Доклад симметрия относительно плоскости

Обновлено: 17.05.2024

Доклад по геометрии:Симметрия относительно плоскости

Симметрия относительно плоскости - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам.

Можно доказать, что симметрия относительно плоскости есть движение, т.е. при этой симметрии сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки --- в равные им отрезки, плоскости --- в плоскости.
Следует отметить, что две симметричные фигуры или две симметричные части одной фигуры при всем их сходстве, равенстве объемов и площадей поверхностей, в общем случае, неравны, т.е. их нельзя совместить друг с другом, это разные фигуры.
Фигура симметрична относительно некоторой плоскости, если при симметрии относительно этой плоскости фигура переходит сама в себя. Такая плоскость называется плоскостью симметрии фигуры.Предметы могут иметь одну, две, три и т.д. плоскостей симметрии.Например, сфера и шар симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их центр, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их ось, правильная n-угольная пирамида при четном n симметрична относительно любой плоскости, проходящей через ее высоту и наибольшую диагональ основания. Аналогично для правильной призмы.

Пусть --- произвольная фиксированная плоскость. Из точки фигуры опускаем перпендикуляр на плоскость и на его продолжении за точку откладываем отрезок, равный . Точка называется симметричной точке относительно плоскости , а преобразование, которое переводит точку в симметричную ей точку , называется преобразованием симметрии относительно плоскости .

Если точка лежит в плоскости , то считается, что точка переходит в себя.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости , а плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Вспомогательные образы (плоскости, точки, прямые и т.д.), с помощью которых устанавливается симметрия, называются элементами симметрии.

Определение Симметрия относительно плоскости - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одной стороне плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам. Плоскость при этом называется плоскостью симметрии. М К  М1 К1

Две фигуры называются симметричными относительно плоскости , если преобразование симметрии относительно этой плоскости переводит одну из них в другую. Фигура Ф в пространстве называется симметричной, если она симметрична сама себе.

Симметричные фигуры В трехмерном мире пространственных тел, где мы с вами живем, существуют плоскости симметрии. При взгляде на круглые тела сразу видно, что они имеют плоскости симметрии, но вот сколько именно — решить не всегда просто. На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. Поэтому нас не должно удивлять, что в. пространстве аналогичные свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры из жизни: сигарета, сигара, стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.

Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии Куб имеет центр симметрии - центр куба,9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии

Симметрия встречается в физике, биологии, в архитектуре, в религии и искусстве

Симметрия в природе

Симметрия в архитектуре

Симметрия в танце

Симметрия в одежде

Симметрия в архитектуре г. Санкт- Петербурга Александринский театр Исаакиевский собор

Улица Росси имеет плоскость симметрии в общем обзоре, но не все детали в архитектуре зданий симметричны.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Симметрия в пространстве"

Симметрия – один из законов, обеспечивающих гармонию вселенной. Именно о симметрии мы сегодня и поговорим.

Это понятие для нас уже знакомое – в планиметрии мы уже говорили о центральной и осевой симметриях. Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведем примеры таких фигур из жизни и геометрии. Например, бабочка обладает осью симметрии. У бабочки крылья симметричны относительно брюшка, кленовый лист симметричен относительно одной из центральных жилок. Вообще в нашей жизни очень много примеров осевой симметрии. В геометрии к фигурам с осевой симметрией относятся: прямоугольник, равнобедренный треугольник, ромб и другие.

Напомним, что фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы. В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей).

В стереометрии мы будем говорить о симметрии относительно точки, прямой и плоскости.

Точки А и A₁ называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA₁. Точка О называется центром симметрии. Точка О считается симметричной сама себе.

Точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой a, если прямая a проходит через середину отрезка AA₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Прямая a называется осью симметрии. Каждая точка прямой А считается симметричной самой себе.

Точки А и A₁ называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка AA₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Плоскость α называется плоскостью симметрии.

Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.

Теперь давайте введем понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры.

Точка, прямая или плоскость называется соответственно центром, осью или плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр, ось или плоскость симметрии, то, говорят, что она обладает центральной, осевой или зеркальной симметрией.

Например, если рассмотреть прямоугольный параллелепипед, то у него есть центр симметрии – точка пересечения диагоналей параллелепипеда, ось симметрии, и плоскости симметрии.

Фигура может иметь один или несколько центров симметрии, осей симметрии, плоскостей симметрии.

Есть фигуры, которые имеют бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими такими фигурами будут плоскость и прямая.

Но есть фигуры, у которых нет ни центров, ни осей ни плоскостей симметрии. Например, произвольная призма и пирамида, если они не являются прямыми или правильными не имеют ни осей, ни центров, ни плоскостей симметрии.

В таких случаях говорят об асимметрии. Термин асимметрия обозначает отсутствие симметрии.

В жизни очень много примеров симметрии: в архитектуре, быту, биологии.

Почти все кристаллы, которые встречаются в природе, имеют центр, ось и плоскость симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.

Но природа загадала очень много загадок. Например, зачем она дублировала некоторые части в наших организмах: ноги, руки, некоторые внутренние органы.

Глядя на лицо человека, можно предположить, что наши лица симметричны, но на самом деле человек асимметричен.

Компьютерные программы сегодня предоставляют широкую возможность убедится в этом. Например, если взять правую половину лица, отразить ее зеркально и составить из получившихся частей целое лицо, потом проделать такую же операцию с левой половиной лица, то лица получатся абсолютно разные. Почему так происходит? Никто не даст вам точного ответа. Как не ответят вам на вопрос: почему на лице глаза парные, а нос и рот нет. Это загадки природы.

Выполним несколько практических заданий.

Задача. Даны три точки , и . Построить точку, симметричную точке относительно середины отрезка .

Задача. Какие из букв , , , , имеют центр симметрии?

Решение:

Решим еще одну задачу.

Задача. Даны две точки и , симметричные относительно некоторой прямой, и точка . Построить точку, симметричную точке относительно той же прямой.

Задача. Какие из букв , Б, Г, Е имеют ось симметрии?

Подведем итоги урока:

Сегодня на уроке мы рассмотрели симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Симметрия сопровождает человека по жизни постоянно: в архитектуре, технике, искусстве и медицине. Понятие симметрии понятно каждому на уровне интуиции, но сегодня мы разберем понятие симметрии в пространстве с точки зрения геометрии.

Что такое симметрия?

Симметрией называют свойство геометрических фигур, расположенных на одном расстоянии относительно некой точки (центра симметрии) или прямой (оси симметрии). Выделяют три основные вида симметрии:

Симметрия относительно точки или центральная симметрия.
Симметрия относительно прямой или осевая симметрия.
Симметрия относительно плоскости, которую также называют плоскостной или зеркальной симметрией.

В архитектуре существует множество расширенных определений из геометрии. Это позволяет архитекторам проектировать красивые и функциональные здания. Так, в архитектуре выделяют понятия симметрии движения, разделяя ее на переносную и поворотную симметрии.

Центральная симметрия

Для того, чтобы проверить, симметрична ли одна фигура другой относительно точки, следует провести линию от каждой точки объекта через центр симметрии ко второму изображению.

Если обозначить такой отрезок АВ, а центр симметрии точкой О, то объекты можно называть симметричными, если АО=ОВ, то есть если точка О находится в середине такого отрезка. Так проверяется каждый отрезок между каждыми точками объектов симметрии. Если условия для каждого объекта совпадают, то объекты считаются симметричными.

Рис. 1. Центральная симметрия.

Осевая симметрия

Для того, чтобы проверить, симметрична ли одна фигура другой относительно оси, следует провести отрезок от каждой точки одного объекта к соответствующей точке другого.

Этот отрезок должен быть перпендикулярен оси симметрии, а также делиться осью симметрии пополам. Если оба условия выполняются для каждого из отрезков: объекты считаются симметрией относительно оси.

Рис. 2. Осевая симметрия.

Симметрия в пространстве

Симметрия относительно плоскости это более интересная тема, чем симметрия в плоскости, но основы остаются теми же.

Плоскость в пространстве является аналогом прямой в плоскости, поэтому многие принципы работы с прямыми в плоскости переносятся на пространство.

Для того, чтобы определить является ли один объект в пространстве симметричным другому относительно плоскости, следует от каждой точки объекта провести прямую к каждой соответствующей точке второго объекта. Эта прямая должна пересекать плоскость и быть перпендикулярной ей. Тогда, если плоскость делит прямую на два равных отрезка, то объекты считаются симметричными относительно плоскости.

В этом случае плоскость превращается в условное зеркало, которое отражает один объект относительно другого, поэтому симметрия и называется зеркальной. Именно поэтому наиболее ярким примером зеркальной симметрии считается отражение в зеркале.

Рис. 3. Зеркальная симметрия точек.

Что мы узнали?

Мы вспомнили все виды симметрии, обсудили различия видов симметрии на плоскости и в пространстве. Сказали, как определить симметрию двух объектов относительно точки, прямой и плоскости. Отдельно поговорили о зеркальной симметрии относительно плоскости.

Читайте также: