Доклад на тему тригонометрические функции

Обновлено: 02.05.2024

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( τριγωνον - треугольник, а μετρεω - измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. γωνια - угол, μετρεω - измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии.

Тригонометрические функции острого угла

В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол α , отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 (рис.1), имеющих равные углы ∠ А= ∠ А 1 = α . Из подобия этих треугольников имеем:

Если величину угла α измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения

можно рассматривать как функции угла α .

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом α и измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sin α .

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов α = 30 ° ; 45 ° ; 60 ° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом α = 30 ° ; и катетом ВС = a =1, тогда гипотенуза этого треугольника с =2, а второй катет b = √ 3; рассмотрим также треугольник с углом α = 45 ° и катетом a =1, тогда для этого треугольника c = √ 2 и b =1.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Виды тригонометрических функций в тригонометрии

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе. Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число.

Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией .

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций разнообразны.

Например, любые процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Данные функции появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M ( x , y ). Угол между радиус-вектором OM и направлением оси Ox равен a .

Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M (x, y) к радиусу r: sin α = y/r. Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M (x ,y).

Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M (x,y) к радиусу r: cos α = x/r = x.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки

M (x, y) к ee абсциссе x: tg α = y/x, x ≠ 0.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки

M (x, y) к ее ординате y: ctg α = x/y, y ≠ 0.

В единичном круге x, y точки M (x, y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:

-Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

-Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

-Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

-Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

К тригонометрическим функциям относятся, во-первых, прямые тригонометрические функции:

синус ( sin x ),

косинус ( cos x );

во-вторых, противоположные им тригонометрические функции:

секанс ( sec x )

косеканс ( cosec x );

и, в-третьих, производные тригонометрические функции:

тангенс ( tg x ),

котангенс ( ctg x ).

Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x. Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0. Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z. Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z. Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Решим уравнение: a) sin x = 1/2

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда

Скажем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения:

где k ∈ Z.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Я заинтересовался этой темой, потому что хотел узнать больше о тригонометрии и особенно о ее истории.

Я поставил перед собой цель: определить на основе отобранного материала, где тригонометрия, за исключением школьного курса, встречается в решении проблем и идентичностей.

Прочитав литературу, я узнал, что тригонометрические вычисления используются практически во всех областях геометрии, физики и технологии. Большое значение имеет метод триангуляции, который может быть использован для измерения расстояний до далеких звезд в астрономии, между географическими достопримечательностями для управления спутниковыми навигационными системами.

Также стоит отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансового рынка, электроника, теория вероятности, статистика, биология, медицина (в том числе ультразвук и компьютерная томография), фармация, химия, теория чисел (и), как следствие криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанографии, картографии, многих областях физики, топографии и геодезии, архитектуры, фонетики, экономики, электротехники, машиностроения, компьютерной графики, кристаллографии, а также я узнал много нового, чего раньше не знал.

По истории тригонометрии

Тригонометрия — греческое слово и буквально означает измерение треугольников (Триггунон — треугольник и измерение Метрю).

В этом случае под измерением треугольников следует понимать треугольное решение, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, но также и задачи планаметрии, стереометрии, астрономии и другие даны задачам решения треугольников.

Появление тригонометрии связано с астрономией и строительством.

Хотя название науки появилось сравнительно недавно, многие понятия и факты, связанные с тригонометрией, были известны уже две тысячи лет назад.

Решения для треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были впервые найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (II в. до н.э.) и Клавдием Птолемеем (II в. н.э.). Позже отношения между сторонами треугольника и его углами стали называться тригонометрическими функциями.

В долгой истории существует понятие синуса. Фактически, различные соотношения сечений треугольника и круга (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в трудах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлонии Пергусской. В римский период эти отношения систематически изучались Менелаем (I в. н.э.), хотя конкретное название им не давалось. Современный синус a, например, изучался как полуаккорд, на котором центральный угол лежит в размере a, или как двухдуговой аккорд.

Уже в IV-V веке в астрономических трудах великого индийского ученого Ариабхаты, чье имя было дано первому индийскому спутнику Земли, существовал особый термин. Он назвал отрезок АМ (рис. 1) аргаджива (арга — половина, джива — луковая струна, которая напоминает аккорд). Позже появилось более короткое имя Джива. Арабские математики в IX в. заменили это слово на арабское слово jib (выпуклость). В переводе арабских математических текстов в этом столетии он был заменен на латинский синус (синус — кривизна, изгиб).

Касательные появились в связи с решением задачи определения длины тени. Тангент (как и кокангент) был введен в X. столетие арабский математик Абу-л-Вафа, который создал первые таблицы для нахождения тангенса и кокангента. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенты были заново открыты только в XIV веке немецким математиком и астрономом Реджимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему о тангенте. Regimontan также сделал подробные тригонометрические таблицы, благодаря его работам плоские и сферические тригонометрии стали отдельной дисциплиной в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрии состоялось в трудах выдающегося астронома Николая Коперника (1473-1543) — создателя мировой гелиоцентрической системы Тихо Браге (1546-1601) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в трудах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу определения всех элементов плоского или сферического треугольника на три даты.

Долгое время тригонометрия была чисто геометрической. Факты, которые мы сейчас формулируем в виде тригонометрических функций, были сформулированы и доказаны с помощью геометрических концепций и высказываний. Так было уже в средние века, хотя иногда использовались аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольший стимул для развития тригонометрии возник в связи с решением астрономических задач, представлявших большой практический интерес (например, для решения задач определения положения корабля, прогнозирования отключения электроэнергии и т.д.). Астрономов интересовали отношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо сказать, что математики древнего мира успешно справились с поставленными задачами.

С XVII века тригонометрические функции стали использоваться для решения уравнений, задач механики, оптики, электротехники, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, изучения переменного тока и др. Поэтому тригонометрические функции были всесторонне и глубоко исследованы и приобрели значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций была разработана в основном Леонардом Эйлером (1707-1783), выдающимся математиком XVIII века, членом Санкт-Петербургской Академии наук. Большое научное наследие Эйлера включает в себя блестящие результаты, связанные с математическим анализом, геометрией, теорией чисел, механикой и другими математическими приложениями. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, начал рассматривать функции любого угла, и получил формулы редукции. По словам Эйлера, тригонометрия получила форму расчета: различные факты стали доказываться формальным применением формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее.

Таким образом, тригонометрия, зародившаяся как наука о разрешении треугольников, со временем переросла в науку о тригонометрических функциях.

Тригонометрические функции

Элементарные функции, которые исторически возникали при взгляде на прямоугольные треугольники и выражают зависимость сторон этих треугольников от острых углов гипотенузы (или, эквивалентно, зависимость аккордов и высоты от центрального угла в круге). Эти функции нашли самое широкое применение в различных областях науки. В результате было расширено определение тригонометрических функций, и их аргументом теперь может быть любое реальное или даже сложное число.

Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Ссылка на тригонометрические функции:

Во-первых, прямые тригонометрические функции:

Во-вторых, противоположные тригонометрические функции:

В-третьих, производные тригонометрические функции:

В западной литературе загар х, кроватка х, цхх называются загаром, кроватка х, цхх.

В дополнение к этим шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (верна и т.д.) и обратные тригонометрические функции (арксин, аркозин и т.д.), которые рассматриваются в отдельных статьях.

Синусоидальный и косинусоидальный вещественные аргументы являются периодически непрерывными и бесконечно дифференцируемыми вещественными функциями.

Остальные четыре функции на реальной оси также являются материально значимыми, периодическими и бесконечно различимыми в областях определения, но не непрерывными.

Тангенты и секанты имеют паузы второго поколения на ±rp, в то время как катангенсы и секанты имеют паузы на ±rp.

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Укажем декартовую систему координат на плоскости и сформируем окружность радиусом R, центр которой находится в начале координат O. Измеряем углы как вращения от положительного направления оси абсциссы к акустическому пучку. Направление против часовой стрелки считается положительным, направление по часовой — отрицательным. Если мы обозначим абсциссой точку B с xB, то мы обозначим ординату с yB.

Понятно, что значения тригонометрических функций не зависят от радиуса окружности R из-за свойств подобных фигур.

Следует также отметить, что этот радиус часто принимается равным значению одного сечения.

Исходя из этого, синус является просто ординатой yB, а косинус — абсциссой xB.

Если b является вещественным числом, то в математическом анализе синус b называется угловым синусом, радиан которого равен b, аналогично другим тригонометрическим функциям.

Рассмотрим графическое изображение этого явления на рисунке 3.

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений, уравнений функций и по ряду

Во многих учебниках элементарной геометрии тригонометрические функции острого угла до сих пор определялись как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть ОАБ будет треугольником с углом b.

Ну, тогда:

Синус угла b называется отношением AB/OB (отношение противоположного катетера к гипотенузе);
Козин угла b называется отношением OA/OB (отношение смежного катетера к гипотенузе);
Касательная угла b называется отношением AB/OA (отношение противоположного катетера к соседнему катетеру);
Катангензис угла b называется отношением OA/AB (отношение смежного катетера к противоположному катетеру);
Секанс угла b называется отношением ОВ/ОА (отношение гипотенузы к соседнему катетеру);
Угол cosecansome b называется отношением OV/AB (отношение гипотенузы к контркатетеру).

После того, как мы построили систему координат с началом в точке О, изменили направление оси абсциссы вдоль ОА и, при необходимости, ориентацию треугольника (перевернув его) так, чтобы он лежал в первой четверти системы координат, а затем построили окружность с радиусом, равным гипотенусе, сразу замечаем, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

На основании геометрии и свойств предельных значений можно доказать, что производная синуса равна косинусу, а производная косинуса равна минус синус. Затем можно использовать преимущества теории рядов Тейлора и представить синус и косинус как сумму степенных рядов.

Самые простые личности

Тригонометрические тождества — это математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются по всем значениям аргумента (из общего диапазона определений).

Поскольку синус и косинус являются ординатой и абсциссой точки, соответствующей единичной окружности впадин, то в соответствии с уравнением единичной окружности или пифагорейской теоремой.

Это соотношение называется базовой тригонометрической идентичностью.

Мы делим это уравнение на квадрат косинуса и синуса.

Синус и косинус являются непрерывными функциями. У тангентов и секантов есть точки перелома: катангенез и косекансы.

Где f — произвольная тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (т.е. косинус для синуса, синус для косинуса и подобная для других функций), n — целое число. Полученной функции предшествует знак, который имеет начальную функцию в данной координатной четверти, при условии, что угол b острый.

Формулы для работы с касательными и катангами трех углов получены путем деления правой и левой частей соответствующих уравнений, представленных выше.

Вид одного параметра.

Все тригонометрические функции могут быть выражены полукруглым касательным.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и бесконечно дифференцируются по всему диапазону определения:

Интегралы тригонометрических функций в домене выражаются элементарными функциями следующим образом.

Большинство из вышеперечисленных свойств тригонометрических функций были сохранены даже в сложном случае.

Некоторые дополнительные свойства: тригонометрическое уравнение идентичности:

Сложные синусоидальные и косинусоидальные значения, в отличие от реальных, могут принимать любое количество значений модуля;
Все нули сложного синуса и косинуса лежат на оси материала.

Заключение

В данной работе были выполнены все задачи: получены более подробные сведения о тригонометрических функциях, приведены доказательства теорем косинуса и синуса, а также теоремы о площади треугольников, применены при решении задач по нахождению неизвестных элементов треугольника, научились применять эти теоремы при измерении работы на местности. Представленные проблемы представляют большой практический интерес, закрепляют полученные знания в области геометрии и могут быть использованы в практической работе.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

История тригонометрии неразрывно связана с астрономией, ведь именно для решения задач этой науки древние ученые стали исследовать соотношения различных величин в треугольнике.

На сегодняшний день тригонометрия является микроразделом математики, изучающим зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимающимся анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций.

Общие сведения о тригонометрии

История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.

Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках.

Предполагается, что изначально тригонометрия существовала как часть астрономии. Затем она стала использоваться в архитектуре. А со временем возникла целесообразность применения данной науки в различных областях человеческой деятельности. Это, в частности, астрономия, морская и воздушная навигация, акустика, оптика, электроника, архитектура и прочие.

Тригонометрия в ранние века

Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, исследователи сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.

Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.

История развития тригонометрии в Древней Греции связана с именем астронома Птоломея - автора геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.

Греческим астрономам не были известны синусы, косинусы и тангенсы. Они пользовались таблицами, позволяющими найти значение хорды окружности с помощью стягиваемой дуги. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса.

Средневековье: исследования индийских ученых

Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию.

История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения началась в Средневековье. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов прямоугольного треугольника. То есть именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики.

Первые таблицы синусов были у Ариабхаты, они была проведены через 3 о , 4 о , 5 о . Позже появились подробные варианты таблиц: в частности, Бхаскара привел таблицу синусов через 1 о .

История развития тригонометрии в Европе

После перевода арабских трактатов на латынь (XII-XIII в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к XII веку.

История тригонометрии: Новое время

Заслуги Леонарда Эйлера

Определение тригонометрических функций на всей числовой прямой стало возможным благодаря исследованиям Эйлера не только допустимых отрицательных углов, но и углов боле 360°. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс прямого угла отрицательные. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Общая теория тригонометрических рядов и изучение сходимости полученных рядов не были объектами исследований Эйлера. Однако, работая над решением смежных задач, он сделал много открытий в этой области. Именно благодаря его работам продолжилась история тригонометрии. Кратко в своих трудах он касался и вопросов сферической тригонометрии.

Области применения тригонометрии

Тригонометрия не относится к прикладным наукам, в реальной повседневной жизни ее задачи редко применяются. Однако этот факт не снижает ее значимости. Очень важна, например, техника триангуляции, которая позволяет астрономам достаточно точно измерить расстояние до недалеких звезд и осуществлять контроль за системами навигации спутников.

Также тригонометрию применяют в навигации, теории музыки, акустике, оптике, анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (например, в расшифровке ультразвуковых исследований УЗИ и компьютерной томографии), фармацевтике, химии, теории чисел, сейсмологиии, метеорологии, океанологии, картографии, многих разделах физики, топографии и геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографиии и т. д. История тригонометрии и ее роль в изучении естественно-математических наук изучаются и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.

История происхождения основных понятий

История возникновения и развития тригонометрии насчитывает не один век. Введение понятий, которые составляют основу этого раздела математической науки, также не было одномоментным.

Читайте также: