Доказательство от противного доклад

Обновлено: 28.06.2024

1. Удостоверенные единичные факты (статистические данные, данные науки, подписи лица на документе, свидетельские показания). Роль фактов в обосновании выдвинутых положений очень велика. Факты нельзя брать отрывочно, необходимо использовать всю имеющую совокупность фактов, в противном случае могут возникнуть подозрения, что факты подобраны произвольно и преподносятся как субъективное высказывание.

3. Аксиомы – положения, которые принимаются без доказательства.

4. Ранее доказанные положения, законы науки, теоремы.

Доказательство прямое и косвенное

Прямое доказательство – доказательство, когда истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. По этому типу производятся доказательства в споре, науке, судебной практике.

Косвенное доказательство – доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путем доказательства ложности антитезиса.

а – тезис, ā (не-а) – антитезис, т. е. суждение, противоречащее тезису.

Пример:

а: Эти розы красные (тезис).

ā: Эти розы не являются красными (антитезис).

практические задания

Пример 1

а: Россия дала миру многих выдающихся художников, музыкантов, композиторов.

Построим прямое доказательство данного тезиса. В качестве демонстрации используем неполную индукцию.

Схема индукции:

1. S1 имеет признак Р.

2. S2 имеет признак Р.

3. Sn имеет признак Р.

Все предметы класса К имеют признак Р.

Репин, Айвазовский – выдающиеся художники.
Чайковский, Римский-Корсаков – выдающиеся композиторы.
Шаляпин, Козловский – выдающиеся музыканты.
Репин, Айвазовский, Чайковский, Римский-Корсаков, Шаляпин, Козловский родились в России.

что и требовалось доказать.

Пример 2

а: Отношения между молодыми членами этой большой семьи должны быть добрыми.

Построим прямое доказательство данного тезиса. В качестве демонстрации используем аналогию.

Схема аналогии:

Объект А имеет признаки а, в, с.

Объект В имеет признаки а, в.

Объект В имеет признак с.

Отношения между пожилыми членами этой большой семьи уважительные (а), заботливые (в), добрые (с).

Отношения между молодыми членами этой большой семьи уважительные (а), заботливые (в).

Скорее всего, между молодыми членами этой большой семьи отношения будут добрыми (с),

что и требовалось доказать.

Пример 3

Построим прямое доказательство данного тезиса. В качестве демонстрации используем дедукцию (простой категорический силлогизм).

А Главные герои погибают (М+) в трагедии (Р-).

что и требовалось доказать.

Правила первой фигуры (большая посылка общая, меньшая – отрицательная) соблюдаются.

Общие правила силлогизма соблюдаются.

Правила модусов соблюдаются: модус ААА первой фигуре соответствует.

Вывод логически необходим.

Пример 4

Используем косвенное доказательство тезиса, то есть с использованием антитезиса.

Ф ормулируем антитезис – суждение, противоречащее данному.

ā: Земля является центром Вселенной.

Достаточно привести хотя бы один аргумент в опровержение антитезиса.

Из приведенного аргумента следует, что антитезис ложен, а тезис, в силу закона исключенного третьего (из двух противоречивых суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано) истинен: Земля не является центром Вселенной, что и требовалось доказать.

Тема 6.2. Опровержение

Понятие опровержения, его структура

Опровержение – логическая операция, направленная на разрушение доказательства.

Тезис опровержения – суждение, которое нужно опровергнуть.
Аргументы опровержения – истинные и связанные с тезисом суждения, с помощью которых опровергается тезис.
Демонстрация – способ логической связи между тезисом опровержения и аргументами опровержения.

В соответствии с тремя структурными элементами опровержения существуют три способа опровержения.

1. Опровержение тезиса(прямое и косвенное)

а) прямое опровержение тезиса – это опровержение, когда в качестве фактов должны быть проведены действительные события, явления, статистические данные, результаты экспериментов, которые противоречат тезису. В подборе фактов необходимо учитывать их истинность.

Подбираем факты, противоречащие тезису; в качестве демонстрации используем индукцию.

А. 1. Температура поверхности Венеры – более 200˚ по Цельсию.

А. 2. Давление поверхности Венеры – 90–97 атмосфер.

А. 3. Данные температура и давление несовместимы с органической жизнью.

Следовательно, органическая жизнь на Венере невозможна.

в) косвенное опровержение тезиса– это опровержение тезиса через доказательство антитезиса. По отношению к опровергаемому тезису (суждению а) выдвигается антитезис, т. е. противоречащее суждение ( ā ), и антитезис доказывается.

Формулируем антитезис. Для суждения типа А антитезисом будет частноотрицательное суждение типа О:

ā: Некоторые собаки не лают (О).

В качестве аргумента достаточно привести хотя бы один пример.

Антитезис истинен, следовательно, тезис, в силу закона исключенного третьего (из двух противоречивых суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано) ложен, что и требовалось доказать.

2. Критика аргументов

Доказывается ложность или несостоятельность аргументов, которые были выдвинуты оппонентами в обоснование его тезиса. При этом тезис может оставаться истинным. Иногда достаточно показать, что тезис не доказан. Доказать тезис должен тот, кто его выдвинул.

– Щедрин сам по себе, а Пушкин сам по себе, – угрюмо ответил Никитин.

– Я знаю, у вас в гимназии не признают Щедрина, но не в этом дело. Вы скажите мне, какой же Пушкин психолог?

– Никакой не вижу тут психологии, – вздохнула Варя. – Психологом называется тот, кто описывает изгибы человеческой души, а это прекрасные стихи, и больше ничего.

– Я знаю, какой вам нужно психологии! – обиделся Никитин. – Вам нужно, чтобы кто-нибудь пилил мне тупой пилой палец и чтобы я орал во всё горло, – это, по-вашему, психология.

– Плоско! Однако вы все-таки не доказали мне: почему же Пушкин психолог?

. За него вступились офицеры. Штабс-капитан Полянский стал уверять Варю, что Пушкин на самом деле психолог, и в доказательство привел два стиха из Лермонтова; поручик Гернет сказал, что если бы Пушкин не был психологом, то ему бы не поставили бы в Москве памятника.

. – Я больше не спорю!– крикнул Никитин. – Это его же царствию не будет конца! Баста! …

– Сознайтесь, что вы не правы! – крикнула Варя. – Сознайтесь!

Бывают случаи, что тезис истинен, а человек не может подобрать для его доказательства истинные аргументы.

Пример. Ещё в Древней Греции астроном Аристарх выдвинул идею гелиоцентризма, согласно которой Солнце находится в центре космической системы, а Земля вращается вокруг него. Однако убедительные аргументы в обоснование своего тезиса Аристарх привести не смог. Это удалось сделать только в XV в. польскому астроному Николаю Копернику, которой математически доказал вращение Земли вокруг Солнца.

3. Выявление несостоятельности демонстрации

Показываются ошибки в форме доказательства.

Наиболее распространенная ошибка: подбор таких аргументов, из которых истинность данного тезиса не вытекает.

Доказательство может быть построено неправильно, если нарушено какое-либо правило умозаключения: допущены нарушения правил умозаключений: дедукции, индукции (например, поспешное обобщение), аналогии (антропоморфизм или поверхностная аналогия).

Обнаружив ошибки в ходе демонстрации, нужно опровергнуть её ход, но не опровергать сам тезис. Тезис доказывает тот, кто его выдвинул.

Опытные участники спора, как правило, с успехом используют одновременно несколько способов опровержения: критика тезиса может сочетаться с опровержением аргументов и показом несостоятельности демонстрации.

практическое задание

Каждый журналист обладает ораторскими способностями.
Земля – центр Вселенной.
Компьютеры – лучшие игрушки для детей.
Все родители любят своих детей.
По всем изучаемым предметам мы имеем учебники.
Есть много фруктов полезно для здоровья.

Пример

а: Каждый журналист обладает ораторскими способностями.

Данное суждение общеутвердительное, типа А.

Используем косвенное опровержение тезиса, то есть через доказательство антитезиса.

Формулируем антитезис – суждение, противоречащее тезису. Для суждения типа А антитезисом будет частноотрицательное суждение типа О:

ā: Некоторые журналисты не обладают ораторскими способностями (О).

В качестве аргумента достаточно привести хотя бы один пример.

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения – антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем установления его несовместимости с заведомо истинным суждением. Часто доказательство от противного опирается на двузначности принцип.

Философский энциклопедический словарь . 2010 .

обоснование суждения путем опровержения методом "приведения к нелепости" (reductio ad absurdum) нек-рого другого суждения, – именно того, к-рое является отрицанием обосновываемого (Д. от п. 1-го вида) или того, отрицанием к-рого является обосновываемое (Д. от п. 2-го вида); "приведение к нелепости" состоит в том, что из опровергаемого суждения выводится к.-л. явно ложное заключение (напр., формальнологическое противоречие), что и свидетельствует о ложности этого суждения. Необходимость различения двух видов Д. от п. вытекает из того, что в одном из них (именно, в Д. от п. 1-го вида) имеет место логический переход от двойного отрицания суждения к утверждению этого суждения (т.е. применяется т.н. правило снятия двойного отрицания, разрешающее переход от A к А, см. Двойного отрицания законы), в то время как в другом такого перехода нет. Ход рассуждения в Д. от п. 1-го вида: требуется доказать суждение А; в целях доказательства предполагаем, что суждение А неверно, т.е. что верно его отрицание: Ā (не-А), и, опираясь на это предположение, логически выводим к.-л. ложное суждение, напр. противоречие, – осуществляем "приведение к нелепости" суждения А; это свидетельствует о ложности нашего предположения, т.е. доказывает, истинность двойного отрицания: A; применение к A правила снятия двойного отрицания завершает доказательство суждения А. Ход рассуждения в Д. от п. 2-го вида: требуется доказать суждение Ā; в целях доказательства предполагаем верным суждение А и приводим это предположение к нелепости; на этом основании заключаем, что А ложно, т.е. что верно Ā.

Различение двух видов Д. от п. важно потому, что в так называемой интуиционистской (конструктивной) логике закон снятия двойного отрицания не имеет места, в силу чего не допускаются и Д. от п., существенно связанные с применением этого логического закона. См. также Косвенное доказательство.

Лит.: Тарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч Α., Введение в математич. логику, пер. с англ., [т.] 1, М., 1960.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960—1970 .

Противное не в том смысле, что мерзкое, а в том, что противоположное.

Это один из специальных методов доказательства в математике. Когда нам не удаётся доказать прямое утверждение, мы берем его отрицание и смотрим, что получится. Так, раз уж разговор зашел про отрицание утверждений, логично было бы сначала рассказать про операции над высказываниями. Да и о самих высказываниях тоже. Хотя здесь есть немного об этом . А отрицание будем понимать интуитивно.

Например, рассмотрим утверждение:

Выглядит логично. И, как говорят многие дети, что тут доказывать и так всё понятно. Но на слово никому верить нельзя, поэтому будем доказывать. И тут возникает вопрос, как доказать, что прямые пересекаются? Поставим вопрос по-другому, чтобы было понятнее. Из чего следует, что две прямые пересекаются? Может быть стало еще не понятнее, поэтому я сама отвечу. Например, если существует точка, которая принадлежит двум этим прямым, это будет означать, что они пересекаются. Ага, скажите вы, вот оно! Но тут возникает другая проблема, как доказать, что такая точка есть? Пффф, это ведь элементарно, предоставить ее. Но, если мы не знаем, что прямые пересекаются, откуда мы возьмем точку?

Я надеюсь, вы уже окончательно запутались и чувствуете себя не очень хорошо. Это значит, что пришло время "противного". Какое утверждение будет противоположно данному? Посмотрим, в нашей теореме говорится, что прямые пересекаются, значит противоположное состояние этих прямых не пересекаться или, как говорят геометры, быть параллельными.

Предположим, что это так. Что мы получили.

Прямые а и с точно пересекаются, это сказано в условии, то есть у них есть общая точка, другими словами они проходят через одну точку. И при этом обе эти прямые параллельны третьей прямой b . Хм, заметили? Да, это и не обязательно. Через точку вне прямой, проходит две прямые параллельные третьей. А если мы находимся в евклидовой геометрии, а мы именно там, то такое невозможно. Хотя Лобачевский бы не возражал.

Наше предположение привело нас к выводу противоречащему правдивым утверждением, а это значит, что оно не верно и эти прямые ( с и b ) действительно пересекаются. Повторюсь, в геометрии Евклида.

В случае данной теоремы сразу понятно, какой метод нужно использовать для доказательства. Но так бывает не всегда. Как понять? Интуиция. А если она молчит, то есть только один совет: не знаешь, что делать, делай, что можешь!

Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.

Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е. Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.

Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е, дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е.

В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е. Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.

Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.

Дано: из А следует Е и из А не следует Е.

Доказать: из А следует Е.

Доказательство: Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е.

Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е. Утверждение из А следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.

Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.

Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.

Дано: А .

Доказать: из А следует Е.

Доказательство.

1. Из А следует Б (по ранее доказанной теореме).

2. Из Б следует В ( по ранее доказанной теореме)).

3. Из В следует Г ( по ранее доказанной теореме).

4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).

5. Из Д следует Е ( по ранее доказанной теореме).

На основании закона транзитивности, из А следует Е. Прямая теорема доказана обычным методом.

Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А.

Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.

Дано: Е

Доказать: из Е следует А.

Доказательство.

!. Из Е следует Д ( по ранее доказанной обратной теореме).

1. Из Д следует Г ( по ранее доказанной обратной теореме).

2. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).

3. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А.

В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.

Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.

Обратная теорема утверждает: из Е не следует А. Её условие Е, из которое следует заключение А, является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А. В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А. Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.

В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.

Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А, в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А, которое доказано доказательством прямой теоремы.

Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А, что и требовалось доказать.

Вывод: логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.

Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.

Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма x n + y n = z n , где n > 2, имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y 2 + x (x — a n ) (y + b n ) = 0, которое задаётся его эллиптической кривой.

Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.

Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.

В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение , x n + y n = z n , где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение x n + y n = z n , где n > 2, имеет решения в целых положительных числах.

Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.

Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.

Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2, имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение x n + y n = z n , где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно.

Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.

Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.

Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение x n + y n = z n , где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение x n + y n = z n , где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.

Однако не будем на этом останавливаться. Проделаем какие-то другие преобразования и теперь уже получим, что

Например, у Пети есть только синие кубики. Иных кубиков у него в данный момент нет. Он держит в руках кубик. Какого этот кубик цвета?

Вообще говоря, в данном случае можно было бы даже не строить второе выражение со следованием в такой форме, а просто сказать, что из данной системы аксиом и добавленного к ней предположения A, одновременно выводятся B и !B (в данном случае, действительно уже выводятся).

Причём это было бы даже точнее и с большей вероятностью уберегло бы нас от распространённой ошибки, о которой пойдёт речь дальше.

В результате, всё сошлось: если мы получили противоречивые следствия, то наше предположение A не может быть истинным, но может быть ложным.

Дело тут вот в чём.

Таким образом, нет никакой гарантии, что к противоречию нас привело именно предположение об истинности A — вполне возможно, что просто именно в случае с A нам открылось скрытое в других суждениях противоречие, которое в других случаях себя не проявляло.

Давайте вместо A предположим !A. Сделаем какие-то операции и получим

Потом сделаем какие-то другие и получим

Как и раньше, это должно было бы означать, что предположение !A ложно, и, таким образом, A — истинно.

Наша же уверенность в том, что ложно именно A, базируется лишь на том, что мы его предположили первым и именно для него обнаружили противоречивые следствия. Для !A мы просто не стали проверять отсутствие аналогичного, а потому не можем быть уверены, что для него не получится точно то же самое.

Да, быть может, правда не получится, но ведь мы же не проверяли. Вдруг получилось бы?

Само собой, доказательством истинности A никак не может быть то, что мы его предположили первым — истинность не может зависеть от порядка проверки. А потому, не проверив, что аналогичного не получается с !A, мы ничего не доказали.

Точнее, мы доказали, что в комплекте всех использованных нами предпосылок, включающих в себя предположение A, есть либо ложное суждение, либо минимум два противоречивых. Быть может, нам повезло, и действительно противоречий нет, а единственное ложное суждение — A. Но могло ведь и не повезти, поэтому у нас нет никаких оснований считать, что доказана именно ложность A: его ложность — это лишь возможный вариант, а не единственный.

Может показаться, будто бы существует какой-то логический закон или некоторый их набор, который гарантирует нам, что обнаруженное в рамках доказательства от противного противоречие вытекает строго из предположения об истинности A и никак не может точно так же вытекать из предположения об истинности !A.

Однако таких законов нет. Такой вариант вполне возможен, что я проиллюстрирую примером.

В качестве предпосылок возьмём…

Для этого предположим, что

и начнём преобразования:

Тем не менее, в результате этих преобразований мы получили, что единица в этом случае должна быть равна нулю.

вписано в саму систему аксиом арифметики, которой мы пользуемся, а потому, будучи по этой причине всегда истинным, следует из абсолютно любого предположения.

То есть, с одной стороны,

но одновременно с тем

Мы получили противоречие в следовании и тем самым доказали, что наше предположение

ложно, и, значит, истинно то, что

Однако если бы мы здесь поставили традиционную в таких случаях точку, то не открыли бы удивительного.

Давайте предположим, что

а потом попробуем преобразовать и этот вариант тоже.

Однако в любом случае оказывается, что

как всегда истинная аксиома арифметики, и вместе с тем,

как выведенное нами при помощи набора аксиом из предположения.

не может быть истинным, и, таким образом, истинно, что

Мы бы писали что-то вроде

Это усугубляется ещё и тем, что для утверждения о противоречивости надо предъявить любое противоречие, что в ряде случаев довольно просто. Но вот для того, чтобы утверждать, что противоречий никогда не возникает, чего-то там единожды предъявить недостаточно. И даже много раз предъявить — тоже.

Для этого нужны какие-то очень нетривиальные рассуждения, причём универсальный способ доказательства непротиворечивости системы аксиом неизвестен и есть даже предположения о том, что такой универсальный способ вообще невозможен, а осуществимы только частные случаи: перебор всех возможных следствий некоторой системы аксиом и проверка, что среди них нет такой пары, которая утверждает истинность некоторого суждения и истинность его отрицания.

Если система аксиом допускает лишь конечное количество следствий, то такое гипотетически возможно, хотя и может потребовать времени больше времени жизни вселенной.

С потенциально же бесконечным количеством следствий, перебор невозможен вообще, а потому мы в ряде случаев можем лишь надеяться, что противоречий в системе аксиом нет, но не знать об этом наверняка.

Если же система, напротив, введена недавно и используется редко, либо же редко используются некоторые её фрагменты, то доказательство от противного для этой системы или этих её фрагментов будет весьма слабым: ведь каждый раз, когда получается в противоречие в следствиях некоторого предположение, весьма вероятно, что таким образом обнаружена противоречивость системы, а вовсе не доказано отрицание этого предположения.

Да, эта сложность, конечно, тоже побуждает оборвать доказательство от противного на середине — ведь в общем случае вообще неясно, как реализовать вторую его часть. И потому хочется просто взять и проигнорировать её, понадеявшись, что противоречий в системе нет.

Читайте также: