Доклад на тему вещественные числа

Обновлено: 25.06.2024

Данная статья посвящена теме "Действительные числа". В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа - это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0 ; 6 ; 458 ; 1863 ; 0 , 578 ; - 3 8 ; 26 5 ; 0 , 145 ( 3 ) ; log 5 12 .

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел - вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Натуральные числа.
Целые числа.
Десятичные дроби.
Обыкновенные дроби.
Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin 2 3 π · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 и t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 - действительные числа.

Числа для ЭВМ записывают в экспоненциальной форме – так называемое нормализованное представление. Они компактны и удобочитаемы для человека. Рассмотрим, что такое вещественные числа, приведём их примеры. Разберёмся, из каких частей состоят.

Вещественные числа: что это

В математике величина числа не ограничена, в информатике она определяется количеством разрядов. Существует понятие переполнения разрядной сетки. Это ситуация, когда число состоит из большего количества символов, чем предполагает вычислительное устройство, например, при наличии четырёх разрядов записать число больше 9999 невозможно – недостаточно знаков.

Для решения проблемы достаточно перенести запятую на один символ влево или представить число как умноженное на 10 в n-й степени: 1000 * 10 или 100 * 102.

Вещественные числа – это способ записи чисел в информатике с так называемой плавающей запятой. Это оптимальное решение между точностью, занимаемым объёмом и удобством работы с диапазоном принимаемых значений для вычислительной техники. К ним относят натуральные, дробные, иррациональные, в том числе числа с нулевой дробной частью.

Из чего состоит

Мантисса m – целое значение с фиксированной длиной без учёта порядка.
Знак мантиссы – указывает на положительность либо отрицательность, причем в первом случае знак плюс обычно не ставится, минус указывается обязательно.
Порядок, основания экспоненты n – указывает на степень основания числа, на сколько знаков нужно перенести запятую.
Знак порядка p – показывает, в какую сторону переносится запятая.

Записывается в виде R = m * n p .

0,123456 = 123*10-3 = 12*10-4;
7654321 = 7654321*102 = 765,4*103;
-3,1415;
0,567 = 567 * 10-3;
-126.
2021.

Как видим на втором примере, вещественное число – это не всегда хорошо. Из-за ограниченного количества разрядов страдает точность. В вычислительной технике применяются вещественные числа со следующей точностью (в соответствии со стандартом IEEE 754):

Половинная (half) – занимает половину машинного слова. Применяется в графических ускорителях, где на первом месте стоит быстродействие. Точность ограничивается способом округления: к ближайшему чётному либо целому, которое делится на 8, 16 либо 32.
Одинарная (single) – занимает машинное слово, применяется в случаях, где нужна повышенная точность.
Двойная (double) – мантисса занимает в памяти пару машинных слов – требует много памяти и трафика при передаче. Актуальна, когда нужна высокая точность.
Четверная (quadruple) – для записи требует четыре слова, используется в случаях беспрецедентной точности при обработке и передаче данных.

Существуют особые типы вещественных чисел: ноль со знаком, бесконечности, денормализованные. Вещественные числа можно умножать, вычитать, делить и суммировать.

На каждом уроке математики мы решаем задачки, в которых нужно считать и измерять. Сложность может быть разной, но их всех объединяет одно — числа. В этом материале узнаем, какие числа называются действительными.

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение действительных чисел

Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определения различных видов чисел:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Множество рациональных чисел — .

Иррациональное число — это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби m/n. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Примеры иррациональных чисел — .

Множество действительных (вещественных) чисел состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел. Оно обозначается буквой , а также его можно записать как (-∞; +∞). Можно записать так, что есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел: .

Примеры действительных чисел:

Действительные числа могут быть как положительными, так и отрицательными, а также нулем.

При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая с заданным началом отсчета, единичным отрезком и направлением.

Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Представления действительных чисел

По определению действительными числами являются:

любое натуральное число;

любое целое число;

любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);

любое смешанное число;

любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.

Также из действительных чисел с помощью арифметических действий, корней, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и будут действительными числами.

Сравнение действительных чисел

На множестве действительных чисел справедливы формулы сокращенного умножения и привычные нам законы математики. Например: — это было справедливо на множестве рациональных чисел, но все это справедливо и на множестве действительных чисел.

— все эти законы справедливы на множестве действительных чисел.

Любые действительные числа можно сравнивать. Из двух действительных чисел a и b большим считается то, которое расположено правее на координатной прямой. Для того, чтобы определить, какое число будет правее, можно вычислить их разность.

Число a считается больше числа b, если разность a − b > 0.

Аналогично a меньше b тогда и только тогда, когда разность a − b

Вещественные числа: что это

Из чего состоит

Мантисса m – целое значение с фиксированной длиной без учёта порядка.
Знак мантиссы – указывает на положительность либо отрицательность, причем в первом случае знак плюс обычно не ставится, минус указывается обязательно.
Порядок, основания экспоненты n – указывает на степень основания числа, на сколько знаков нужно перенести запятую.
Знак порядка p – показывает, в какую сторону переносится запятая.

Записывается в виде R = m * n p .

0,123456 = 123*10-3 = 12*10-4;
7654321 = 7654321*102 = 765,4*103;
-3,1415;
0,567 = 567 * 10-3;
-126.
2021.

Половинная (half) – занимает половину машинного слова. Применяется в графических ускорителях, где на первом месте стоит быстродействие. Точность ограничивается способом округления: к ближайшему чётному либо целому, которое делится на 8, 16 либо 32.
Одинарная (single) – занимает машинное слово, применяется в случаях, где нужна повышенная точность.
Двойная (double) – мантисса занимает в памяти пару машинных слов – требует много памяти и трафика при передаче. Актуальна, когда нужна высокая точность.
Четверная (quadruple) – для записи требует четыре слова, используется в случаях беспрецедентной точности при обработке и передаче данных.

Читайте также: