îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà ñåáÿ Îòîáðàæåíåì ïëîñîñòè íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðîçîâàíèå, ÷òî êàæäîé òî÷êå èñõîäíîé ïëîñêîñòè ñîïîñòàâëÿåòñÿ êàêàÿ-òî òî÷êà ýòîé æå ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ëþáàÿ ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè îêàçûâàåòñÿ .

Трёхмерная компьютерная графика

. части - нулевая матрица. Аналогично уравнения плоскостей задаются следующим образом: [ВТ][VТ . проецирование на некоторую двумерную плоскость. Полное перспективное приводит к искажению трехмерного тела .

Читайте также: