Доклад на тему умножение и деление натуральных чисел

Обновлено: 16.05.2024

ГОСТ

Умножение натуральных чисел

Результат умножения натуральных чисел называют их произведением. Произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ содержит стольких единиц, сколько их содержится в числе $a$, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе $b$.

Если произведение обозначить $c$, то говорят, что оно получено в результате умножения чисел $a$ и $b$. Записывается умножение двух чисел следующим образом:

$a\cdot b=c$ или $a\times b=c$.

Числа $n$ и $m$ называют множителями или сомножителями.

Например, найдем произведение чисел $13\cdot 5$.

По определению операции умножения:

Свойства умножения натуральных чисел

Умножение натуральных чисел характеризуется следующими свойствами:

Коммутативность умножения:

Ассоциативность умножения:

\[\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)\]

Например, найдем произведение чисел $9\cdot 15\cdot 6$.

Применим к данному произведению свойство ассоциативности умножения:

\[9\cdot 15\cdot 6=9\cdot \left(15\cdot 6\right)=9\cdot 90=810\]

Из свойства ассоциативности умножения натуральных чисел выводится понятие натуральной степени натурального числа:

Натуральное число m в степени n равно натуральному числу $k$, которое получается в результате умножения числа $m$ самого на себя $n$ раз:

Для обозначения $n$-й степени числа m используют запись $m^n$, в которой число $m$ называется основанием степени, а число $n$ - показателем степени.

Например, найдем значение выражения $3^4$.

По определению натуральной степени натурального числа данное выражение можно записать так:

\[3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81.\]

Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания:

\[\left(a-b\right)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c.\]

В результате нахождения суммы и произведения двух натуральных чисел всегда получится натуральное число.

Свойство умножения на единицу:

Свойство умножения на нуль:

Свойство умножения нулей:

Свойство умножения единиц:

Готовые работы на аналогичную тему

Деление натуральных чисел

Операция деления натуральных чисел является обратной операцией к умножению.

Результат деления натуральных чисел называют их частным.

Если $b\cdot c=a$, то

Свойства деления натуральных чисел

Свойство деления произведения на число:

Свойство деления на единицу:

Свойство деления двух равных натуральных чисел:

Свойство деления нуля на натуральное число:

В результате нахождения разницы и при делении натуральных чисел натуральное число можно получить не для любой пары натуральных чисел.

Например, числа $15$ и $5$ -- натуральные. Результат вычитания $15-5=10$ также будет натуральным числом, а если найти разницу натуральных чисел $5-15=-10$, то получим число, которое уже не является натуральным.

Таблица умножения натуральных чисел

По определению произведения двух натуральных чисел можно получить результаты умножения однозначных натуральных чисел. Например, произведение $5\cdot 4$ равно сумме $4$ одинаковых слагаемых, которые равны $5$. В таком случае получаем $5\cdot 4=5+5+5+5=20$. Аналогично можно получить результат произведений всех однозначных натуральных чисел и записать их в таблицу.

Результаты произведений удобно представлять в виде так называемой таблицы умножения.

Правила пользования таблицей умножения

Например, нужно найти произведение чисел $4$ и $6$. Для этого отметим столбец (выделен синим цветом), в верхней ячейке которого записано число $6$, и строку (выделена синим цветом), в левой ячейке которой записано число $4$. Результат умножения находится на пересечении отмеченных столбца и строки -- число $24$, отмеченное красным цветом.

Аналогично можно найти произведение остальных чисел, но принято знать таблицу умножения наизусть.

Умножить число m на натуральное число n - значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m·n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.

Свойства умножения:

Переместительное свойство умножения: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей: a · b = b · а
Сочетательное свойство умножения: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: a · (b · с) = (а · b) · c.
Свойство умножения на единицу: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n: 1 · n = n.
Свойство умножения на ноль: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю: 0 · n = 0.

Знак умножения можно опускать: 8 · х = 8х, или а · b = ab, или a · (b + с) = a(b + с)

п2. Деление

Действие, по которому по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

На нуль делить нельзя!

Свойства деления:

При делении любого числа на 1 получается это же число: а : 1 = а.
При делении числа на это же число, получается единица: а : а = 1.
При делении нуля на число получается нуль: 0 : а = 0.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделит на другой множитель. 5х = 45 х = 45 : 5 х = 9 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель. х : 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

48 : х = 4 х = 48 : 4

п3. Деление с остатком

Остаток всегда меньше делителя.

Здесь число 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное и 3 – остаток.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе, нацело.

Чтобы найти делимое a при делении с остатком, надо умножить неполное частное с на делитель b и к полученному произведению прибавить остаток d. а = с · b + d

п4. Упрощение выражений

Свойства умножения:

Распределительное свойство умножения относительно сложения: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения: (а + b)с = ас + bc.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе: (а - b)с = ас - bc.

3а + 7а = (3 + 7)а = 10а

п5. Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Правила порядка выполнения действий:

Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени.
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

п6. Квадрат и куб

Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче:

а · а · а · а · а · а = а 6

Читают: а в шестой степени. Число а называют основанием степени, число 6 – показателем степени, а выражение а 6 - называют степенью.

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n 2 (эн в квадрате): n 2 = n · n

Примеры с умножением и делением натуральных чисел – это наиболее популярные операции в математике. Причем, не только в теории, но и на практике: при выполнении различных расчетов и вычислений в физике, информатике и химии ученые часто пользуются именно этими операциями. Поэтому поговорим подробнее о умножении и делении, чтобы разобраться в этом вопросе.

Натуральные числа

Натуральными числами зовутся все положительные числа. То есть множество натуральных чисел можно описать, как множество чисел от 1 до бесконечности. Отрицательные и дробные числа сюда не входят.

Натуральные числа были первыми числами, которые изобрела математика. Поэтому они и изучаются одними из первых в курсе математики 5 класса.

Природа умножения

Умножение это математическая операция, смысл которой заключается в том, чтобы сложить число само с собой определенное количество раз. Количество раз определяется вторым множителем, а изначальное число первым.

6*9=54 – число шесть 9 раз сложили само с собой и получили 36.

Многие свойство умножения повторяют свойства сложения. Поэтому, если вы хорошо знаете свойства или законы сложения, то никаких проблем при изучении свойств умножения не возникнет.

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Так же, как в свойствах сложения мы говорили о том, что при перемене мест слагаемых сумма не изменится.

Действительно, нет разницы:

6*3*4=72 – посчитать так.

Сочетательное свойство говорит о том, что при перемножении 3 чисел, можно первое умножить на второе, а затем результат умножить на третье. Порядок действий можно менять, главное: удобство вычислений:

Как видно, разницы в результатах нет.

Распределительное свойство часто называют распределительным относительно сложения, потому что применяется оно чаще всего при умножении числа на сумму. В этом случае можно сначала найти сумму, а затем ее умножить на число, а можно умножить каждый множитель на слагаемое, а потом сложить получившиеся произведения.

Деление

Деление подразумевает операцию, обратную операции умножения. Например выражение:

45:5=9 – показывает следующее: чтобы получить число 45 число 5 умножили на число 9.

Деление так же имеет несколько интересных свойств.

Свойства деления

Существует основное свойство деления, которое используется по большей части в выполнении действий с дробями. Это свойство заключается в том, что в уже записанном выражении деления можно домножить или поделить делитель и делимое на одно и тоже число, и результат от этого не изменится.

Если сумма делится на число, то иногда будет удобнее поделить каждое из слагаемых и сложить результаты. Это свойство похоже на распределительное свойство умножения и иногда существенно ускоряет счет.

При этом, нельзя забывать о двух характерных для деления чисел: 1 и нуле. Если любое число поделить на 1, то результатом станет то же число. Если единицу поделить на какое-то число, то полученное значение считают обратным начальному.

На ноль делить действительные числа нельзя. Важно отметить, что комплексные числа или пределы делятся на ноль без особых ограничений, но это высшая математика, поэтому будем говорить пока только о действительных числах.

Поделить ноль на число возможно, результатом всегда будет ноль.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое натуральные числа, поговорили о делении и умножении натуральных чисел, а также о свойствах деления и умножения.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Умножение и деление натуральных чисел. Презентация на заданную тему содержит 21 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Цели урока: Повторить и закрепить навыки выполнения умножения и деления над натуральными числами; научить учащихся воспринимать тест не как лотерею, а как ответственный выбор. Продемонстрировать учащимся применение математики, её необходимость во многих сферах жизни. Ввести занимательный и познавательный элемент в процесс повторения пройденного материала.

Задачи урока: Закрепить у детей умения решать текстовые задачи на умножение и деление натуральных чисел; Развить умения: анализировать, объяснять ход решения задачи; Развить интерес к математике.

Устный счёт 1 вариант Найдите неизвестное число: ….. : 4 = 7 90 : ….. = 6 ….. * 5 = 65 ….. : 15 = 5 12 * ….. = 48 72 : 12 = ….. 11 * ….. = 66 92 : ….. = 4 18 * 6 = ….. 2 вариант Найдите неизвестное число: ….. : 13 = 6 75 : ….. = 15 92 : ….. = 4 ….. * 12 = 60 52 : 2 = ….. ….. : 17 = 7 300 : 15 = ….. 12 * ….. = 480 ….. * 8 = 96

Установите, не выполняя действий, значение какого из выражений меньше. А) 44 * 60; Б) 88 * 55; В) 55 * 60; Г) 44 * 50 В зале хотят расставить рядами 35 стульев. При какой расстановке – по 6 стульев или по 8 стульев в каждом ряду – останется меньше лишних стульев? А) при расстановке по 6 стульев; Б) при расстановке по 8 стульев. Сколько четырёхместных лодок понадобится, чтобы перевезти одновременно 18 человек? А) 4; Б) 5; В) 6 Электровоз прошёл 720 км, причём 6 ч он шёл со скоростью 80 км/ч, а оставшийся путь – со скорость 60 км/ч. Какое время электровоз был в пути? А) 10 ч; Б) 4 ч; В) 12 ч С одной яблони собрали 12 кг яблок, с другой в 2 раза больше. Яблоки разложили поровну в 6 корзин. Сколько килограммов яблок в каждой корзине? А) 6 кг; Б) 4 кг; В) 5 кг. Выполните действия: 972 : 9 : 3 А) 6; Б) 36; В) 324

Кто знает, сколько планет в Солнечной системе? Правильно, девять. Они обозначены квадратиками на приведённой ниже схеме. От каждого квадратика проведено несколько стрелок. Стрелки означают возможные этапы нашего воображаемого путешествия от планеты к планете. Мы должны посетить все планеты, не побывав дважды ни на одной из них. Но на нашей схеме к каждому квадратику проведены три или даже больше стрелок. Это значит, что всякий раз нам предлагается несколько вариантов передвижения. Но какой вариант выбрать? По какой стрелке пойти?

По силе блеска Венера – третье светило неба, если первым считать Солнце, а вторым – Луну. Венера ближе к Солнцу, чем Земля, этим и объясняются особенности её видимости. Она всегда видна рядом с Солнцем – во время утренней или вечерней зари.

Задача планеты Юпитер Радиус Сатурна на 12 тыс км меньше радиуса Юпитера и в 40 раз больше радиуса Плутона. На сколько радиус Юпитера - наибольшей планеты Солнечной системы – превосходит радиус наименьшей – Плутона, если радиус Сатурна равен 60 тыс км?

В зале хотят расставить рядами 35 стульев. При какой расстановке – по 6 стульев или по 8 стульев в каждом ряду – останется меньше лишних стульев? А) при расстановке по 6 стульев; Б) при расстановке по 8 стульев. Сколько четырёхместных лодок понадобится, чтобы перевезти одновременно 18 человек? А) 4; Б) 5; В) 6 Электровоз прошёл 720 км, причём 6 ч он шёл со скоростью 80 км/ч, а оставшийся путь – со скорость 60 км/ч. Какое время электровоз был в пути? А) 10 ч; Б) 4 ч; В) 12 ч С одной яблони собрали 12 кг яблок, с другой в 2 раза больше. Яблоки разложили поровну в 6 корзин. Сколько килограммов яблок в каждой корзине? А) 6 кг; Б) 4 кг; В) 5 кг. Выполните действия: 972 : 9 : 3 А) 6; Б) 36; В) 324

Читайте также: