Доклад на тему геометрическая прогрессия

Обновлено: 30.06.2024

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой b_n, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена b_n-1 и некоторого постоянного числа q: $$ \mathrm< b_n=b_q,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \ge 2,\ \ q\ne 0,\ \ q\ne 1,\ \ b_1\ne 0 > $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, . является геометрической прогрессией с b₁ = 1, q = 3.

2. Последовательность $\mathrm$ является геометрической прогрессией с b₁ = 9, $\mathrm$.

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: b_n = b_n-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b₁ > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kq n : $$ \mathrm< b_n=\fracq^n > $$

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ \mathrm < \left\- \text\ \Leftrightarrow\ b_n=\sqrtb_>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq 2 > $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ \mathrm< b_n=\sqrtb_>,\ \ n\in\mathbb,\ \ k\in\mathbb,\ \ n \geq k+1 > $$

Например:
Найдём b₉, если известно, что $\mathrm,\ \ b_=4>$
По следствию из признака геометрической прогрессии: $\mathrm=\sqrt\cdot 4>=\frac12>$

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ \mathrm < m+k=p+q \Rightarrow b_mb_k=b_pb_q >$$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ \mathrm< b_1b_n = b_2b_=b_3b_=. > $$

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 10
В этом случае b₁ = 2, q = 2, n = 10
Получаем: $\mathrm< S_=2\cdot \frac<2^-1>=2\cdot (1024-1)=2046>$

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b₅ = 9, b₈ = 243
Найдём отношение $$ \mathrm< \frac=\frac=q^3,\ \ \frac=\frac=27=3^3,\ \ q^3=3^3\Rightarrow q = 3 > $$ Найдём 1-й член: $$ \mathrm< b_1=\frac=\frac=\frac=\frac=\frac19 > $$ Сумма: $$ \mathrm< S_=b_1\frac=\frac<3^-1>=\frac=3280\frac49 > $$ Ответ: q = 3, S₁₀ = $\mathrm$

б) b₁ = 3, b_n = 96, S_n = 189
По формуле суммы: $$ \mathrm< S_=\frac\Rightarrow 189 =\frac\Rightarrow 189(q-1)=96q-3\Rightarrow 93q=186\Rightarrow q = 2 > $$ Сумма: $$ \mathrm< S_=b_1\frac=3\cdot \frac<2^-1>=3\cdot 1023=3069 > $$ Ответ: q = 2, S₁₀ = 3069

Пример 2. Между числами $\mathrm\ 5\frac13>$ вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию $\mathrm$ $$ \mathrm< \frac=q^5,\ \ \frac=5\frac13 : 40\frac12=\frac : \frac=\frac \cdot \frac=\frac=\frac=\left(\frac23\right)^5 > $$ Знаменатель $\mathrm$
Находим промежуточные члены прогрессии: \begin \mathrm< b_2=b_1q=40\frac12\cdot\frac23=\frac\cdot \frac23=27,\ \ b_3=b_2q=27\cdot\frac23=18, >\\ \mathrm < b_4=b_3q=18\cdot\frac23=12,\ \ b_5=b_4q=12\cdot\frac23=8 >\end Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором S_n = 63. $$ \text\ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Заметим, что b₃ = b₁q 2 , b_4=b_2q 2 . Второе уравнение можно переписать в виде: $$ \mathrm< b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=\underbrace_ q^2=12\ \Rightarrow\ q^2=\frac=\frac14\ \Rightarrow\ q=\frac12 > $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ \mathrm< b_1+b_2=b_1(1+q)=48\ \Rightarrow\ b_1=\frac=48\cdot\frac23=32 > $$ Для третьего уравнения можем записать: \begin \mathrm< S_n=b_1\frac=b_1\frac=32\cdot\frac>=64\left(1-\frac\right)=63 >\\ \mathrm< 64-\frac=63\ \Rightarrow\ 1=\frac\ \Rightarrow\ n=6 > \end Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

N = N₀ · 2 n , где N₀ = 1
N = 2 72 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 10 21

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

1. Вступительное слово. 3

2. Определение геометрической прогрессии. 3

3. Свойства геометрической прогрессии. 3

4. Сумма геометрической прогрессии. 4

6. Список использованной литературы. 6

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и (как я мог убедится) в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому мне кажется крайне важным дать здесь полное описание этого курса, дабы внимательный читатель мог повторить уже известный ему (надеюсь - прим . автора ) из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.

Прежде всего необходимо дать определение геометрической прогрессии, ибо не определившись о предмете разговора невозможно продолжать сам разговор. Итак: числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется геометрической прогрессией .

Внесу некоторую ясность в данное выше определение: во-первых, мы требуем от первого члена неравенства нулю для того, что при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии и не будет являться предметом нашего дальнейшего рассмотрения.

Во-вторых, число на которое умножаются члены прогрессии опять же не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

В-третьих, предоставляю возможность вдумчивому читателю самому найти ответ на вопрос, почему мы умножаем все члены прогрессии на одно и тоже число, а не, скажем, на разные. Ответ не так прост, как может показаться вначале.

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b ₂ :b ₁ = b ₃ :b ₂ = . = b _n :b _n-1 = b _n+1 :b _n = . . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b _n ), достаточно знать ее первый член b ₁ и знаменатель q. Например, условиями b ₁ = 2, q = -5 (q 0 (q 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b ₁ = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, . есть монотонно убывающая последовательность.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b _n ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ного члена геометрической прогрессии есть еще одна формула. Для того чтобы найти любой член геометрической прогрессии необходимо, чтобы она была задана, т. е. были известны значения b ₁ и q:

Так как геометрическая прогрессия это числовая последовательность, то мы можем найти ее сумму. Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

Если в данную формулу подставить вместо b _n его выражение в виде b ₁ q n-1 , то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b ₁ b _n = b ₂ b _n-1 = . т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Наконец, нельзя не коснуться такого важного с научной точки зрения понятия, как бесконечной геометрической прогрессии при . Здесь наиболее важным понятием является понятие суммы бесконечной геометрической прогрессии: пусть (x _n ) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .

Найти эту сумму можно по следующей формуле:

Заканчивая описание геометрической прогрессии хочется лишний раз повторить, что за видимой простотой геометрической прогрессии скрывается большой прикладной потенциал этого раздела алгебры.

Определение предмета, свойств и суммы геометрической прогрессии. Изучение возрастающей (убывающей) последовательности, когда каждый последующий член больше (меньше) предыдущего. Анализ применения геометрической прогрессии в курсе алгебры и в теории рядов.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	30.10.2010
Размер файла	21,5 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

РЕФЕРАТ

по теме: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и (как я мог убедится) в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому мне кажется крайне важным дать здесь полное описание этого курса, дабы внимательный читатель мог повторить уже известный ему (надеюсь - прим. автора) из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.

Во-вторых, число, на которое умножаются члены прогрессии опять же не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е.

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член b₁ и знаменатель q. Например, условиями b₁ = 2, q = -5 (q 0 (q1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁ = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, . есть монотонно убывающая последовательность.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.

Если в данную формулу подставить вместо b_n его выражение в виде b₁q n -1 , то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁b_n = b₂b_n_-1 = . т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Наконец, нельзя не коснуться такого важного с научной точки зрения понятия, как бесконечной геометрической прогрессии при . Здесь наиболее важным понятием является понятие суммы бесконечной геометрической прогрессии: пусть (x_n) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .

Найти эту сумму можно по следующей формуле:

Список использованной литературы

1. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

2. С. А. Теляковский, Алгебра, учебник для 8 класса средней школы, Москва, Просвещение, 1987 г.

3. Личные заметки и наблюдения автора

Подобные документы

Определение номера и значения членов прогрессии для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вычисление относительной погрешности величины. Определение значений машинного нуля и бесконечности. Поведение погрешностей в зависимости от аргумента.

лабораторная работа [283,1 K], добавлен 15.11.2014

Квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. Логарифмическая функция. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

контрольная работа [166,3 K], добавлен 19.05.2006

Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.

лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010

Прогрессии многочленов и их матриц. Описание вертикальных рядов. Построение алгебраической трапеции из ограниченного количества чисел ряда последовательности. Свободные члены выражений. Особенности разрешимости Диофантовых уравнений. Расшифровка формул.

курсовая работа [654,7 K], добавлен 31.12.2015

Натуральные, целые, иррациональные числа. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Экономические вопросы, связанные с деньгами, прибылью, доходами. История открытий (Эвклид, Архимед, Лобачевский, Эйнштейн).

творческая работа [50,0 K], добавлен 18.06.2007

Характеристика основных свойств геометрической фигуры – параллелограмма. Анализ теоретических определений параллелограмма - если противоположные стороны попарно параллельны, если противоположные стороны попарно равны, если противоположные углы равны.

презентация [136,3 K], добавлен 12.05.2010

Разработка методических аспектов обучения учащихся элементам теории вероятностей. Способы определения, последовательности изложения трактовок вероятности и формирование аксиоматического понятия. Задачи, решаемые при изучении геометрической вероятности.

Коды ОГЭ по математике: 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии. 4.2.4. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Определение . Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. (Первый член геометрической прогрессии также не может быть равен нулю.)

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

Или b_n₊₁ = b_n • q.

Пример 1. Пусть b₁ = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Пример 2. Пусть b₁ = 5 и q = –2. В этом случае знаки у членов прогрессии чередуются: 5; –10; 20; –40; 80; –160; 320; … . Это последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

Формула n–го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, a знаменатель равен q:

b_n = b₁ • q n–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Если последовательность (b_n) – геометрическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство: b_n = b_m • q n- m .

Пример 3. В геометрической прогрессии b₃ = –1/2, b₆ = 4. Найдём b₁₂.

Изображение членов геометрической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

На рисунке точками изображены несколько членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b₁ = 1, q = 2; эта прогрессия задаётся формулой
b_n = 2 n -1 .

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то

Заметим, что если 0

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное образовате6льное учреждение Ширинская средняя общеобразовательная школа №18

Секция математики, информатики и физики

Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни

Ученица 9 б класса

Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий………………………………………………………………4

История возникновения арифметической и геометрической прогрессий…………………………………………………….….5

Арифметическая и геометрическая прогрессии…………. ….7

Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни…………………………………………………………………. 10

Арифметические и геометрические прогрессии в повседневной жизни……………………………………………10

Библиографический список..………………………………………. 14

Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку.

В 9 классе мы начинаем изучать числовые последовательности. Изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии.

Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий.

Гипотеза исследования : если математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: у становить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

когда и в связи, с какими потребностями человека появилось

понятие последовательности, в частности - прогрессии;

какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и

практических знаний по изучаемой проблеме;

теоретические основы геометрической и арифметической

Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Методы исследования:

анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета;

обобщение найденных фактов в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках.

В данной работе, мы отразим применение прогрессий в повседневной

жизни, и покажем, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий

История возникновения арифметической и геометрической прогрессий

Идея предела последовательности восходит к V - IV вв. до н. э. Прогрессии - частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э. [1].

При решении вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная от мины, или мины. [1].

Таким образом, первые задачи дошедшие да нас на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта ( V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы квадратов натуральных чисел

В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.

2. Арифметическая и геометрическая прогрессии

В толковом словаре понятия арифметической и геометрической прогрессии даются следующим образом:

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления или вычитания некоего постоянного числа.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем умножения или деления на некое постоянное число [4].

Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d , называют арифметической. При этом число d называют разностью прогрессий.

Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если .

Формула n -члена арифметической прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство

то - арифметическая прогрессия.

Теорема: Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Формула n -го члена геометрической прогрессии.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство

то - геометрическая прогрессия.

Теорема: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Таким образом, в первой главе нами было выяснено, когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; рассмотрены теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни

Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни

Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:

Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз;

Физика: нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2 нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия;

… Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…

Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,

4, 6, 8… . Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Прогрессия 2, 4, 6, 8…

Прогрессия 2,4,6, 8, 10,12…

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…

Прогрессия 1, 3, 5, 7…

Листья падают в саду…
В этот старый сад, бывало,
Ранним утром я уйду
И блуждаю, где попало. (И.Бунин) [ 10 ] .

Биология: в микробиологии также работают законы математики. Так, микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например: летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b ₁₅ = 2·2 14 = 32 768 (геометрическая прогрессия )

Экономика: прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.

Например, нужно рассчитать доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 6% годовых. Схема расчета такова: , тогда получаем (Приложение 1, Таблица 1).

Налицо геометрическая прогрессия: 103037.75 рублей, где 100 000 – первоначальная сумма депозита, а 1,005 – знаменатель прогрессии (Приложение 1, Диаграмма 1)

Медицина: по такой же схеме идёт распространение инфекционной болезни среди людей. Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.

Или можно рассмотреть в качестве примера прием таблеток – 2 таблетки 3-4 раза в день, т.е. часы приема: 8 часов, 11 часов, 14 часов, 17 часов. На лицо арифметическая прогрессия: .

Таким образом, нами были рассмотрены примеры применения прогрессий в нашей жизни и мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия, так же можно сделать вывод, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Целью данного исследования было у становить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Мы в соответствии поставленным задачам в ыявили: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Установили, какое прикладное значение имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и показали примеры применения прогрессий в нашей жизни.

В ходе исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках по применению прогрессий.

Таким образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, значит и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Библиографический список

Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.

Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.

Читайте также: