Задачи на подсчет числа размещений перестановок сочетаний план урока

Обновлено: 02.07.2024

Урок обобщения основных формул комбинаторики. Опорная таблица для решения задач на подсчет перестановок, сочетаний и размещений. Работа по учебнику Ш.А.Алимова.

Вложение	Размер
Урок по теме: "Элементы комбинаторики"	27.74 КБ

Предварительный просмотр:

Урок по теме: "Элементы комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания"

Учитель математики МАОУ СОШ №24 Т. В Ведищева

Цель урока: формирование навыка решения комбинаторных задач.

познакомить студентов с новым разделом математики: "Комбинаторика", с его историей, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;
ввести основные понятия комбинаторики, задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.
способствовать формированию информационной и коммуникативной компетенций

развивать аналитические способности, логическое мышление, индивидуальные способности каждого студента, создавая комфортную психологическую обстановку для каждого студента при обучении
формировать готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

формировать активность личности студента, умение работать в группе, отвечать за свои поступки.
овладевать математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, технологическая карта урока, рабочие тетради, калькуляторы.

Изучение нового материала

1 ряд-§61. Стр. 320. Перестановки

2. ряд-§62. стр. 323. Размещения

3 ряд-§63. стр. 326. Сочетания.

Составить конспект по плану: 1.Определение.

4. Тип задач по теме

Каждый ряд знакомит остальных со своей темой, учащиеся записывают в тетрадях недостающие темы

Работа в парах с учебником и тетрадями

Работа с технологическими картами

Решение задач по темам: №1060,1061,1073,1074,1081,1082

По каждой задаче

Для проверки обменяться работами в парах и выставить оценки. Указать, кто проверял работу. Сдать тетради

1 ряд - задачи на размещения, 2 ряд на сочетания, 3 ряд на перестановки.

Вопросы по уроку:

1,Что мы сегодня усвоили на уроке?

2,Что называют размещением?

3,Что называют сочетанием?

4,Что называют перестановкой?

5,В чем различие между перестановками, размещениями, сочетаниями?

Учащиеся отвечают на вопросы фронтально

Запись домашнего задания

Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает

стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Правило умножения: если одну часть действия можно выполнить k способами, а другую- p способами, то все действие можно выполнить k•p числом способов.

Задача . В некотором царстве три города: A, B и C. Из A в B ведут три дороги, из B в C — пять дорог. Сколько различных путей ведут из A в C? Прямого пути между A и C нет.

Решение: 3•5 = 15 маршрутов. Как видим, число маршрутов равно произведению числа дорог из A в B на число дорог из B в C.

Правило сложения: е сли два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить k способами, а другое –p способами, то оба действия можно выполнить k+p числом способов.

Задача . Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами

Вид соединений Формула

Сколько существует способов, чтобы рассадить в один ряд 4 музыкантов?

Перестановками из n элементов называют соединения, которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения

Проходит конкурс с 7 участниками. Надо угадать, кто займет в конкурсе 1 и 2 места. Сколько существует вариантов ответа?

Число всех выборов m элементов из n данных c учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по m.

В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая из которых играла один матч с каждой. Сколько было встреч?

Число всех выборов m элементов из n данных без учёта порядка называют числом сочетаний из n элементов по m.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентапция к уроку математики по теме "Решение уравнений"в 5, 6 классах

Презентация составлена к уроку математики в 5,6 классах (класс - комплект) малокомплектной школы по проблеме разновозрастного убучения в сельской малокомплектной школе.

План-конспект урока по предмету "Столярное дело" на тему "Элементы и форма зубьев пилы" 7 класс

Комбинированный урок по решению следующих учебных задач: повторение и закрепление знаний учащихся о пилении древесины, разновидностях (видах) пил и их правильном применении, приспособлениях для пилени.

Урок закрепление по теме "Элементы тригонометрии" преследует предметную цель: закрепление знаний о тригонометрических функциях, применение тригонометрических формул. На уроке используются ко.

Методическая разработка урока 7 класса «ЭЛЕМЕНЫ КОМБИНАТОРИКИ».

Методическая разработка открытого урока по математике по теме"Элементы теории вероятности"

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Урок ________

Тема программы: Комбинаторика

- повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний без повторов; изучить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний с повторами, научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний; решить простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул;

- развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать;

- формировать научное мировоззрение у обучающихся, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Оборудование:

I . Организационный момент

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке.

Определения: перестановки, размещения, сочетания.

Важен ли порядок? В каких соединениях? (размещение)

№1. Экзамен состоит из 5 задач, которые можно решать в любом порядке. Сколькими способами можно расставить задачи. (способов)

№2. В магазине продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора. (способа)

№3. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8. (всего чисел А, а чисел начинающихся с нуля -, тогда А-=96)

- научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;

- решать простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул.

III . Изучение новой темы

1. Перестановка

Вывод: Перестановками в такой выборке, где есть один элемент, называются перестановками с повторениями. Обозначается : Р₍ _n1_, _{n2,…. nk)}

Р ( n 1, n 2,…. nk )₌ , где n - количество повторений элементов

Ответ: 151200 перестановки

2. Сочетания.

Рассмотрим следующую задачу.

В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний без повторений, т.к. требуется купить 8 различных открыток

Ответ: 45 способов

Проделаем то же самое, но только определим «Сколькими способами можно купить в нем 8 открыток?

Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из n = 10 элементов по k =8. Следовательно, она решается по формуле

Ответ : 24310 способов

Вывод: Иными словами, выборки которые отличаются количеством элементов хотя бы одного типа, называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .

Задача: В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими различными способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

А теперь ту же задачу, но вопрос сформулируем иначе.

В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?

Вычисляется по следующей формуле:

Решение. Задача сводится к распределению 5 пассажиров по 7 этажам (т. е. набор упорядоченный), причем возможны повторения (т. е. несколько пассажиров могут выйти на одном этаже). Таким образом, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями:

Задача: Сколькими способами девочка Яна может разложить 12 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?

IV . Закрепление.

Задача №1. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно

Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно .

Число всех указанных букв будет равно 62.

Задача №2. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

V . Подведение итогов занятия. Рефлексия.

(Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.)

1) Подведем итоги нашего занятия.

Проверь себя:

Соединения виды перечислить?

На какие они делятся ? ( повторения и без)

Важен ли порядок? В каких соединениях? (размещение)

4) Формулы нахождения: перестановок, размещения, соединения с повторениями и без.

Достиг ли ты своих целей? ______________

Оцени степень усвоения: _______________

Продолжи одно из предложений:

VI . Домашнее задание

1. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров по трем вагонам?

Ответ: .

2. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

3. Сколько различных браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумрудов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров ( всего в браслет входит 18 камней)? ( =)

Изучить материал, переписать конспект, решить задачи, фото выполненной работы прислать в ВК.

Основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.

Основная часть

Определение:Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные задачи делятся на:задачи на перестановки, задачи на размещение, задачи на сочетание

Определение:Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Кроме того: 0! = 1.

Задачи на перестановки

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

Это задача на перестановки.

Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.

Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.

Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.

Получится 3·2·1=6 способов.

Определение:Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.

Формула

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P₈= 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.

Ответ: 40320.

Задача 1. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?

Задача 2. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?
Задача 3. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?

Задача 4*. Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?

Задачи на размещения

Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.

Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Это задача на размещение.

Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.

Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.

Таких пар может быть 5·4.

Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.

Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Определение: Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Формула:

Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Решение:

Ответ: 3024.

Задача 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?

Задача 2. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?

Задача 3. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Задача 4. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Задача 5. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Задачи на сочетания

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Это задача на сочетания.

Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123 124 125 134 135 145

Определение: Сочетанием из n элементов по k (kn) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).

Формула:

Пример 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:

Задача 1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

Задача 2. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Задача 3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Задача 4*. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 5*. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 6*. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Исторический экскурс

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, агроному – разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких полях, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков, ученому-химику – рассмотреть всевозможные связи между атомами и молекулами, лингвисту – учесть различные варианты значений букв незнакомого языка и т.д. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Широко были распространены всевозможные лотереи. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивавшейся одновременно с ней теорией вероятностей. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами (например, 1+3+4=4+2+2).

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якоба Бернулли, Лейбница и Эйлера. Однако и у них основную роль играли приложения к различным играм (лото, солитер и др.). В последнее время комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач (составление расписаний), для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики и т.д. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и решения других проблем теории информации.

Основа хорошего понимания комбинаторики умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач. Все эти навыки и способности можно выработать, если быть настойчивым, трудолюбивым и внимательным на уроках, самостоятельно и с интересом заниматься.

Задачи с использованием элементов комбинаторики входят в состав экзамена по математике. Поэтому у обучающихся должны формироваться первоначальные представления о комбинаторных задачах.

При подготовке к уроку трем обучающимся было дано опережающее задание, которое требовало самостоятельно изучить и подготовить материал к уроку по следующим вопросам: какие факторы (причины) способствовали появлению науки комбинаторики, какие ученые стояли у самых истоков возникновения, существует ли комбинаторика в реальной жизни, если да, то в каких отраслях применяется, какие задачи называются комбинаторными и как можно их решить. Рассмотрение данных вопросов в начале урока позволит вызвать интерес у обучающихся к изучаемой теме, создать рабочую атмосферу.

Технологическая карта учебного занятия

Тема занятия: Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

Тип занятия: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Вид занятия: смешанный урок (исследовательская работа, беседа)

Место проведения: кабинет 205.

Продолжительность: 90 минут.

Цели занятия: обеспечить оценку и проверку знаний; создать условия для развития у обучающихся умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения, для формирования системы знаний, связанных с понятиями размещений, перестановок и сочетаний, содействовать умению общаться между собой; формировать умения делать обобщения на основе полученных данных в результате исследования, выбирать правильные утверждения из нескольких данных.

По окончанию занятия обучающийся имеет практический опыт:

понятие предмета комбинаторика

понятие размещений, перестановок и сочетаний

организовывать поиск, сбор и получение информации об истории развития комбинаторики, ее применении при решении задач, находить связь комбинаторики с окружающим миром, решать простейшие комбинаторные задачи.

умением анализировать, сравнивать, аргументировать свои ответы.

Дидактические задачи:

Образовательные: ввести понятие предмета комбинаторики, познакомить с историей развития и применения в жизни; рассмотреть различные виды комбинаторных соединений: размещения, перестановки и сочетания; сформировать у обучающихся первичные умения и навыки решения задач.

Воспитательные: формировать научное мировоззрение у обучающихся, культуру математической речи, информационную и коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Развивающие: развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.

Методическая цель:

Использовать приемы, активизирующие внимание и память;

Продемонстрировать возможность использования на уроке информационных технологий, организацию фронтальной и индивидуальной работы.

Методы обучения:

Проблемно-поисковый, метод беседы, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности.

Формы организации познавательной деятельности:

Фронтальная, работа в парах, индивидуальная работа.

Средства технологической поддержки учебной работы:

5. Рабочая программа, календарно- тематический план, план занятия.

Межпредметные связи:

Обеспечиваемые – информатика, химия, экономика

Обеспечивающие – информатика, реальная математика

Структура и методический инструментарий учебного занятия

Методические приемы и методы обучения

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

Обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на занятии, нормальный микроклимат, психологическую подготовку студентов к восприятию материала.

Методы формирования внимания долга ответственности, стремление познать новое.

Создание в аудитории рабочей обстановки, проверка отсутствующих.

Преподаватель сообщает план работы урока, мотивирует студентов к деятельности.

Обучающиеся настраиваются на урок, приветствуют гостей и друг друга, быстрое включение в деловой ритм, установка внимания всей группы.

2. Мотивация к усвоению нового материала

Задача: организовать

студентов, подготовить их к усвоению нового

Осуществляет логический переход к теме занятия, ставит перед обучающимися проблему: решение задачи по новой теме.

Воспринимают информацию, выполняют предложенное задание, готовят себя к предстоящей работе.

3.Изучение и первичное закрепление новых знаний.

Изучить различные виды комбинаторных соединений, сформировать основные понятия и тезисы по теме, применить полученные знания для решения задач.

и слухового восприятия

передачи информации и

информации. Иллюстрация (слайды презентации).

Определяет цели предстоящей работы; знакомит студентов с порядком выполнения работы;

знакомит студентов с основными вопросами темы, предлагает задачи для закрепления, комментирует выполняемую работу.

выполняют работу; комментируют выполненную работу, записывают в сопроводительный лист определения, решение задач.

4. Закрепление нового материала

Установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала, выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.

Метод передачи информации с помощью практической деятельности, метод консультирования и взаимопомощи.

Предлагает решение задач в парах с последующей самопроверкой.

Самостоятельное выполнение заданий, требующих применения новых знаний: решение задач.

5.Подвидение итогов занятия.
Задача:

Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы.

Метод самооценки и оценки знаний.

Кратко напоминает цель урока. Предлагает подвести итоги выставить оценки за урок. Объявляет итоговую оценку.

Высказывают свое мнение о достижении поставленной цели.

Мобилизация студентов на рефлексию (мотивация способов деятельности, общения). Усвоение принципов саморегуляции и сотрудничества.

Установление логических связей и развитее аналитика – рефлексивных способностей.

Предлагает ответить на вопросы:

Достиг ли ты своих целей?

Оцени степень усвоения.

Продолжи одно из предложений:

Открытость студентов в осмыслении своих действий и самооценки. Прогнозирование способов саморегуляции и сотрудничества.

6.Информации о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Сообщить студентам о домашнем задании, разъяснить методику, его выполнения.

Метод контроля и самоконтроля, метод словесной передачи информации и слухового её восприятия.

Ставит перед обучающимися проблему, разъясняет пути ее решения.

Слушают преподавателя осмысливают, записывают условия выполнения задания.

Подготовительная работа.

За две недели до проведения данного урока студентам дается задание:

Примерный перечень вопросов при работе над темой:

Основные понятия по данной теме;

Связь рассматриваемых объектов с природой и жизнью человека;

Интегрирование полученных знаний в различные области науки, техники, технологии, в творческие области;

Упражнения и задачи решения.

1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. (2 мин)

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции.

Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

«Число, положение и комбинация -

три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли,

к которым можно отнести

Джеймс Джозеф Сильвестр
(1814-1897)

2. Мотивация к усвоению нового материала. Фронтальная работа с группой. (5 мин)

Давайте здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки. Рядом сидящим пожмем руку, а с остальными будем здороваться мысленным рукопожатием.

– В классе нас сколько?

Вопрос: Сколько было всего рукопожатий?

– Итак, какие будут ответы?

Допустим нас 25.

Каждый из 25-и человек пожал руки 24-м. Однако произведение 25 * 24 = 600 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (25 * 24) : 2 = 300.

3. Изучение и первичное усвоение новых знаний.

Выступление учащихся с итогами своей работы:

Представителям самых различных специальностей приходиться решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

При рассмотрении простейших вероятностных задач нам приходилось подсчитывать число различных исходов (комбинаций). Для небольшого числа элементов такие вычисления сделать несложно. В противном случае такая задача представляет значительную сложность.

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.

Первоначально комбинаторика возникла в XVI в в связи с распространением различных азартных игр.

Основы комбинаторики и теории вероятностей создали и разработали французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль.

В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей.

Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

В царице наук – математике, все эти техники объединяются в одну отрасль науки, которую называют комбинаторикой. Кроме всего прочего, комбинаторика — это прелюдия к расчету вероятностей.

Области применения комбинаторики:

учебные заведения (составление расписаний)

сфера общественного питания (составление меню)

лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

география (раскраска карт)

спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)

агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

криптография (разработка методов шифрования)

доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Рассмотрим несколько типичных для комбинаторики задач.

Задача 1. Майор Зимин ежедневно формирует наряд для поддержания общественного порядка в городе. Наряд состоит из двух человек: старшего наряда и дежурного. В расположении майора находится 20 полицейских. На сколько дней подряд майор Зимин составит график?

Решение. Пусть сначала избирается старший наряда. Поскольку каждый полицейский может быть выбран старшим, то, очевидно, есть 20 способов его выбора. Тогда дежурным может стать каждый из оставшихся 19 полицейских. Любой из 20 способов выбора старшего наряда может осуществиться вместе с любыми из 19 способов выбора дежурного. Поэтому всего существует 20 ∙ 19 = 380 способов формирования наряда. Т.о. на 380 дней майор Зимин может составить график.

Решение. Первого новобранца стоящего в шеренге можно выделить четырьмя способами; второго, очевидно, тремя способами. На третье место будут претендовать только два человека, и, следовательно, есть два способа заполнить третье место. Для четвертого новобранца места уже не остается, и он выступает последним.

Занумеруем новобранцев: 1 – Белкин, 2 – Пенкин, 3 – Свечкин, 4 – Овечкин.

Каждый способ выбора первого новобранца может быть скомбинирован с шестью случаями выбора остальных, то число способов составляет

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать из пяти разных книг какие-либо две и подарить их двум полицейским, в день милиции в городе Брюково?

Решение. Обозначим книги буквами A, B, C, D, E, можно выписать все возможные пары книг, а именно: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Мы видим, что их число равно десяти.

Введение новых понятий (30 мин)

В практической деятельности юристам часто приходится иметь дело с различными ситуациями. Умение анализировать сложившуюся обстановку, адекватно ее оценивать и делать правильные выводы является важным качеством каждого профессионала. Во многих случаях практика приводит к комбинаторным задачам.

Определение. Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!

· воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

Развивающая:

· развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности;

· развитие математической речи, внимания.

Обучающийся должен:

знать:

Ø определения трех важнейших понятий комбинаторики:

· размещения из n элементов по m;

· сочетания из n элементов по m;

· перестановки из n элементов;

Ø основные комбинаторные формулы

уметь:

· применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

Оборудование: проектор, дидактический материал (карточки-задания).

Тип урока: урок- практикум

Методы обучения:

· практически-репродуктивный( выполнение заданий),

I .Организационный момент.

II .Проверка домашнего задания

III .Актуализация знаний, умений, навыков. Мотивация учебной деятельности

Всем здравствуйте! Давайте здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки. Рядом сидящим пожмем руку, остальных будем приветствовать мысленными рукопожатиями. Сколько было рукопожатий? (ответы записать на доске)

Допустим нас 32.

Каждый из 32 человек пожал руку 31-му. Но 31*32=992 дает удвоенное число рукопожатий (т.к. первый пожал руку второму, а затем второй первому, но на самом деле было одно рукопожатие). Т.е. (31*32):2=992:2=496 рукопожатий.

Мы сейчас с вами изучаем раздел алгебры, который называется КОМБИНАТОРИКА

А что такое комбинаторика?

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов.

А вы знаете, ребята, что термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять”

Выбором объектов и расположением их в определенном порядке занимаются люди различных профессий: конструкторы, агрономы, заведующие учебной частью, составляющие расписание, логисты и т.д.

История развития комбинаторики насчитывает многие века, уже в Древнем Китае люди увлекались составлением магических квадратов.

Комбинаторика как наука сформировалась в 18в. Когда в жизни общества большое место занимали азартные игры: кости и карты. При игре в кости игроки заметили, что из чисел 6, 6, 8 чаще всего выпадает число7. Они задумались почему? Предлагаю вам подумать над этим вопросом и на следующем уроке обсудить его.

У каждого из вас есть технологическая карта урока, куда вы будете заносить свои результаты, а в конце урока мы подведем итоги.

Давайте повторим основные элементы комбинаторики

Задача 1 . Сколько различных номеров можно составить из цифр 5,9,3 (без повторений цифр в одном числе)?

Ответ – 6: 359, 395, 539, 593, 935,953.

Определение 1 . Перестановкой из n элементов называется комбинация, в которой все эти элементы расположены в определенном порядке.

Формула для вычисления перестановок: P_n=n*(n-1)*(n-2)*….*1

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Определение 2 . Размещением n элементов по m называется комбинация, в которой какие то m из этих n элементов расположены в определенном порядке.

Данные формулы можно записать проще с помощью понятия факториал.

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Задача 2 . В 10- Б классе обучается 24 ученика. Сколькими способами можно составить график дежурства по столовой, если группа дежурных состоит из трех учащихся?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А₂₄ 3 . По формуле находим

Ответ: 12144 способа

Сочетания -соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Задача 3. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Задача №4. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

комиссий

Ответ: 120 комиссий.

IV .Решение упражнений (работа в группах)

Задание: решить задачу на одно из понятий комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания (разделить тетрадный лист на три колонки, в первой решить задачи на перестановки, во второй на размещения, в третьей на сочетания).

1. Сколькими способами можно 7 книг расставить на полке?

2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2;4;6;9, если цифры не повторяются?

3. Сколькими способами можно выбрать делегацию на конференцию из 5 человек, если в коллективе 24 человека?

4. Сколькими способами можно сложить в сумку ручку, тетрадь, учебник?

5. Сколько существует пятизначных телефонных номеров?

7. Сколькими способами можно разбить группу из 20 человек на бригады по 5 человек?

8. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом?

9. В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно выбрать командира и его заместителя?

10. Сколько существует вариантов выполнения очередности домашнего задания по 6 предметам?

11. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1;3;4;6;7;8?

12. Сколькими способами можно съесть обед из 4-х блюд?

13. Сколькими способами можно выстроить в шеренгу 9 человек?

14. Сколько существует вариантов назначения двух дежурных из группы 25 человек?

16. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг?

17. Сколько существует вариантов составления букета из трех различных цветов, если в саду растет 15 различных видов?

18. Сколькими способами можно сшить трехцветный флаг из имеющихся 5 различных тканей?

19. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2;3;4;5, если цифры не повторяются?

20. Сколько существует семизначных телефонных номеров?

Из каждой группы ребята выходят по одному к доске и заполняют таблицу.

Предоставляется слово экспертам.

Тем кто правильно выполнил задание- в технологическую карту поставьте себе- 2 балла

VI . Физкультминутка. (Зарядка для глаз)

VII . Самостоятельная работа .

В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто является автором высказывания, являющегося девизом нашего урока

Читайте также: