Зимняя научная школа анализ геометрия и математическая физика

Обновлено: 05.07.2024

В статье говорится о том, где и как повторить разделы математики на уроках физики, чтобы учащиеся могли применять знания полученные на уроках математики при решении физических вопросов и задач. какие конференции могут быть проведены учителями математики и физики совместно.

ВложениеРазмер
matematika_i_fizika.docx 20.64 КБ

Предварительный просмотр:

Межпредметные связи физики и математики.

Математика возникла из практических нужд людей. Её связи с практикой со временем становятся всё более и более многообразными и глубокими. Математика и физика не могут существовать изолированно друг от друга, они во все времена развивались взаимосвязано. Эта взаимосвязь двух наук стимулировала прогресс каждой науки в отдельности. Физик Исаак Ньютон закладывает краеугольный камень в основы математического анализа. Математика тоже со своей стороны даёт физике приёмы и средства общего и точного выражения физических зависимостей между величинами, которые появляются в результате теоретических изысканий или экспериментов.

Одна из наиболее важных характерных черт современной физики состоит в том, что выводы, сделанные из исходных идей, имеют не только качественный характер, но и количественный характер; чтобы сделать количественные выводы, мы должны использовать математический язык. И если мы хотим сделать выводы, которые можно сравнивать с результатами эксперимента, нам необходима математика как орудие исследования.

Переоценить роль математики на уроках физики невозможно. Если учащиеся не научились пользоваться математическим аппаратом, решать уравнения, системы уравнений, то им не удастся решить даже простейшую физическую задачу. На основе знаний математики формируется расчетно-измерительные умения, развивается логическое мышление, умение математически моделировать происходящие процессы повседневной жизни.

Детальные исследования межпредметных связей математики и физики проведены в работах А. Пинского и С. Тхамофоковой, В. Серикбаевой, Т. Богуславской, И. Семеновой, И. Юдиной, В. Бевз и других авторов.

Важную роль в осуществлении межпредметных связей играет физическое моделирование. Моделирование как метод познания включает в себя:

  • построение, конструирование модели
  • исследование модели (экспериментальное или мысленное)
  • анализ полученных данных и перенос их на подлинный объект изучения

Возможность межпредметных связей физики и математике обусловлена тем, что в математике и физике изучаются одноименные понятия (векторы, координаты, графики и функции, уравнения и т.д.), а математические средства выражения зависимостей между величинами (формулы, графики, таблицы, уравнения, неравенства) находят применение при изучении физики. Такое взаимное проникновение знаний и методов имеет не только прикладную значимость, но и создает благоприятные условия для формирования научного мировоззрения.

Рассмотрим, какие темы физики переплетаются с математическими понятиями: равноускоренное движение (линейная функция, производная функции), движение, взаимодействие тел, электродинамика (прямая и обратная пропорциональная зависимость), электростатика (векторы, действия над векторами), механика (векторы, действия над векторами, метод координат, производная, функция, график функции, уравнения и неравенства), оптика (симметрия, гомотетия, подобие фигур), При решении задач по геометрической оптике так же полезно вспоминать геометрические теоремы о подобии треугольников и равенстве углов. Перед изучением графической интерпретации изопроцессов ученикам полезно повторить решение уравнений и построение графиков из курса алгебры.

Неравенства можно встретить не только в математике. В курсе физики 7 класса учащиеся знакомятся с понятием силы Архимеда. Условия, при которых тело плавает на поверхности жидкости или тонет, записывается с помощью следующих неравенств:

> mg (тело плавает)

Многие задачи по электростатике на применение закона Кулона, нахождение напряжённости поля, создаваемого несколькими телами, задачи по геометрической оптике и другим разделам физики требуют знаний по геометрии и тригонометрии.

Понятие вектора имеет важнейшее, ключевое значение для решения целого класса задач из различных разделов курса физики.

  • определение вектора в математике
  • примеры векторных величин из курса физики
  • связь между понятиями координат вектора и проекции вектора на оси координат
  • использование векторов и их координат в физике при решении задач по кинематике, динамике (движение тел по наклонной плоскости), электростатике (нахождение кулоновской силы и напряжённости электрического поля, создаваемого несколькими зарядами)
  • примеры стереометрических задач с использованием координатного и векторного методов на примере физических величин

В целях закрепления пройденного материала по математике и физике в 11 классе и углубления пройденного в 10 классе по физике (раздел механики) на уроке целесообразно рассмотреть следующие вопросы:

  • определение производной в математике
  • физический смысл производной
  • примеры физических величин, являющихся производной по времени от других физических величин
  • таблица производных
  • вывод уравнения колебаний и его решение
  • использование производной для решения задач по механике (определение скорости и ускорения, нахождение максимальной величины)
  • использование производной при решении задач на механические или электромагнитные колебания
  • решение задач на нахождение первообразной

По теме: методические разработки, презентации и конспекты


Статья о межпредметной связи физика- культура бурятского народа

Мы считаем, что курс физики в общеобразовательных учебных заведениях должен быть гуманитарным, призванным решать познавательные и воспитательные задачи обучения. Ведь физика является важнейшей с.


Межпредметные связи физики и химии, как одно из средств повышения мотивации учащихся.

В статье излагается опыт использования МПС физики и химии. Приложен ряд материалов межпредметного содержания.


Формирование представления о целостной картине мира путем осуществления межпредметных связей физики с другими науками

Статья Трифоновой Е.В. посвящена актуальной теме межпредметных связей, которые создают благоприятную почву для интеграции знаний, повышению заинтересованности учащихся в обучении, общении. В статье .


Формирование мотивации к изучению математики посредством реализации межпредметных связей на уроках математики и во внеурочной деятельности

Мир представляет собой гигантскую систему, тоже состоящую из сложнейших систем. Однако, у систем любой природы много общего. Если знать это общее, то мы окажемся в очень выгодной ситуации, когда мы до.


Естественнонаучное образование. Межпредметные связи Физика-Математика

Тезисы выступления на семинаре. Естественно-научное образование.


Инновационные процессы, идущие сегодня в системе образования наиболее остро ставят вопрос о поисках резервов совершенствования подготовки высокообразованной, интеллектуально развитой личност.

Межпредметные связи физики и биологии на уроках физики

Одна из главных задач обучения физике — это развитие у учащихся представлений о современной физической картине мира, которая в свою очередь является частью научной картины мира. Развитие предста.

Школа проводится совместно факультетом математики НИУ ВШЭ и факультетом математики и компьютерных наук СПбГУ.
Школа состоит из набора миникурсов и ставит своей целью осветить различные направления современной математики и теоретической информатики. Мы приглашаем студентов старших курсов бакалавриата, планирующих продолжить изучение теоретической математики, студентов старших курсов математических и смежных специальностей, а также аспирантов.

Когда : 29 января - 03 февраля 2021 года
Где: онлайн на платформе Zoom
Расписание школы находится здесь.

На указанный вами при регистрации адрес будет выслана ссылка на zoom-конференцию, по которой будут проходить доклады.


Список миникурсов:

А.Ю. Пирковский (НИУ ВШЭ): Некоммутативный комплексный анализ: избранные сюжеты Prikovskii (PDF, 8.94 Мб)

Н екоммутативный комплексный анализ --- наука довольно молодая, поэтому он пока не имеет сформированного "ядра", характерного для более зрелых математических дисциплин. Иначе говоря, на данный момент трудно выделить достаточно стабильную совокупность фундаментальных понятий и результатов, которую, по общему соглашению работающих в этой области специалистов, можно было бы назвать основами некоммутативного комплексного анализа (и включить, например, в учебник). Фактически существует несколько точек зрения на то, что именно следует называть некоммутативным комплексным анализом. Они отличаются друг от друга, во-первых, выбором классических объектов, некоммутативные аналоги которых следует строить и исследовать, и во-вторых, "степенью некоммутативности" вводимых объектов. Среди классических объектов комплексного анализа, у которых есть содержательные "некоммутативизации", отметим, во-первых, сами голоморфные функции (рассматриваемые как индивидуальные объекты), алгебры голоморфных функций на различных областях в C^n или на комплексных многообразиях, банаховы (или операторные) алгебры голоморфных функций с определенными свойствами "конечности" (например, ограниченных или равномерно аппроксимируемых многочленами на некотором компакте), комплексные структуры на гладких многообразиях, голоморфные векторные расслоения. Что же касается "степени некоммутативности" соответствующих некоммутативных объектов, то с этой точки зрения некоммутативный комплексный анализ можно довольно грубо поделить на "свободный" и "квантованный". В первом случае "переменные", от которых берутся некоммутативные голоморфные функции, не связаны никакими соотношениями --- более точно это означает, что они порождают свободную ассоциативную алгебру. Во втором случае, напротив, такие соотношения имеются, зависят от некоторого числового параметра q, и при стремлении q к единице превращаются в соотношения коммутирования (так что "квантованный" комплексный анализ в некотором смысле содержит классический в качестве предельного случая). Цель данного миникурса --- дать доступное введение в некоторые направления некоммутативного комплексного анализа и по возможности обсудить взаимосвязи между ними. В частности, будут затронуты следующие сюжеты: голоморфные функции нескольких свободных переменных в духе Винникова и Калюжного--Вербовецкого, алгебры свободных голоморфных функций Тейлора и Попеску, квантовый шар Ваксмана и его некоммутативная граница Шилова (принцип максимума), алгебры голоморфных функций на квантовом полидиске и квантовом шаре, квантовый аналог теоремы Пуанкаре о голоморфной неэквивалентности полидиска и шара (и, возможно, некоторые другие).

В.И. Богачев (МГУ, ВШЭ): Пространства мер и оптимальная транспортировка Основные понятия (PDF, 87 Кб)

В лекциях будет дан доступный обзор современных исследований по геометрии и топологии пространств мер, вызванных ренессансом задачи Канторовича оптимальной транспортировки, наблюдаемым с начала этого века. Задача Канторовича и близкая задача Монжа еще XVIII века привлекают сейчас математиков из многих областей: нелинейного анализа и теории экстремальных задач, бесконечномерного анализа и стохастики, уравнений с частными производными и теории меры, геометрии многообразий, а возникающие при этом идеи и методы находят применения в математической экономике и математической физике. Несмотря на столько продвинутое ныне положение этого направления, в нем немало задач, для понимания которых достаточно сведений из обычного курса анализа и небольшого числа дополнительных определений, которые будут приведены в лекциях. После краткого введения в теорию меры на метрических пространствах будут обсуждаться метрики типа Канторовича на пространствах мер и связанные с ними виды сходимости мер, а также о бесконечномерные римановые многообразия мер. Наконец, будет рассказано о самих задачах Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки.

П.И. Дунин-Барковский (НИУ ВШЭ): Различные виды чисел Гурвица и их производящие функции

Числа Гурвица изучались с 19-го века. Исходные числа, введенные Адольфом Гурвицем (сейчас их называют "простые числа Гурвица") имеют очень простое комбинаторное определение: число Гурвица соответствует количеству способов представить перестановку данного циклического типа в виде произведения заданного количества транспозиций. Для Гурвица мотивировкой для изучения этих чисел было то, что они возникают в геометрическом контексте как количества разветвленных накрытий двумерной сферы.
Существует много интересных обобщений и модификаций понятия чисел Гурвица, включая двойные числа Гурвица, монотонные и строго монотонные числа Гурвица, числа Буске-Мелу--Шеффера и многие другие. Как выясняется, все эти виды чисел Гурвица приходят из т.н. тау-функций гипергеометрического типа иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП).
В рамках курса будут обсуждены основные определения и свойства различных типов чисел Гурвица (как с чисто комбинаторной, так и с геометрической стороны), с примерами. Затем будет кратко упомянута связь с иерархией КП (для этого от слушателей не потребуется никакого предварительного знания теории интегрируемых иерархий, все необходимые понятия будут объяснены). После этого будут обсуждены интересные свойства производящих функций чисел Гурвица. В частности, оказывается, что для максимально общего вида чисел Гурвица их естественные производящие функции можно представить в виде конечных рациональных выражений от небольшого количества базовых функций.

Л.Г. Рыбников (НИУ ВШЭ) : Соответствие Робинсона-Шенстеда-Кнута в алгебре и геометрии

Комплексные неприводимые представления симметрической группы Sn нумеруются разбиениями числа n (т.е. диаграммами Юнга из n клеток), а размерности этих представлений равны количеству стандартных заполнений соответствующей диаграммы Юнга (т.е. количеству стандартных таблиц такой формы). Согласно общей теореме, сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы. Таким образом, множество пар стандартных n-клеточных таблиц Юнга одинаковой формы и множество всех перестановок n-элементного множества равномощны. Соответствие Робинсона-Шенстеда-Кнута (RSK) - это чисто комбинаторный алгоритм, устанавливающий взаимно-однозначное соответствие между этими множествами. С другой стороны, то же самое соответствие возникает из двух разных способов индексации клеток Шуберта на многообразии полных флагов: при помощи перестановок и при помощи пар стандартных таблиц. Я постараюсь подробно разобрать перечисленные выше сюжеты: 1. описание неприводимых представлений симметрической группы, 2. конструкция биекции RSK и 3. клетки Шуберта на многообразии полных флагов), рассказать как они связаны и (если останется время) что-то сказать об их дальнейших обобщениях. Для понимания требуется хорошее знание линейной алгебры и начальные сведения из теории представлений и алгебраической геометрии.

Д.М. Столяров (СПбГУ) Об изоморфизме некоторых банаховых пространств

Я расскажу два классических, но полу-забытых сюжета из функционального анализа, более точно, из теории банаховых пространств. Первый — это теорема Милютина (1952), которая гласит, что для всяких несчётных метрических компактов $K_1$ и $K_2$ банаховы пространства $C(K_1)$ и $C(K_2)$ изоморфны (то есть, существует линейный гомеоморфизм между ними). Второй — теорема Хенкина (1967) о том, что между пространствами $C^1([0,1]^2)$ и $C([0,1]^2)$ такого изоморфизма нет.

А. В. Тискин (СПбГУ): Эффективные параллельные алгоритмы Slides (PDF, 3.96 Мб)

Параллельные вычисления, еще относительно недавно бывшие узкоспециализированной темой, стремительно входят в мейнстрим современной компьютерной науки. Новый уровень сложности, привносимый параллелизмом в вычислительный процесс, создает потребность в его теоретическом осмыслении. Наряду с временем, затраченным на собственно вычисления, в качестве ограниченных ресурсов при параллельных вычислениях должны рассматриваться также межпроцессорная коммуникация и синхронизация; кроме того, особое значение приобретает эффективное использование памяти и отказоустойчивость. В курсе будут рассмотрены основные существующие модели параллельных вычислений; основное внимание будет уделено модели bulk-synchronous parallelism (BSP), предложенной Лесли Вэлиантом (Leslie Valiant) в 1990 г. Вычислительный процесс BSP представляет из себя последовательность блоков асинхронных локальных вычислений, чередующихся с блоками коммуникации и барьерной синхронизации. Вэлиант доказал, что этот класс параллельных вычислений может быть эффективно реализован при помощи чрезвычайно простого вероятностного алгоритма маршрутизации. При этом данный класс достаточно широк, чтобы служить основой для разработки эффективных параллельных алгоритмов. Мы изучим основные принципы разработки BSP алгоритмов на примере нескольких классических задач: сортировка и выбор порядковой статистики, быстрое преобразование Фурье, ранжирование списка, вычисления на решетке, умножение матриц, решение системы линейных уравнений, сравнение строк, поиск кратчайших путей в графе. Для большинства этих задач возможно наивное распараллеливание вычислений, однако оптимальные решения, с учетом затрат на коммуникацию и синхронизацию, зачастую нетривиальны и поучительны.

В.А. Соснило (СПбГУ): Пучки и континуум-гипотеза.

Континуум-гипотеза утверждает, что любое бесконечное подмножество вещественных чисел равномощно либо натуральным числам, либо вещественным. В 1963-м году Коэн показал, что это утверждение не зависимо от стандартной аксиоматики теории множеств ZFC, то есть ни оно, ни его отрицание не могут быть из неё выведены. Пучок на топологическом пространстве X − это локальный гомеоморфизм из некого пространства в X. Категория пучков на пространстве является моделью для теории множеств, поэтому вопросы независимости гипотез можно решать, доказывая утверждения о пучках. Развитие этой идеи позволяет передоказать результат Коэна. В этом курсе планируется разобрать эти идеи и это доказательство и, если останется время, обсудить вкратце теорию типов.

В.А. Боровицкий (СПбГУ): Гауссовы поля в машинном обучении


Gaussian random fields (Gaussian processes) are beautiful and rather well-studied mathematical objects that are useful in a number of areas outside of pure mathematics. In machine learning, they are widely accepted as a model of choice in scenarios where decision making under uncertainty is required e.g. in geological modeling, black-box optimization and robotics. In these lectures we will discuss Gaussian process models in machine learning. Specifically, we will talk about the efficient algorithms to fit Gaussian process models to data and to make predictions with them. We will also explore their applications in geostatistics, optimization and reinforcement learning.

По вопросам проведения школы можно обращаться к Дымову Андрею Викторовичу.

Магистратура по направлению
Прикладные математика и физика

Цель программы — обеспечить студентам мощный математический фундамент и глубокое понимание математической физики или ключевых вопросов теоретической физики. Главное достоинство программы — фокус на независимой научной работе каждого магистранта: за 2 года студент получает необходимый набор навыков и знаний для успешной научной и профессиональной карьеры.

Сколтех — новый международный исследовательский университет, созданный в Москве в сотрудничестве с MIT. Лаборатории Сколтеха оборудованы на уровне ведущих исследовательских центров мира. Здесь преподают эксперты с мировым именем, учатся студенты из более чем 40 стран.


Обложка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268

Читайте также: