Доклад на тему пифагорова тройка
Обновлено: 13.05.2024
Треугольник (слайд 14), стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, т.е. таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них – египетский треугольник со сторонами (3, 4, 5).
Составим ряд пифагоровых троек путем домножения чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Получим ряд пифагоровых троек, отсортируем их по возрастанию максимального числа, выделим примитивные.
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 13), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50).
1. Покрутимся вокруг задач:
1) Используя соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента найдите, если
- sin, если cos = – 0,6;
- tg, если cos = – 15/17;
- ctg, если sin = – 12/13;
- tg, если sin = – 9/41;
- ctg, если cos = – 0,8.
- sin = 3/5, – угол первой четверти;
- cos = 8/17, – угол второй четверти;
- ctg = 9/40, – угол третьей четверти;
- tg = 7/24, – угол четвертой четверти.
3) Система тренировочных задач по теме “Формулы сложения”
зная, что sin = 8/17, cos = 4/5, и – углы первой четверти, найдите значение выражения:
зная, что и – углы второй четверти, sin = 4/5, cos = – 15/17, найдите: .
4) Система тренировочных задач по теме “Формулы двойного угла”
a) Пусть sin = 5/13, – угол второй четверти. Найдите sin2, cos2, tg2, ctg2.
b) Известно, что tg? = 3/4, – угол третьей четверти. Найдите sin2, cos2, tg2, ctg2.
Алгоритм решения задач
Повторить (изучить) теоретический материал.
Знать наизусть примитивные пифагоровы тройки и при необходимости уметь конструировать новые.
Применять теорему Пифагора для точек с рациональными координатами.
Знать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, уметь изобразить прямоугольный треугольник и в зависимости от условия задачи правильно расставить пифагоровы тройки на сторонах треугольника.
Знать знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от их расположения в координатной плоскости.
- знать, какие знаки синус, косинус, тангенс, котангенс имеют в каждой из четвертей координатной плоскости;
- знать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
- знать и уметь применять теорему Пифагора;
- знать основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного угла, формулы половинного аргумента;
- знать формулы приведения.
С учетом вышеизложенного заполним таблицу (таблица 1). Ее нужно заполнять, следуя определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса или с использованием теоремы Пифагора для точек с рациональными координатами. При этом постоянно необходимо помнить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от их расположения в координатной плоскости.
| Тройки чисел | sin | cos | tg | ctg |
| (3, 4, 5) | I ч. | |||
| (6, 8, 10) | II ч. | - | - | |
| (5, 12, 13) | III ч. | - | - | |
| (8, 15, 17) | IV ч. | - | - | - |
| (9, 40, 41) | I ч. |
Для успешной работы можно воспользоваться памяткой применения пифагоровых троек.
2. Решаем вместе.
1) Задача: найдите cos, tg и ctg, если sin = 5/13, если – угол второй четверти.
Решение. Предлагаем способы решения задач с использованием основных тригонометрических тождеств и как альтернатива с помощью пифагоровой тройки (5, 12, 13). Коллективно проговариваем второй способ решения задач.
Исходя из определения cos, tg и ctg острого угла прямоугольного треугольника и учитывая, что числа 5 и 12 – это катеты, а 13 – гипотенуза, записываем: cos = 12/13, tg = 5/12, ctg = 12/5.
Зная, в какой четверти находится угол , расставляем знаки:
Ответ: cos = -12/13, tg = -5/12, ctg = -12/5.
3). Найдем значение других трех основных тригонометрических функций, если cos = 15/17, и – угол четвертой четверти. Выбираем рациональный способ решения и заполняем таблицу:
3. Решаем задачи.
1. Задача: Вычислите с помощью формул сложения , если cos = -15/17, – угол третьей четверти, sin = 12/13, – угол первой четверти.
Предлагаем способы решения данной задачи и останавливаемся на способе с применением пифагоровых троек. Используем алгоритм решения и записываем: (8, 15, 17) и (5, 12, 13). Далее находим по формулам сложения:
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Тема: Пифагоровы тройки
Актуальность темы: можно быстро изучить теорему Пифагора с помощью Пифагоровых троек.
Она помогает при решении геометрических задач практического применения в современной жизни.
Цель : заключается в изучении пифагоровых троек и их применения для решения задач курса геометрии.
Из этого выведем задачи:
1. Проанализировать литературу по теме исследования;
2. Показать уникальные открытия Пифагора и дать определение понятия пифагоровым тройкам;
3. Описать способы формирования Пифагоровых трок;
4. Проанализировать возможные применения пифагоровых троек для решения геометрических задач.
Проблема : Пифагоровы тройки изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются ее устно вычисленными решениями, однако пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему математики, т.к. она помогает эффективнее решать геометрические задачи.
Предмет исследования: математика.
Объект исследования: Пифагоровы тройки.
Метод исследования: теоретический.
1.1. История открытия Пифагоровых троек и их понятие
Начнем с того, что же такое геометрия, ведь благодаря ей мы знакомимся с Пифагоровыми тройками.
Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения тел.
Геометрия была открыта древними египтянами, она возникла при измерении земельных участков и при астрономических наблюдениях. Долгое время она оставалась важнейшим средством познания Вселенной. Наибольший вклад в ее становление и развитие как науки внесли древнегреческие математики: Пифагор, Евклид, Архимед. На протяжении веков геометрия занимала видное место в начальном и университетском образовании, она входила в плоть и кровь образованных людей любых специальностей. Ее изучение требовало больших умственных усилий. [3.41]
Применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок. Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.
А теперь и сама теорема. Пифагоровы тройки - упорядоченный набор из трёх натуральных чисел. Удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: . Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна .
Например, свойства прямоугольного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже.
Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: .
Давайте рассмотрим пару теорий возникновения Пифагоровых троек. Прочитав литературу, мы узнаем о двух теориях возникновения.
Первая теория возникновения: Пифагоровы тройки представляют собой когорту из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора .
Вообще, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений. Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках, существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования, до сих пор не раскрыт в полной мере.
Вторая теория возникновения: Все мы знаем, что Пифагоровы тройки открыл сам Пифагор, в честь его и назвали эти числа.
Пифагор Самосский - древнегреческий философ из города Регия, математик и мистик. В Кротоне основал религиозно-философскую школу пифагорейцев. Итак, Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древне-месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей (Локоть – это древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Локоть составляет расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. Обычно от 38 см. до 46 см.).
Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. На практике мы сможем понаблюдать за тем, как взаимообратные числа, и какое их множество. [1.186]
Пифагоровы числа обладают рядом свойств:
Один из катетов должен быть кратным трём,
Один из катетов должен быть кратным четырём,
Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.
Пифагоровы тройки могут быть:
Примитивными (все три числа-взаимно простые),
Не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).
Итак, пифагоровы тройки - это тройки натуральных чисел (a, b, c) прямоугольного треугольника, для которых выполняется неравенство:
Это уравнение звучит так: сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. Это и есть сама теорема Пифагора, которую изучают еще в 8 классе и применяют в различных видах задач и уравнений.
Но в простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным, а так же, в простейшей пифагоровой тройке числа а и b не могут быть одновременно нечётными.
1.2. Способы получения Пифагоровых троек
Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения пифагоровых троек, которые являются решением уравнения.
Давайте проверим эту таблицу на одном из примеров.
Итак, возьмем числа: 18, 24, 30.
По формуле Пифагора - сложим квадрат первых двух чисел:
Теперь сравним ответ первого действия и квадрат третьего числа:
Сделаем вывод, что эта таблица правильная и можно ей пользоваться.
Способ 2. Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад.
Пусть (a, b, c,) – пифагорова тройка и a –нечетное число. Тогда и . По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:
Если a = 3, то; b =4;
; c =5; получилась первая тройка (3, 4, 5).
Если a = 5, то ; b =12;
; c =13; вторая тройка (5, 12, 13).
Если a = 7, то; b =24;
; c =25; третья тройка (7, 24, 25) и так далее.
Способ 3. Вам, так же, возможно, известны формулы для вычисления новых Пифагоровых троек.
Сначала вычислим по формулам Пифагоровы тройки, а затем проверим, получилось ли найти эти тройки.
Для этого возьмем числа: .
Вычислим первую формулу тройки:
Вычислим вторую формулу тройки:
Вычислим третью формулу тройки:
Теперь можем проверить их по формуле Пифагора:
Из этого сделаем вывод: эти формулы можно использовать для нахождения трех чисел, которые подойдут к теореме Пифагора.
Так же в этих трех формулах может быть дополнительный множитель - k . Тогда из уравнения получаем [2.91-95]
Давайте, начнем с советов. Что бы мы могли быстрее решать задачи по геометрии, есть некоторые советы, в решении задач с теоремой Пифагора.
лежит напротив прямого угла;
является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;
Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.
Еще один момент - самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона - напротив наименьшего угла.
Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка - это 3, 4, 5 (это так же Египетский треугольник). Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.
Если дан обычный треугольник, а не прямоугольный, то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.
Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с.
Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, t g ).
Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.
Когда число выносится из под корня, то сразу можно отбрасывать отрицательное число, т.к. сторона не может быть отрицательной.
Решим немного задач по геометрии с применением Пифагоровых троек.
Дан прямоугольный треугольник ABC , C =90 ∘ , AC=3 , BC=4 . Найдите длину AB .
Согласно теореме Пифагора:
Центр окружности, описанный около тр. АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС равно 8?
Если центр окружности лежит на стороне АВ, значит АВ - диаметр. Угол С=90, т. к. опирается на диаметр, т. е. треугольник АВС - прямоугольный.
2) По теореме Пифагора
В прямоугольном треугольнике АВС, катеты СА и СВ равны 9 и 12, соответственно. Найдите гипотенузу ВА, , , .
Дано: АВС-прямоугольный треугольник; СА=, ВС=12.
По теореме Пифагора:
Ответ : АВ =15, sin A= , cos A= ,tg A= .
В прямоугольнике ABCD найдите ВС, если CD =1,5; AC =2,5.
Т.к. это прямоугольник то, по его свойствам мы знаем, что его параллельные стороны равны, т.е. AB = CD и BC = AD .
Далее, рассмотрим треугольник ADC , угол D прямой, а значит, мы можем применить формулу Пифагора.
Сейчас решим одно задание ОГЭ. Она так же может присутствовать и в жизни.
Лестницу поставили к окну, расположенному на высоте 12м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы?
Ответ: Длина лестницы равна 13 метрам.
Такое применение Пифагоровых троек поможет нам в жизни.
Особенно, если у Вас есть дачи.
2.2. Эффективность применения Пифагоровых троек при решении задач
В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Она была известна еще за долго до Пифагора. Пифагор внес и дополнил ее своими исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема меняется в геометрии на каждом шагу. Она имеет неослабевающий интерес со стороны широкой математической общественности. Можно увидеть применение Пифагоровых троек и в наши дни.
В ходе исследования, мы узнали, что теорема Пифагора так же применялась в архитектуре. Взгляните на эти здания, которые украшают зарубежные города:
Административное здание Kuggen , Гётеборг, Швеция.
Если Вы заметили, то окна в этом здании имеют вид прямоугольного треугольника.
Скульптурный павильон в одном из садов в Англии.
Музей в Милуоки, США.
Еще в 12 веке были использованы Пифагоровы тройки в зданиях готического и романского стиля.
Романский стиль: Готический стиль:
Верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.
На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины, для внутренних дуг.
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. и, следовательно, радиус равен.А тогда становится ясным и
положение её центра.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны и . Радиус – p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна , один катет равен , а другой. По теореме Пифагора имеем:
Задача пифагоровых троек. Формула Евклида
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В восьмом классе все школьники изучают одну из самых важных теорем геометрии – теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора.
В ходе этого изучения происходит знакомство с пифагоровыми тройками чисел – такими комбинациями из трёх целых чисел a, b c, которые удовлетворяют соотношению Пифагора: а 2 + в 2 =с 2 . В учебнике геометрии приводятся без вывода формулы для натуральных чисел a, b c:
a = 2 kmn ; b = k ( m 2 - n 2 ); c = k(m 2 + n 2 ).
В данной работе представлено два различных вывода формул пифагоровых троек и рассмотрены некоторые свойства этих троек. Первый вывод является довольно наглядным, второй считаю наиболее красивым. Свойства пифагоровых троек я доказывал самостоятельно.
Пифагоровы тройки имеют огромное количество свойств, связывающих их с такими разделами математики, как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексный анализ, поэтому исследование этой темы помогает осознать взаимосвязь разделов математики. Выбор темы этим и обусловлен. Сначала появились идеи для работы во всех перечисленных разделах, но появилась тема, которая объединила всё. Основной материал разделов я разобрал самостоятельно, поэтому здесь и говорится только об интересной задаче, которая имеет много различных решений, через которые частично и представлены основные методы.
Цель работы: вывести формулы Пифагора различными способами, изучить свойства пифагоровых троек чисел и доказать некоторые из них самостоятельно.
Основная часть
Теория чисел , или высшая арифметика , — раздел математики , первоначально изучавший свойства целых чисел . В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные , а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений (+ то, что изучает элементарная теория чисел)
Алгебраическая геометрия — раздел математики , который объединяет алгебру и геометрию . Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений . Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.
Пифагорова тройка - это комбинация из трёх целых чисел (a, b c или x, y , z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x 2 + y 2 = z 2 .
При умножении этих чисел на одно и то же число получается другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если не может быть получена таким способом из какой-либо другой пифагоровой тройки, то есть x, y, z являются взаимно простыми числами.
Сама задача пифагоровых троек сводится к поиску всех возможных целых решений следующего уравнения a 2 + b 2 = c 2 (все числа целые, поэтому уравнение называется диофантовым).
Приведём решение этого диофантового уравнения методами алгебраической геометрии.
a 2 + b 2 = c 2
Пусть y = a / c , x = b / c . Здесь и далее c ≠ 0.
x 2 + y 2 = 1 - окружность с радиусом 1 с центром в точке (0, 0) - рис.1
Теперь можно сказать, что задача эквивалентна поиску всех рациональных x и y на окружности.
Точки на окружности отсекаются прямыми, содержащими хорды окружности.
y = kx + m - уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая будет проходить через точку D (её координаты известны и удобны для решения системы).
Теперь для нахождения Q -точек окружности:
Важно отметить, что если k – рациональное, то y , x также будут рациональными и наоборот. Это просто доказать, выразив k из уравнения прямой.
Решая систему методом подстановки, выражаем x через k .
x = 2 k /( k 2 +1), затем y = ( k 2 -1)/( k 2 +1).
Так как y , x рациональные, k тоже рациональное и следовательно равно m / n , где m и n целые числа. Подставляем значения k , получаем:
x = 2 mn /( n 2 + m 2 ),
y = ( m 2 - n 2 )/( m 2 + n 2 ),
где m и n целые числа. Вспоминаем, что y = a / c , x = b / c , получаем:
b = m 2 -n 2 ,
c = m 2 +n 2 ,
где m и n целые числа , n> m > n , ( m - n ) нечётно, m и n взаимнопростые.
На самом деле, с помощью знания этих формул можно решить множество задач по поиску всех прямоугольных треугольников с заданным условием.
Привожу второй вывод формул с помощью комплексных чисел. Для вывода формул опять решаем уравнение a 2 + b 2 = c 2 в целых числах.
Гауссовы целые числа ( гауссовы числа , целые комплексные числа ) — это комплексные числа , у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.
a 2 + b 2 = c 2
(a + bi)(a - bi) = c
По основной теореме арифметики в гауссовых числах:
a + bi = (m + ni) 2
a + bi = m 2 + 2 mni + n 2
a + bi = m 2 + n 2 + 2 mni
Вещественные и мнимые части двух чисел равны, значит:
a = m 2 - n 2
с выражается из исходного уравнения.
c = m 2 + n 2
Уравнение a 2 + b 2 = c 2 решено.
Пифагоровы тройки обладают красивыми свойствами, например:
Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны).
Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два.
Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 20 2 + 21 2 = 29 2 .
Некоторые свойства пифагоровых троек с доказательством:
Свойство 1. В точности одно из чисел a и b нечётно , c всегда нечётно.
Доказательство проведём методом от противного (следует помнить, что речь идёт о примитивных пифагоровых тройках, все числа взаимнопростые).
Если a и b чётные, то и c чётное, что не удовлетворяет условию примитивности тройки.
Если a и b нечётные, то это приводит к противоречию при подстановке.
Пусть a = 2m + 1, b = 2n + 1.
2(2m 2 +2n 2 +2n+2m+1) = c 2
2 m 2 +2 n 2 +2 n +2 m +1 - число нечётное
Получается c 2 делится на 2 , но не делится на 4 , что невозможно.
Предположение неверно и верно то, что требовалось доказать.
Свойство 2. В точности одно из чисел a и b делится на 3 .
a 2 + b 2 = c 2
Если и a , и b , и c делятся на 3, то тройка становится сократимой, что не соответствует условию примитивности.
Если ни a , ни b не делится на 3, то и c не делиться. Рассмотрим этот случай.
Число не делится на 3, значит его можно записать в виде:
a = 3 k ± 1, b = 3 m ± 1. Получается:
9 k 2 ± 6 k + 1 + 9 m 2 ± 6 m + 1 = c 2
2 + 3(3 k 2 ± 2 k + 3 m 2 ± 2 m ) = с 2
с 2 при делении на 3 даёт остаток 2, а квадрат числа при делении на 3 может давать 1 или 0 в остатке. Возникло противоречие, предположение неверно, а значит хотя бы одно из чисел a , b делится на 3.
Свойство 3. В точности одно из чисел a и b делится на 4 .
Это очевидно, если вспомнить, что m и n разной чётности (для того, чтобы тройка оставалась несократимой, иначе числа a , b , c будут делиться на 2 ), ведь a = 2 mn , а одно из чисел m и n четно, получаем, что a делится на 4 .
Что и требовалось доказать.
Свойство 4. В точности одно из чисел делится на 5 .
При делении на 5 квадрат целого числа может давать в остатке 0, 1 или 4 (можно проверить, посчитав: (5 m ) 2 , ( 5 m ± 1) 2 , (5 m ± 2) 2 ) .
Возможны три случая (остальные повторяю друг друга):
a = 5 k ± 1, b = 5 m ± 2;
a = 5 k ± 1, b = 5 m ± 1;
a = 5 k ± 2, b = 5 m ± 2.
Подставляем полученные значения, получаем, что с 2 при делении на 5 даёт остаток 1) 1 + 4 = 5, 2) 1 + 1 = 2, 3) 4 + 4 = 8, 8 ≡ 3 ( mod 5).
2 и 3 противоречит утверждению в начале доказательства. Предположение, что ни a , ни b не делятся на 5 неверно, а верно, что здесь либо a , либо b делится на 5.
В 1 случае получается, что с делится на 5.
Значит хотя бы одно из чисел a , b , c делится на 5.
- представлены решения уравнения a 2 + b 2 = c 2 , называющиеся формулами Евклида, разными способами;
- представлены некоторые свойства, при доказательстве которых используются различные приёмы: доказательство "от противного", доказательство с помощью свойств делимости, доказательство с применением арифметики остатков;
- представлены интересные свойства без доказательств
В итоге, изучен вопрос генерации пифагоровых троек, их свойства с доказательствами, проделанными самостоятельно, что и являлось целью работы. Теперь я продолжу исследования в представленных разделах.
Длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника связаны друг с другом. Найти соотношение между ними можно, используя понятие площади. Само же это соотношение называют теоремой Пифагора.
План урока:
Теорема Пифагора
Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:
Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:
Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.
Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S2. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:
Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:
Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:
Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:
Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:
Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.
Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.
Решение. Запишем теорему Пифагора:
Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?
Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:
Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.
На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.
Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.
Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.
Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:
Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.
Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.
Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:
Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х 2 . Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.
Запишем для одного из них теорему Пифагора:
Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с 2 – это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х 2 – площадь маленького:
Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:
Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.
Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:
Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.
Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:
Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:
Задачи на применение теоремы Пифагора
Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.
Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.
Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:
Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.
Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:
Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:
Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.
Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:
Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:
Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.
Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:
Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.
Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:
Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:
Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:
Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.
Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:
Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:
Аналогично работаем и с ∆АНВ:
Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:
Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?
Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:
Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.
Решение. Опустим на большее основание две высоты:
В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому
∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:
Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:
Пифагоровы тройки
Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины
Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.
Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение
обращают его в справедливое равенство.
Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.
Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как
Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:
Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.
Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.
Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.
Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:
Заметим, что квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Поэтому числа а 2 , b 2 и с 2 – нечетные. Однако сумма нечетных чисел является уже четной. Поэтому выражение а 2 + b 2 четное. Таким образом, получается, что равенство
не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.
Обратная теорема Пифагора
По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:
Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.
Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство
Так как ∆А1В1С1 прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:
а именно это мы и доказываем.
Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:
1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;
2) вывод (или заключение), который делается для условия.
В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.
В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.
Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.
Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:
Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.
Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.
Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:
Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда
Формула Герона
Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.
Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:
По рисунку можно записать три уравнения:
Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:
С учетом этого выразим h 2 :
Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть
Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:
Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.
Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?
Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:
Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.
Читайте также: