Доклад на тему правильная пирамида

Обновлено: 02.05.2024

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Основная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник A₁A₂. A_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁.

Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂. A_n и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A₁A₂. A_n называется основанием, а треугольники PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁ – боковые грани пирамиды, отрезки PA₁, PA₂,…, PA_n – боковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A₁A₂. A_n и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA₁A₂. A_n.

Рисунок 1 - пирамида

Высота пирамиды

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

Рисунок 3 – высота вне пирамиды

Рисунок 4 – Высота пирамиды - боковое ребро

Правильная пирамида

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA₁A₂. A_n (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А₁О, А₂О. А_nО.

Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А₁О, А₂О. А_nО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА₁, РОА₂. РОА_n равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA_{1 ,} РA₂. РA_n, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду PA₁A₂. A_n и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В₁,В₂. В_n (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂. A_n и В₁В₂. В_n (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, … A₁A_nB_nB₁ (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Отрезки A₁B₁, A₂B₂, … A_nB_n называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH₁ и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство S_полн= S_бок+S_осн.

Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема страница

1.Пирамиды в геометрии 2

2.Виды пирамид 3

4.Пирамиды в мире 6

Пирамиды в геометрии

Пирамида-многогранник,основание которого-многоугольник,а грани-треугольники,которые имеют общую вершину.По числу углов основания пирамиды различают на треугольные,четырехугольные и т.д.

Общая вершина боковых граней-вершина пирамиды.Высота пирамиды-перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на плоскость основания.

Виды пирамид

1.Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, которая опущена из вершины пирамиды на плоскость основания является отрезком, который соединяет вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамилы:

1.Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой

2.Все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

3.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.

P- периметр основания

Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

S- площадь боковой поверхности

2.Пирамида, вписанная в конус- пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершина пирамиды- вершина конуса. Боковые ребра пирамиды- стороны, образующие конус.

3.Пирамида,описанная около конуса- пирамида, основание которой есть многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина пирамиды- вершина конуса. Плоскости боковых граней касательны плоскостям конуса.

4.Усечённая пирамида- пирамида, которая получается следующим способом: берётся произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: пирамида подобная исходной и многогранник, который называется усечённой пирамидой. Основаниями усечённой пирамиды служат подобные многоугольники.

Если усечённая пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усечённой пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правильной усечённой пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на нижнее основание, называется высотой усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

V=1/3*H(S ₁ +S ₂ +(S ₁ +S ₂ )^ 0,5

H- высота усечённой пирамиды

S ₁ , S ₂ -площади оснований усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

Пирамида - объёмная фигура, обладающая характеристиками, которые позволяют легко рассчитать основные параметры: площадь поверхности граней и занимаемый ей объём пространства.

Пирамида является одной из основных фигур в геометрии. О её особенностях рассказано в статье.

Определение пирамиды в геометрии

Эта стереометрическая фигура включает в себя часть пространства, отделённую плоскими многоугольниками: произвольным в основании и гранями — треугольниками, содержащими общую вершину и отрезок в виде общей стороны с ним.

Элементы пирамиды

Элементами этой геометрической фигуры являются:

Место, куда сходятся все боковые грани фигуры, является вершиной.

Многоугольник, от каждой стороны которого отходят треугольные грани, носит название основания. Например, оно может быть шестиугольным.

Треугольники, соединяющиеся у вершины, с общей стороной с основанием, носят название боковых граней. У них противоположная вершина совпадает с точкой вершины пирамиды.

Высота фигуры представляет собой вертикальный отрезок, ограниченный многоугольником основания и вершиной.

На каждом треугольнике боковой стороны можно указать апофему. Она опускается от вершины по грани до ребра основания, будучи к нему перпендикулярной.

Боковыми ребрами называют те отрезки, которые соединяют соседние боковые грани.

У пирамиды может быть несколько диагональных сечений. Они включают в себя диагональ многоугольника вместе с вершиной пирамиды.

Виды пирамид

Такие фигуры могут относиться к различным видам, в зависимости от типа основания и расположения вершины.

Можно указать следующие разновидности пирамид:

Правильной она будет в том случае, если в основании лежит правильный многоугольник. Проекция вершины на многоугольник основания должна приходиться на центр. Тетраэдр рассматривается как одна из разновидностей правильной пирамиды.

У прямоугольной фигуры одна из граней находится в плоскости, перпендикулярной многоугольнику, лежащему в основании.

Усеченная — это часть фигуры, находящаяся между пересекающей плоскостью и многоугольником основания. Причём эта плоскость должна располагаться горизонтально.

Свойства пирамиды

У этой объёмной геометрической фигуры имеются следующие свойства при условии равенства боковых рёбер:

круг возможно описать вокруг многоугольника основания;

угол, под которым наклонены боковые грани, будет таким же.

В том случае, когда треугольные грани имеют одни и те же углы с основанием, возможно сделать вывод о том, что их рёбра одинаковы.

Свойства правильной пирамиды

У такой фигуры можно отметить особые свойства.

У правильной пирамиды все боковые треугольники одинаковы.

Каждая из них является равнобедренным треугольником.

Внутрь любой такого типа пирамиды можно вписать сферу. При этом она будет касаться основания и всех граней, имея с каждой из этих сторон по одной общей точке.

Снаружи возможна сфера, касающаяся всех вершин.

Нетрудно вычислить площадь поверхности такой фигуры. Для этого надо умножить длину периметра многоугольника, находящегося в её основании, на половину длины апофемы.

Формулы объема и площади поверхности пирамиды с примерами расчета

Вычислить объём можно с использованием следующей формулы.

где используются такие обозначения:

S – площадь основания;

h – высота фигуры.

Полную площадь поверхности можно вычислить как сумму площадей основания и всех боковых треугольников.

Пример решения задачи

Если стороны основания составляют 3 см, а боковые рёбра — 4 см, то по теореме Пифагора можно определить высоту фигуры.

Сначала по теореме Пифагора находят длину половины диагонали. Она будет равна корню квадратному из 18 (4,25 см), так как является диагональю квадрата.

Здесь рассматривается четырехугольная пирамида.

По теореме Пифагора находим высоту. Она будет равна примерно 4,5 см.

Площадь основания составляет 3 * 3 = 9 кв. см. Нужно учесть, что это квадрат со стороной 3 см. Подставив значения в формулу для объёма, получим следующее.

V = (1 / 3) * 9 * 4,5 = 13,5 куб. см.

Для расчёта площади поверхности надо узнать площадь квадратного основания и треугольных боковых сторон. Для этого сначала по теореме Пифагора находят длину апофемы. Она будет равна 4,27 см.

Каждая боковая сторона имеет площадь 12,81 кв. см, а основание — 9 кв. см. Сложив площади всех граней, получим 60,24 кв. см. Посчитать площадь поверхности можно, рассмотрев развертку фигуры.

Представьте себе, что в некоторой плоскости (будем считать ее горизонтальной) расположен некоторый многоугольник, обозначаемый буквой М, а над этой плоскостью взята некоторая точка А. Рассмотрим отрезок, одним концом которого является некоторая точка фигуры М, а вторым — точка А. Всевозможные такие отрезки, вместе взятые, образуют многогранник, называемый пирамидой с основанием М и вершиной А.

Поверхность пирамиды кроме основания содержит еще ряд боковых граней. Каждая из них представляет собой треугольник, основанием которого является одна из сторон многоугольника М, а вершиной — точка А.

Таким образом, пирамида содержит одну грань — основание, которое может быть многоугольником с любым числом сторон, а все остальные грани (называемые боковыми)

представляют собой треугольники, имеющие основанием одну общую сторону, причем все боковые грани имеют одну общую вершину. Это описание пирамиды можно принять за ее определение. Например, пакеты молока часто делают в форме треугольной пирамиды, т. е. пирамиды с треугольным основанием

Если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, перпендикулярен плоскости основания, то пирамида называется правильной Четырехскатная крыша дома имеет форму четырехугольной правильной пирамиды.

Пирамида - чудо света.

Прежде чем приступить к описанию грандиозного и знаменитого заупокойного ансамбля в Гизе, приведем рассказ Геродота, этого греческого "журналиста", который черпал сведения у иностранцев, живших в Египте. Он завещал нам удивительные, бесценные документы.

"Хеопс, — пишет он, — оставил после себя грандиозное произведение: свою пирамиду. Говорят, что Египет до эпохи правления Рампсинитов был процветающей, хорошо управляемой страной. Хеопс, наследовавший Рампсинитам, приказал всем египтянам работать на него. Одним было приказано перетаскивать к Нилу камни, выломанные в карьерах Арабских гор; другие должны были нагружать их на суда для перевозки через реку и тащить их к Ливийским горам. На стройке постоянно находились сто тысяч рабочих, которые сменялись каждые три месяца.

Они уже потратили 10 лет на прокладку дороги, по которой перетаскивали камни, но это еще было ничто по сравнению со строительством самой Пирамиды. Дорога была длиной в 5 стадий (923,5 м), 10 оргий в ширину (18,47 м) и в самом высоком месте имела подъем в 8 оргий (14,78 м). Она была выложена полированными камнями с изображениями животных. Понадобилось 10 лет, чтобы завершить дорогу и построить подземные камеры, которые должны были служить могилами. Гробницы были сооружены на плато: там возвышаются Пирамиды на острове, образованном отводным каналом. Сама пирамида потребовала 20 лет работы. Она квадратная. Каждая ее сторона равна 8 метрам (246,26 м) и такого же размера ее высота. Камни отполированы и тщательно пригнаны; каждый из них не меньше 30 ступней (9,24 м)".

После этого вступления Геродот рассказывает историю сооружения Большой Пирамиды, сообщая очень подробные детали, начиная от характеристики типового египетского стиля и кончая расходами на строительство этого уникального монумента.

"Эта пирамида, — продолжает он, — сначала была построена в виде большой лестницы, составленной из того, что одни называют зубцами, а другие ступенями. Такая форма позволяла поднимать остальные камни с помощью машины, состоящей из коротких балок. Когда камень был водружен на первую ступень, его перекладывали на другую машину, стоявшую там, откуда камень поднимался на следующую ступень, где его помещали на третью машину, так как машин было столько же, сколько и ступеней. Или это была переносная машина, которую перемещали с этажа на этаж, освободив от камня. Я описываю здесь два приема, как мне об этом рассказывали.

Таким образом сначала заканчивали вершину, потом переходили по этажам вниз и завершали основание пирамиды. На этой пирамиде есть надписи, в которых указано, сколько средств было израсходовано на приобретение хрена, лука и головок чеснока, чтобы прокормить рабочих, и если я правильно запомнил слова переводчика, читавшего мне эту надпись, сумма расходов доходила до 6 000 талантов серебра, что составляет 41 884 кг. Если это действительно так, то сколько же талантов серебра могли они израсходовать на железные инструменты, с помощью которых работали, на пищу и одежду для рабочих? Потому что, кроме работ по сооружению храма, они потратили еще немало времени, как я думаю, на обработку и транспортировку камней и строительство подземных камер".

Четыре века спустя после Геродота историк Диодор из Сицилии (I в. до н.э.) посетил Египет и, увидев пирамиды, причислил их к одному из семи чудес света. Как и его предшественник, Диодор изумлен этим монументом. "Нужно признать, — утверждает он, — что эти монументы намного превосходят все", что можно увидеть в Египте, не только огромностью своих размеров и средств, потраченных на них, но также и красотой".

Диодор Сицилийский сообщает нам свою версию о строительстве пирамид. Он также говорит о трех пирамидах как о заупокойном ансамбле IV династии, из которых Большая Пирамида, — конечно же, самое значительное и чудесное сооружение, но которое не может рассматриваться отдельно от других.

Как и Геродот, Диодор Сицилийский оценивает в 6 000 талантов сумму расходов на хрен, лук и чеснок для строителей Большой Пирамиды; но в противоположность Геродоту, он не считает, что эти монументы служили гробницами фараонов, которых, по его мнению, хоронили тайно в засекреченных местах. Мы не будем цитировать дальше текст Диодора, который более или менее совпадает с текстом Геродота. Мы хотели лишь показать, что все великие писатели античности были одинаково поражены самобытностью и красотой египетских погребальных монументов.

Прибывшему в Гизу туристу открывается одна из прекраснейших картин, какую когда-либо создавала рука человека. Египетская поговорка "Всё боится времени, но время боится Пирамид" как нельзя лучше применима к этому месту.

Гиза — это современное название большого каирского некрополя, занимающего примерно 2000 кв.м. Сюда входят Сфинкс и три Большие Пирамиды: Хеопса, Хефрена и Микерина. Последняя имеет еще три малых пирамиды-спутницы. Три монумента расположены по диагонали, но таким образом, что ни один не заслоняет солнце другим. Каждая пирамида включает, в соответствии с типовым планом, заупокойный храм вверх по течению Нила и заупокойный храм вниз по течению, а также соединяющий их коридор. Ансамбль Пирамиды Хеопса почти полностью разрушен; ансамбль Пирамиды Хефрена, напротив, в большей части сохранился.

Пирамида Хеопса — самая большая из трех. Имевшая вначале 146 м высоты, сегодня она достигает лишь 137 м, а на месте вершины образовалась площадка шириной 10 м. Пирамида полностью лишилась наружной

облицовки, так что гигантские каменные блоки обнажились и позволяют подняться по ним до самой вершины. Нужно сказать, что открывающаяся сверху панорама вполне вознаграждает потраченные на подъем силы.

Пирамида Хефрена

Пирамида Хефрена — единственная сохранившая на вершине полированную облицовку. Хотя ее высота меньше, чем у предыдущей, ее вершина находится на одинаковом с ней уровне, так как она стоит на более высоком месте. Первоначально ее основание было облицовано розовым гранитом. И наконец, меньшая из трех, но более пропорциональная Пирамида Микерина едва достигает 66 м в высоту. В 1500 году она еще имела гранитную облицовку, которая в наши дни полностью исчезла. Погребальная камера заключала величественный базальтовый саркофаг, украшенный под "фасад храма", что было довольно распространенным приемом декорирования в эпоху Древнего царства. К сожалению, саркофаг затонул у побережья Португалии при кораблекрушении во время перевозки его в Англию.

Перед Пирамидой Микерина возвышаются три Пирамиды-спутницы, которые еще меньше, чем спутницы Пирамиды Хеопса. Пирамида-спутница с восточной стороны, изначально облицованная розовым гранитом, была, без сомнения, предназначена для супруги фараона Хармер-Нехти II.

Феномен пирамидных конструкций.

Пирамида в геометрии.

Пирамида - (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

SABCD – четырёхугольная пирамида;

ABCD – основание пирамиды;

rSAB; rSBC; rSDC; rSDA – боковые грани пирамиды;

S – вершина пирамиды;

SA; SB; SC; SD – боковые рёбра пирамиды

SO – Высота пирамиды

Пирамида правильная – пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость основания, является отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания.

Свойства правильной пирамиды:

1. Всё боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой.

2. Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

Пирамидой, вписанной в конус, является такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра такой пирамиды являются образующими конуса.

SABCD – пирамида, вписанная в конус.

Пирамидой, описанной около конуса, является такая пирамида, основание которой есть многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней такой пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

SKMNP – пирамида, описанная около конуса.

Пирамида усечённая - пирамида, которая получается следующим способом: берется произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: подобную исходной пирамиду и многогранник, который называется усеченной пирамидой. Основаниями усеченной пирамиды служат подобные многоугольники.

Если усеченная пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на нижнее, называется высотой усеченной пирамиды.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

ABCDA1B1C1D1 – усечённая правильная пирамида,

B1E – апофема усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

– высота усеченной пирамиды,

и - площади оснований усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

и- периметры оснований усечённой правильной пирамиды,

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d . Вынося множитель за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Построим линию пересечения плоскости грани МАВ пирамиды МАВCD с плоскостью грани MCD.

Решение: Плоскости МАВ и MCD имеют по условию общую точку М. Значит, по аксиоме (если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку) они пересекаются по прямой, проходящей через точку М. Найдем еще одну общую точку этих плоскостей. В соответствии с условием прямые АВ и CD лежат в одной плоскости. Построим точку их пересечения:

Точка F принадлежит прямой АВ, две точки которой лежат в плоскости МАВ. Тогда по аксиоме (Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости) и точка F лежат в плоскости МАВ.

Аналогично заключаем, что точка F лежит и в плоскости MCD. Таким образом, точка F — это вторая общая точка плоскостей МАВ и MCD. Итак, прямая MF — это искомая линия пересечения плоскостей МАВ и MCD.

На ребре МА пирамиды MABCD взята точка Р, а в ее гранях MCD и МВС — соответственно точки Q и R. Построим основной след секущей плоскости , проходящей через точки Р, Q и R.

Решение: 1) Построим точки Р', Q' и R' — проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость ABC из центра М. Ясно, что точка Р' совпадает с точкой ,.

Так как прямые МР и MQ пересекаются, то по теореме (Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом одна) через них
проходит плоскость. По теореме этой плоскости принадлежат прямые PQ и P'Q'. Построим точку .

Так как точка лежит на прямой PQ, две точки которой принадлежат плоскости, то по аксиоме (Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости) точка принадлежит плоскости . Аналогично заключаем, что точка принадлежит плоскости ABC. Итак, плоскости и ABC имеют общую точку . Тогда по аксиоме (если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку) эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку

Построим еще одну общую точку плоскостей а и ABC. Например,
точку .Проведем прямую Так как точки этой прямой лежат в плоскости , то по аксиоме (Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки прямой, определяемой ими, лежат в этой плоскости) прямая лежит в плоскости . Аналогично приходим к выводу, что прямая лежит в плоскости ABC. Таким образом, прямая — это линия пересечения плоскости а с плоскостью ABC, т.е. она является основным следом плоскости .

Центр верхнего основания куба с ребром, равным , соединен с серединами сторон нижнего основания, которые также соединены в последовательном порядке. Вычислить полную поверхность полученной пирамиды.

Решение: Так как ребро куба равно а, то сторона основания пирамиды

SABCD равна Учитывая, что ОК = , найдём апофему пирамиды:

Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при основании равен . Найти полную поверхность пирамиды.

Решение: Так как , то .

Основание пирамиды – правильный шестиугольник, поэтому и

. Тогда , т.е. ,

. Таким образом, ,

Окончательно находим

В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом . Среднее по величине боковое ребро равно . Найти объём и полную поверхность пирамиды.

Решение: По условию, , , . Откуда .

Полная поверхность выразится так: , поскольку

Ответ: ; .

Определить объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если её диагональ равна 18 см., а длины сторон оснований 14 и 10 см..

Решение: Искомый объём выражается формулой , где . Найдём

Имеем . Так как - равнобедренная трапеция, то

Используемые источники.

1. Весь Египет (Джованна Маджи, Паоло Джамбоне)

2. Математика. Справочник школьника (Г. Якушева)

3. Геометрия 10-11 класс (Л. С. Атасян, В. Ф. Бутузов)

4. Что такое. Кто такой. (А.Г. Алексин, С.П. Алексеев)

5. Геометрия (В.Н. Литвиненко)

7. Сборник задач по Математике (М.И. Сканави)

Читайте также: