Доклад на тему пять красивых тел геометрия
Обновлено: 04.07.2024
Тема урока: Пять красивых тел. Правильные многогранники.
Цель урока: Рассмотреть правильные многоугольники, их свойства и их место в гармонии мироздания.
План проведения урока.
Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.
Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.
Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т.е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники.
Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что существуют только пять правильных многогранников.
Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа:
1) Кристаллы поваренной соли имеют форму куба;
2) Правильная форма алмаза – октаэдра;
3) Кристаллы пирита – додекаэдра.
Важным свойством правильных многогранников является существование для каждого из них вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность вписанного шара касается центра каждой грани правильного многогранника, а поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогранника.
^ Концепция четырех элементов
С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками восхищались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях
Ко времени Платона в античной философии созрела концепция четырех элементов(стихий) – первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли.
Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.
Форма октаэдра – атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны
Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.
^ Математические свойства правильных многогранников
Формула Эйлера Г + В – Р = 2
Иоганн Кеплер (1571-1630) – выдающийся немецкий математик, физик, астроном. Следуя пифагоро-платоновской традиции, Кеплер верил, что в основе миросоздания лежат простые числовые соотношения и совершенные геометрические формы.
^ Вселенная устроена на основе единого геометрического принципа (по И.Кеплеру).
В сферу орбиты Сатурна вписываем куб, в куб – сферу Юпитера.
В сферу Юпитера вписываем тетраэдр, в тетраэдр –сферу Марса.
В сферу Марса вписываем додекаэдр, в додекаэдр – сферу Земли.
В сферу Земли вписываем икосаэдр, в икосаэдр – сферу Венеры.
В сферу Венеры вписываем октаэдр, в октаэдр – сферу Меркурия..
В центр всей системы И.Кеплер поместил Солнце.
Математические расчёты показали, что совпадение с данными Коперника по радиусам планетных орбит было поразительным, но всё-таки не совсем точным. Однако, эта работа привела к открытию Кеплером истинных астрономических законов- трёх знаменитых законов Кеплера, на базе которых И.Ньютон построил свою теорию тяготения.
Идеи Пифагора, Платона, Кеплера нашли своё продолжение и в наши дни. Замечено, что наша матушка-Земля последовательно проходит эволюцию правильных объемных фигур. Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с вышеуказанными фигурами.
Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозоа - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).
С позиций изучения симметрии, учитывая представление о додекаэдро-икосаэдрическом силовом каркасе Земли как планеты, следует признать, что в этом смысле Земля является живым существом. С душою, которую П.А. Флоренский назвал “пневматосфера”, со свободой воли и разумом.
Московские инженеры В.Макаров и В. Морозов высказали гипотезу, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, лучи или силовое поле кристалла обуславливают икосаэдро- додекэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают контуры вписанных икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль этой сетки, а в узлах располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций. В этих точках расположены загадки Земли: озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли определят отношение к этой гипотезе, в которой правильные многогранники занимают важное место.
Полуправильные многогранники (тела Архимеда)
Звёздчатые многогранники (тела Кеплера - Пуансо)
Изготовить модели пяти правильных многогранников с ребром равным 5 см.
Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, мы чаще всего в обычной речи называем - Платоновы тела.
Сначала разберемся, что же это за пять геометрических предметов или, в терминологии математиков, геометрических тел.
Это весьма легко запомнить. Стороны правильных многогранников являются правильными многоугольниками. А правильные многоугольники это те у которых, в свою очередь, равны все стороны (например: треугольник, квадрат) и равны углы между соседними сторонами. Причина возникновения слова правильные именно в этом.
Вероятнее всего Древнегреческий ученый Платон не имеет отношения к открытию этих замечательных многогранников.
Но у Платона был другой дар. В современном мире можно было бы назвать Платона популяризатором правильных многогранников. Наибольший вклад Платон сделал именно в том, что рассказал людям о существовании таких предметов как правильные многогранники.
И, возможно, если бы просто рассказал, то большинство бы быстро забыло о них. Платон же наделил эти, казалось бы, простые предметы невероятной силой, мистическим смыслом и возвел на вершину своего учения.
В попытке объяснить природу всего сущего Платон посчитал пять правильных многогранников первоосновами для строения каждой из стихий:
- огонь - соотносился с тетраэдром;
- воздух – соотносился с октаэдром;
- земля – соотносилась с гексаэдром;
- вода – с икосаэдром;
- а додекаэдр - соответствовал Вселенной.
Летописцы тех времен всё подробно записали и, в результате, получился целый научный трактат, как для современников Платона, так и для всех последующих поколений.
Именно сила философии Платона и мистические постулаты закрепились в умах обычных людей. И что же дальше? А дальше люди уже неразрывно связывают эти многогранниками с идеями Платона. И, в какой то момент, так и говорят об пяти правильных многогранниках, как о многогранниках Платона .
На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.
Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа). А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.
Кафедра общеобразовательных дисциплин
Финансов Мирослав Юрьевич
Студент 1 курса
Неженская Валерия Петровна
Г. Ставрополь, 2020
Глава 1. Основные понятия и свойства многогранников 4
Глава 2. Многогранники в различных сферах 8
Глава 3. Доказательство существования только пяти правильных многогранников 11
Глава 4. Комбинаторные и геометрические свойства многогранников 12
Список литературы и Интернет-ресурсов 17
На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.
Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа). А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.
Предмет исследования: Правильные многогранники.
Объект исследования: Использование многогранников человеком.
Цель: познакомить людей с удивительным миром многогранников.
Поставленная цель определяет выбор комплекса задач:
Рассмотреть источники по теме;
Проанализировать основные понятия и свойства многогранников;
Узнать, в каких сферах встречаются правильные многогранники;
Изучить доказательство существования только пяти правильных многогранников;
Рассмотреть комбинаторные и геометрические свойства многогранников
Глава 1. Основные понятия и свойства многогранников
Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.
От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность, можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам.
Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины - вершинами многогранной поверхности.
Многогранная поверхность делит пространство на две части - внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.
Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.
Многогранник, одна из граней которого - произвольный многогранник, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.
Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.
Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Треугольную пирамиду также называют тетраэдром.
Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребра, принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания, а все остальные ребра - боковыми ребрами. Общая вершина всех треугольников (боковых граней) называется вершиной.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды S к плоскости основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой; все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. На рис.2 SN - апофема. Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.
Многогранник, две грани которого - равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой.
Пару равных n-угольников называют основаниями призмы. Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение - боковой поверхностью призмы.
Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер - вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами.
Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной.
Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.
Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.
Параллелепипед - шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы.
Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (в этом случае 4 боковые грани - прямоугольники); прямоугольным, если этот параллелепипед прямой и основанием служит прямоугольник (следовательно, 6 граней - прямоугольники);
Параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом.
Объём Параллелепипед равен произведению площади его основания на высоту.
Каждый многогранник имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром. Аналогично определяется кубический метр и кубический миллиметр, и т.д.
В процессе измерения объемов при выбранной единице измерения объем тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и ее частей укладывается в этом теле. Число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов. Поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.
Основные свойства объемов:
Равные тела имеют равные объемы.
Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.
Для нахождения объемов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери.
Принцип Кавальери состоит в следующем: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой.
Глава 2. Многогранники в различных сферах
Многогранники в природе
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.
Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник.
Также мы можем наблюдать многогранники в виде цветов. Ярким примером могут служить кактусы.
Многогранники в биологии
Интересно, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Чтобы установить форму вируса, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Вирус герпеса Скелет одноклеточного Вирус герпеса организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra)
Многогранники в медицине
Усечённый октаэдр нейтрализует энергетическое воздействие извне, повышает уровень энергетики головного мозга, помогает в работе на интуитивном уровне и очищает энергетическую структуру места в радиусе 500 м; икосаэдр со стороной 5 см устраняет психологические зависимости, восстанавливает биоструктуру, гармонизирует личность, очищает структуру места в радиусе 100 м; десятигранная пирамида защищает от излучений техногенного свойства, активизирует саморегуляцию организма, восстанавливает энергообмен человека, усиливает энергетику человека, повышает энергетический уровень места (70 м), восстанавливает эндокринную систему человека, нейтрализует геомагнитные излучения, гармонизирует взаимоотношения между людьми. Своеобразная форма многогранников позволяет накапливать энергию и передавать ее владельцу. Положительно влияет в основном на психику и поведение.
Многогранники в быту
Усеченный икосаэдр (футбольный мяч), кубик рубика, пирамида Мефферта.
Многогранники в живописи
На ней изображён Христос со своими двенадцатью учениками.
Сальвадор показал их сидящими в
огромном полупрозрачном додекаэдре. Многие века учёные искали разгадку такому странному изображению сцены из библии и пришли к выводу, что этим художник хотел показать Вселенную, бесконечность и, конечно же, духовность. Вот так, с помощью простой геометрической фигуры Сальвадор Дали скрыл огромный смысл.
Многогранники и профессии
Плотник — профессия связана с механической обработкой дерева и превращением необработанной древесины в детали, конструкции и стройматериалы.
Слесарь — специалист по ручной (без использования станков) обработке металлов, включая операции по сборке и разборке на производстве или в быту.
Скульптор – это художник, занимающийся созданием скульптур, то есть произведений объемно-пространственной формы, трехмерных и осязаемых.
Глава 3. Доказательство существования только пяти правильных многогранников
Опираясь на определение правильных многогранников и основную их характеристику, что сумма углов многогранников при любой вершине не превышает и не равна 360, доказали, что существует только пять правильных многогранников. Рассмотрим доказательство. В каждой вершине тетраэдра сходятся 3 грани, значит, сумма трех углов по 60 градусов будет равна 180. Если добавить к вершине тетраэдра еще один треугольник, то в сумме получится 240 — это октаэдр. Добавление пятого треугольника дает сумму углов 300- получается икосаэдр. Если допустить добавление шестой грани, то сумма углов станет равной 360. Что противоречит основной характеристики многогранников. Многогранник исчезнет, и все углы развернутся на плоскости в полный круг. Три квадратные грани имеют угол 270 — это вершина куба. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360 — это также не соответствует выпуклому многограннику. Три пятиугольные грани дают угол 324(3*108)- вершина додекаэдра. Если добавим еще один пятиугольник, получим больше 360. Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 360(3*120), поэтому можно сделать вывод, что гранями правильных многоугольников могут быть лишь треугольники, четырехугольники, пятиугольники, выпуклого многогранника с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует. Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение. 12 Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе, мы можем их наблюдать и находить в архитектуре и живописи.
Глава 4. Комбинаторные и геометрические свойства многогранников
Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:
Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли p, q>, где:
p — число рёбер в каждой грани;
q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Презентация на тему: " Пять красивых тел. Правильные многогранники Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые." — Транскрипт:
1 Пять красивых тел. Правильные многогранники Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л. Кэррол
2 Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т.е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники. Правильные многогранники
3 Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что существуют только пять правильных многогранников. Тетраэдр Икосаэдр Октаэдр Додекаэдр Гексаэдр
4 Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа: 1) Кристаллы поваренной соли имеют форму куба; 2) Правильная форма алмаза – октаэдра; 3) Кристаллы пирита – додекаэдра. 123
5 Важным свойством правильных многогранников является существование для каждого из них вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность вписанного шара касается центра каждой грани правильного многогранника, а поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогранника.
8 Математические свойства правильных многогранников Тело Платона Число граней вершин Геометрия грани m Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр 4 (тетра) 8 (окта) 20 (икоса) 6 (кекса) 12 (додека) Формула Эйлера Г + В – Р = 2
9 Теория многогранников - одна из самых увлекательных глав геометрии. Правильные многогранники всегда восхищали пытливые умы симметрией, простотой и мудростью своих форм. Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям
10 Иоганн Кеплер ( ) – выдающийся немецкий математик, физик, астроном. Следуя пифагора-платоновской традиции, Кеплер верил, что в основе мироздания лежат простые числовые соотношения и совершенные геометрические формы. Иоганн Кеплер
11 Тайна мироздания Вселенная устроена на основе единого геометрического принципа (по И.Кеплеру). В сферу орбиты Сатурна вписываем куб, в куб – сферу Юпитера. В сферу Юпитера вписываем тетраэдр, в тетраэдр –сферу Марса. В сферу Марса вписываем додекаэдр, в додекаэдр – сферу Земли. В сферу Земли вписываем икосаэдр, в икосаэдр – сферу Венеры. В сферу Венеры вписываем октаэдр, в октаэдр – сферу Меркурия.. В центр всей системы И.Кеплер поместил Солнце.
13 Математические расчёты показали, что совпадение с данными Коперника по радиусам планетных орбит было поразительным, но всё-таки не совсем точным. Однако, эта работа привела к открытию истинных астрономических законов- трёх знаменитых законов Кеплера, на базе которых И.Ньютон построил свою теорию тяготения.
14 Идеи Пифагора, Платона, Кеплера нашли своё продолжение и в наши дни. Московские инженеры В.Макаров и В. Морозов высказали гипотезу, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, лучи или силовое поле кристалла обуславливают икосаэдра- додекэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают контуры вписанных икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль этой сетки, а в узлах располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций. В этих точках расположены загадки Земли: озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли определят отношение к этой гипотезе, в которой правильные многогранники занимают важное место.
15 Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны. К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны Полуправильные многогранники называют также равноугольно полуправильными многогранниками, из-за того, что все их многогранные углы равны. Полуправильные многогранники (тела Архимеда)
16 Звёздчатые многогранники (тела Кеплера - Пуансо)
17 Домашнее задание. Изготовить модели пяти правильных многогранников с ребром равным 5 см.
Читайте также: