Доклад на тему числовые функции

Обновлено: 02.07.2024

на тему «Понятие функции. Область определения функции.

2. Способы задания функции…………………………………………. 5

3. Виды функций и их свойства……………………………………………. 6

Список использованной литературы…………………………………………. 12

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r 2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Раздел 1. Функция и её свойства.

Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )

Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂ , таких, что х₁ f (х₂ )

Раздел 2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у= f ( x ) , где f ( x )- с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Раздел 2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b - некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .

Cвойства функции y=kx :

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k 0функция возрастает, а при k 0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k 2

Свойства функции y=x 2 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 2 - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола .

6)Функция y=x 3

Свойства функции y=x 3 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3 - нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y = x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8. В этом случае функция y = x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х| n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y = x - n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7. В этом случае функция y = x - n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2 :

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y = Ö х

Свойства функции y = Ö х:

1. Область определения - луч [0;+¥).

2. Функция y= Ö х - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y = 3 Ö х

Свойства функции y = 3 Ö х:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y= 3 Ö х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y= n Ö х

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y = Ö х . При нечетном n функция y = n Ö х обладает теми же свойствами, что и функция y = 3 Ö х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y = x r , где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x r :

1. Область определения- луч [0;+¥).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке изображен график функции y=x 5/2 . Он заключен между графиками функций y=x 2 и y=x 3 , заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y = x r , где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x 2/3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y = x r , где 0 - r , где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x - r :

1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+¥)

14)Обратная функция

Если функция y = f ( x ) такова, что для любого ее значения y_o уравнениеf ( x )= y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Понятие фу нкции является одним из ос новных понят ии ма тематики вообще . Оно не воз никло сразу в таком виде, как мы им пользуемс я сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный пут ь диалектического и и сторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегре чес кой математике.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет".

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".

Список использованной литературы

1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: "Дрофа", 2000 года.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.

3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: "Просвещение", 1990 года.

4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: "НГТУ", 2002 года.

5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: "Физматлит", 2002 года.

В математике идея функции появилась вместе с понятием величины. Она была тесно связано с геометрическими и механическими представлениями. Термин функция ( с лат. – исполнение) впервые ввёл Лейбниц в 1694г. Под функцией он понимал абсциссы, ординаты и другие отрезки, связанные с точкой, описывающей некоторую линию.

Билеты и ответы по геометрии

формат doc
размер 13.98 КБ
добавлен 04 октября 2011 г.

2011, 12 стр. Аксиомы стереометрии. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную прямую и точку вне ее. Параллелепипед, его элементы. Теорема о точке пересечения диагоналей параллелепипеда. Параллельные прямые (определение). Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на этой прямой. Вывод формулы площади сферы. Прямая, параллельная плоскости (определ.

Билеты по Геометрии

формат doc
размер 41.77 КБ
добавлен 11 января 2011 г.

Стр. 10. Экзаменационные билеты по геометрии. 10 билетов. Аксиомы стереометрии. Параллелепипед, его элементы. Параллельные прямые (определение). Вывод формулы площади сферы. Прямая, параллельная плоскости (определение). Вывод формулы объема конуса. Параллельные плоскости (определение). Вывод формулы объема пирамиды. Касательная плоскость (определение). Прямая, перпендикулярная плоскости (определение). Площадь боковой поверхности пирамиды. Т.

Все формулы по математике и геометрии

формат doc
размер 263.8 КБ
добавлен 04 марта 2010 г.

Этот сборник для Абитуриентов, в него вошли формулы для: Обратные тригонометрические функции. Пределы Производная, касательная к графику. Свойства корня. Свойства модуля. Свойства степеней. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Формулы логарифмов. Формулы сокращенного умножения. Все формулы.

Макарычев. Учебник Алгебра. 8 класс

формат djvu
размер 2.21 МБ
добавлен 04 апреля 2010 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ. Рациональные дроби и их свойства. Рациональные выражения. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Сумма и разность дробей. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Произведение и частное дробей. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Деление дробей. Преобразование рациональных выражений. Функция y=k/x и ее график. Дополнительные упражне.

Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс

формат djvu
размер 1.49 МБ
добавлен 19 сентября 2010 г.

Учебник для общеобразовательных учреждений. 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002 - 192 с.: ил. Оглавление. Предисловие для учителя. Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений. Числовые функции. Прогрессии. Элементы теории тригонометрических функций.

Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н., Алгебра. 9 класс. Задачник

формат djvu
размер 899.52 КБ
добавлен 07 января 2010 г.

Тип: Учебник Издательство: Мнемозина Год издания: 2002 Cтраниц: 132 Основная особенность задачника — тщательно выстроенная система упражнений по степени нарастания трудности. Названия параграфов задачника и учебника идентичны. Учебник и задачник прошли широкую экспериментальную проверку в школах России. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя 3 Задачи на повторение 5 Глава 1. НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ § 1. Линейные и квадратные неравенства 13 §.

Ответы для подготовки к вступительным экзаменам по математике (9 класс)

формат doc
размер 2.8 МБ
добавлен 24 июля 2009 г.

Натуральные числа и действия над ними. Делители и кратные. Признаки делимости. Простые числа. Разложение числа на простые множители. НОД и НОК числа. Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Отношения. Пропорции. Основное свойство пропорции. Пропорциональные и обратно пропорциональные величины. Степень с натуральным показателем. Умножение и деление степеней с одинаковым основ.

Прикладная математика - формулы

формат chm
размер 8.33 МБ
добавлен 01 июня 2009 г.

Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии. Часть 1. Планиметрия

формат djvu
размер 1.9 МБ
добавлен 29 января 2011 г.

Для 6 - 9 классов семилетней и средней школы. Издание 26. Москва: Учпедгиз, 1961. - 120 с. Оглавление прямая линия. Углы. Треугольники и многоугольники. Перпендикуляр и наклонные. Осевая симметрия. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника и многоугольника. Параллелограммы и трапеции. Окружность. Измерение углов дугами. Пропорциональные отрезки. Свойство биссектрисы в треугольнике. Подобие треугольников и многоугольников. Числовая зависимост.

Цыпкин А.Г., Цыпкин Г.Г., Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ: Справочник

формат pdf
размер 896.92 КБ
добавлен 04 июня 2009 г.

М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит-ры, 1985 г. — 112 с. Представлены основные формулы алгебры, геометрии (включая дифференциальную геометрию и векторное исчисление), тригонометрии. Широко представлены формулы и основные понятия и теоремы математического анализа. Приведены таблицы основных интегралов. Для широкого круга специалистов и учащейся молодежи. Действительные числа. Алгебра. Действительные числа. Алгебра. Геометрия. Элементарная геоме.

Функцией называется закон f, по которому каждому элементу x∈X ставится в соответствие единственный элемент y.

Обозначения:

1. (график функции – парабола);

2. (функция обратная пропорциональность, график функции – гипербола);

3. (линейная функция, график функции – прямая);

4. (квадратичная функция, график функции – парабола);

5. (график функции – ветвь параболы);

6. .

Рис. 1. График функции .

Функций много, но все задаются по правилу: каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Например, для функции при .

2. Область определения функции

Понятие функции является важнейшим в математике. Важны все элементы, задающие функцию.

Множество всех допустимых значений аргумента называется областью определения функции и обозначается . E(f) - область значения.

В случае, когда , функцию называют числовой.

Рассмотрим несколько примеров на нахождение естественной области определения функции (так говорят, если множество не задано).

1. . Ответ: .

2. . Ответ: , т.к. нельзя делить на 0.

3. . Ответ: , т.к. нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел.

4. . Ответ: .

5. . Ответ: .

6. . Ответ: .

Область определения функции – важнейший элемент функции. Если при задании функции множество не задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения .

1. Найти область определения и построить график функции .

Ответ: (естественная область определения).

Графиком функции является парабола (см. Рис.1).

2. Найти область определения и построить график функции .

Ответ: .

Графиком функции является часть параболы (см. Рис.2).

Рис. 2. График функции .

Область определения всегда присутствует при задании функции: то ли в явном виде, то ли считается естественной областью определения.

3. Область значений функции

При изменении аргумента из области определения функции значения функции меняются на своем множестве.

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции, которая обозначается .

Рассмотрим несколько примеров на нахождение области значений функции.

1. , ; . Ответ: . См. Рис. 1.

2. , ; . Ответ: . См. Рис. 2.

4. Основные свойства

Рис. 1. График функции

1. – проекция на ось ;

2. – проекция на ось ;

3. – корни (нули функции);

4. ;

5. .

В целом функция не монотонна. Рассмотрим промежутки монотонности.

Возрастающая функция

Рис. 2. График возрастающей функции

Определение. Функцию называют возрастающей на множестве , если для любых и из множества , таких, что , выполняется неравенство .

Разъяснение: большему значению аргумента соответствует большее значение функции (см. рис. 2).

Убывающая функция

Определение. Функцию называют убывающей на множестве , если для любых множества, таких, что , выполняется неравенство.

Разъяснение: большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (см. рис. 3).

Рис. 3. График убывающей функции

Ограниченная снизу функция

Рис. 4. График ограниченной снизу функции

Определение. Функцию называют ограниченной снизу на множестве , если все значения функции на множестве больше некоторого числа (иными словами, если существует число такое, что для любого значения выполняется неравенство ) (см. рис. 4).

Ограниченная сверху функция

Определение. Функцию называют ограниченной сверху на множестве, если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число такое, что для любого значения выполняется неравенство ) (см. рис. 5).

Рис. 5. График ограниченной сверху

Наименьшее значение функции

Рис. 6. График и наименьшее значение функции

Определение. Число называют наименьшим значением функции на множестве , если:

1. В существует такая точка , что .

2. Для всех выполняется неравенство .

Ясно, что, если у функции существует , то она ограничена снизу (см. рис. 6).

Наибольшее значение функции

Определение. Число называют наибольшим значением функции на множестве , если:

1) в существует такая точка , что ;

2) для всех выполняется неравенство .

Ясно, что, если у функции существует , то она ограничена сверху (см. рис.7).

Рис. 7. График и наибольшее значение функции

Понятие выпуклой функции

Функция выпукла вниз на множестве (кривая под отрезком) (см. рис.8).

Рис. 8. График выпуклой вниз функции

Рис. 9. График выпуклой вверх функции

Функция выпукла вверх на множестве (кривая над отрезком) (см.рис. 9).

Понятие непрерывной функции

Рис. 10. График непрерывной на отрезке функции

Непрерывность функции на промежутке означает: график сплошной, без проколов и скачков (см. рис.10).

Рис. 11. График функции

Пример функции, которая не является непрерывной (см. рис. 11):

Пример конкретной функции

Решение. График функции на рис. 12.

Ответ: 1) ;

2) ;

3) возрастает при ;

4) убывает при ;

5) .

Рис. 12. График функции

В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел " width="" height="" />
.

Содержание

График функции

Фрагмент графика функции

Примеры

Способы задания функции

Аналитический способ

Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции. Возможно кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.

Табличный способ

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:

		$~x \land y$

Графический способ

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

Рекурсивный способ

Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Словесный способ

Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.

функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;
функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;
функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.

Классы числовых функций

Исторический очерк

Появление понятия

Математическое моделирование явлений и законов природы приводит к возникновению понятия функции, которое поначалу ограничивается алгебраическими функциями (многочленами) и тригонометрией. Как и остальные понятия математики, общее понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. Разумеется, и в древности при вычислениях люди неосознанно использовали различные функции (например, квадратный корень) и даже уравнения, однако как отдельный математический объект, допускающий общее аналитическое исследование, функция могла появиться только после создания Виетом символической алгебры (XVI век) [1] . Даже в XVII веке Непер, вводя в обиход логарифмическую функцию, использовал обходной путь — определил её кинематически.

Первые попытки определения

В приложениях анализа появляется множество новых трансцендентных функций. Когда Гольдбах и Бернулли попытались найти непрерывный аналог факториала, молодой Эйлер сообщил в письме Гольдбаху о свойствах гамма-функции (1729, название принадлежит Лежандру). Через год Эйлер открыл бета-функцию, и далее неоднократно возвращался к этой теме. Гамма-функция и связанные с ней (бета, дзета, цилиндрические (Бесселя)) находят многочисленные применения в анализе, а также в теории чисел, а дзета-функция Римана оказалась незаменимым инструментом для изучения распределения простых чисел в натуральном ряду.

В 1757 году Винченцо Риккати, исследуя секторы гиперболы, вводит гиперболические функции ch, sh (именно с такими обозначениями) и перечисляет их основные свойства. Немало новых функций возникло в связи с неинтегрируемостью различных выражений. Эйлер определил (1768) интегральный логарифм (название предложил И. Зольднер, 1809), Л. Маскерони — интегральные синус и косинус (1790). Вскоре появляется и новый раздел математики: специальные функции.

С этим пёстрым собранием надо было что-то делать, и математики приняли радикальное решение: все функции, независимо от их происхождения, были объявлены равноправными. Единственное требование, предъявляемое к функции — определённость, причём имеется в виду не однозначность самой функции (она может быть и многозначной), а недвусмысленность способа вычисления её значений.

Под влиянием теории бесконечных рядов, которые давали алгебраическое представление почти любой гладкой зависимости, наличие явной формулы постепенно перестало быть обязательным для функции. Логарифм или показательная функция, например, вычисляются как пределы бесконечных рядов; такой подход распространился и на другие нестандартные функции. С рядами стали обращаться как с конечными выражениями, первоначально никак не обосновывая корректность операций и даже не гарантируя сходимость ряда.

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых.

Общее определение

Близко к современному и определение Лобачевского:

…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от называть число, которое даётся для каждого и вместе с постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе.

Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него. Вот определение Дирихле (1837):

$a \leqslant x \leqslant b$

у есть функция переменной х (на отрезке ), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определённое значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами.

К концу XIX века понятие функции перерастает рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Примеры

Неявные функции

Функции могут быть заданы при помощи других функций и уравнений.

Предположим, задана функция двух переменных, которая удовлетворяет специальным условиям (условиям теоремы о неявных функций), тогда уравнение вида.

определяет неявную функцию вида .

Обобщённые функции

См. также

Примечания

↑Юшкевич А. П., 1966, с. 134-135
↑Юшкевич А. П., 1966, с. 137-138
↑ 12Юшкевич А. П., 1966, с. 144-148
↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М .: Просвещение, 1977. — С. 84. — 224 с.

Литература

История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
Никольский С. М. Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
Юшкевич А. П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. — М .: Наука, 1966. — № 17. — С. 123-150.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Числовая функция" в других словарях:

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что арифметическая функция … Математическая энциклопедия

Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия

Числовая последовательность — Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

Функция ограниченной вариации — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… … Википедия

Функция — I Функция (от лат. functio совершение, исполнение) (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных,… … Большая советская энциклопедия

ПОЛУНЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция из первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция f, определенная на полном метрич. пространстве X, наз. полунепрерывной снизу (сверху) в точке , если Функция f наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X, если она. полунепрерывна снизу… … Математическая энциклопедия

Статистика (функция выборки) — У этого термина существуют и другие значения, см. Статистика (значения). Статистика (в узком смысле) это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В широком смысле термин (математическая)… … Википедия

R-функция — (функция В. Л. Рвачёва) числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы и . Впервые R функции были введены в работах… … Википедия

Читайте также: