В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон

Обновлено: 03.07.2024

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Синус угла х — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin x = a/c$

Косинус угла х — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos x = b/c$

Тангенс угла х — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname x = a/b$

Котангенс угла х — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname x = b/a$

Основное тригонометрическое тождество

Если мы возьмем гипотенузу, равную 1, то это определение можно упростить до:

Тогда теорему Пифагора можно переформулировать так:

$$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$$

Или другая форма записи без скобок:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Формулы приведения для острого угла

Катет, прилежащий одному углу, одновременно является противолежащим другому углу. В сумме острые углы прямоугольного треугольника составляют 90 градусов. Отсюда: $$\sin \alpha = \cos \beta = \sin (90^\circ - \alpha)$$ $$\cos \alpha = \sin \beta = \cos (90^\circ - \alpha)$$

Возрастание и убывание

Чем больше угол, тем больше противолежащий катет, поэтому для острых углов синус - возрастающая функция.

Чем больше один из острых углов прямоугольного треугольника, тем меньше другой. Отсюда следует, с учетом ОТТ, для этих углов:

Мнемоническое правило

Правило для косинуса

Косинус - коснуться - близкий - прилежащий (или косинус - касаться - прилегать).

Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему, или дальнего к ближнему. Тангенс - там - противолежащий.

Тангенс и танго - однокоренные слова

Правило для ОТТ

В семье Синичкиных (Sin) праздник. К ним в отпуск приезжает дочка с мужем, семья Косичкиных (Cos). Вот двое Синичкиных радостно бегут навстречу Косичкиным. Они обнимаются (+). И образуют одну большую семью: 1.

Синус в строительстве

Возьмите 10-метровый столб и поднимите его с земли на 45 градусов. Верхушка столба будет находиться на высоте

Расчеты в Excel

Пусть известно расстояние до дерева. Нужно узнать его высоту:

Указываем угол в градусах. В формуле угол необходимо перевести в радианы - функция RADIANS (в русской версии РАДИАНЫ ). Обратная функция DEGREES ( ГРАДУСЫ ).

Учебники:
Единичная окружность, синус, косинус любого угла — Геометрия Мерзляк 9 класс, параграф 1
Синус, косинус, тангенс острого угла — Геометрия 8 класс

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Катеты BC и AC прямоугольного треугольника ABC (рис. 1) называют противолежащим катетом угла α и прилежащим катетом угла α соответственно.

Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC (рис. 2) называют противолежащим катетом угла β и прилежащим катетом угла β соответственно.

Синусом угла называют дробь:

Косинусом угла называют дробь:

Тангенсом угла называют дробь:

Котангенсом угла называют дробь:

Синус, косинус, тангенс и котангенс, и их комбинации называют тригонометрическими функциями. В данном разделе справочника тригонометрические функции вводятся для острых углов. В следующем разделе даётся определение тригонометрических функций для произвольных углов.

Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α используют обозначения

sin α , cos α , tg α , ctg α

В соответствии с рисунком 3 справедливы формулы:

Кроме того, справедливы формулы:

sin α = cos β, cos α = sin β, tg α = ctg β, ctg α = tg β,

которые можно переписать в виде:

sin α = cos (90° – α), cos α = sin (90° – α),

tg α = ctg (90° – α), ctg α = tg (90° – α).

ПРИМЕР. Найти тригонометрические функции углов 30° , 45° , 60° .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC , сторона которого равна 2 (рис. 4), и проведем высоту BD .

1. Определение тригонометрических функций. Из курса геометрии вам известно определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Напомним их.

Синусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin α = a / c (рис. 61).

Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы: cos α = b / c.

Тангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего: tg α = a / b.

Котангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего: ctg α = b / a.

В курсе геометрии было обосновано, что синус и косинус острого угла зависят только от величины угла и не зависят от длин сторон треугольника и его расположения, то есть синус и косинус (а таким образом, и тангенс, и котангенс) являются функциями величины угла, которые называются тригонометрическими функциями.

Также в курсе геометрии с использованием окружности с центром в начале координат было введено определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°. Эти определения можно применить для нахождения тригонометрических функций любых углов. Напомним их (но теперь будем рассматривать любые углы α от –∞ до +∞).

Возьмем окружность радиуса R с центром в начале координат. Обозначим точку окружности на положительной полуоси абсцисс через P₀ (рис. 62). Необходимые нам углы будем образовывать поворотом радиуса OP₀ около точки O. Пусть в результате поворота на угол α около точки O радиус OP₀ займет положение OP_α (говорят, что при повороте на угол α радиус OP₀ переходит в радиус OP_α, а точка P₀ переходит в точку P_α). Напомним, что при α > 0 радиус OP₀ поворачивается против часовой стрелки, а при α * . Удобно взять R = 1, что позволит несколько упростить приведенные определения тригонометрических функций.

* Это следует из того, что две концентрические окружности гомотетичны (центр гомотетии — точка О, а коэффициент гомотетии k — отношение радиусов этих окружностей), тогда и точки Pα на этих окружностях также будут гомотетичны. Таким образом, при переходе от одной окружности к другой в определениях тригонометрических функций числитель и знаменатель соответствующей дроби умножаются на k, а значение дроби не изменяется.

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью.

Пусть при повороте на угол α точка P₀ (1; 0) переходит в точку P_α (x; y)
(то есть при повороте на угол α радиус OP₀ переходит в радиус OP_α) (рис. 63).

Синусом угла α называется ордината точки P_α (x; y) единичной окружности:

Косинусом угла α называется абсцисса точки P_α (x; y) единичной окружности:

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P_α (x; y) единичной окружности к ее абсциссе, то есть отношение sin α / cos α.

Таким образом, tg α = sin α / cos α (где cos α ≠ 0).

Заметим, что при cos α = 0 значение функции tg α не определено, а значение функции ctg α не определено при sin α = 0.

Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2π / 3 радиан.

♦ Рассмотрим единичную окружность (рис. 64). При повороте на угол 2π / 3 радиус OP₀ переходит в радиус OP_2π/3 (а точка P₀ переходит в точку P_2π/3). Координаты точки P_2π/3 можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника OAP_2π/3 (с углами 60° и 30° и гипотенузой 1): x = - OA=−1/2; y = AP_2π/3 = √3/2. Тогда: sin 2π/3 = y = √3/2; cos 2π/3 = x = -1/2; tg 2π/3 = sin 2π/3 / cos 2π/3 = - √3; ctg 2π/3 = - 1/√3.◊

Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, градусные и радианные меры которых указаны в верхней строке таблицы 19 (с. 156).

Укажем, что таким образом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции произвольного угла обычно находят с помощью калькулятора или таблиц.

2. Тригонометрические функции числового аргумента. Введенные определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа α как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан. То есть:

синус числа α — это синус угла в α радиан;
косинус числа α — это косинус угла в α радиан.

Например: sin π/6 = sin (π/6 радиан) = sin 30° = 1/2 (см. также пункт 2 табл. 7).

α	градусы	0 º	30 º	45 º	60 º	90 º	180 º	270 º	360 º
α	радианы	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
sin α		0	1/2	√2/2	√3/2	1	0	-1	0
cos α		1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1	0	1
tg α		0	√3/3	1	√3	-	0	-	0
ctg α		-	√3	1	√3/3	0	-	0	-

3. Линии тангенсов и котангенсов. Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

♦ Проведем через точку P₀ единичной окружности прямую AP₀, параллельную оси Oy (рис. 65). Эта прямая называется линией тангенсов.
Пусть α — произвольное число (или угол), для которого cos α ≠ 0. Тогда точка P_α не лежит на оси Oy и прямая OP_α пересекает линию тангенсов в точке A. Поскольку прямая OP_α проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx. Но эта прямая проходит через точку P_α с координатами (cos α; sin α), значит, координаты точки P_α удовлетворяют уравнению прямой y = kx, то есть sin α = k cos α. Отсюда k = sin α / cos α = tg α. Следовательно, прямая OP_α имеет уравнение

y = (tg α) x. Прямая AP₀ имеет уравнение x = 1. Чтобы найти ординату точки A, достаточно в уравнение прямой OP_α подставить x = 1. Получаем y_A = tg α. Таким образом,

тангенс угла (числа) α — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.◊

Аналогично вводится и понятие линии котангенсов: это прямая CB (рис. 66), которая проходит через точку C (0; 1) единичной окружности параллельно оси Ox.

Если α — произвольное число (или угол), для которого sin α ≠ 0 (то есть точка P_α не лежит на оси Ox), то прямая OP_α пересекает линию котангенсов в некоторой точке B (x_B; 1).

Аналогично вышеизложенному обосновывается, что x_B = ctg α, таким образом,

котангенс угла (числа) α — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Сформулируйте определения тригонометрических функций произвольного угла:
а) используя окружность радиуса R с центром в начале координат;
б) используя единичную окружность.

3. Что имеют в виду, когда говорят о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа α?

Упражнения

1°. Постройте на единичной окружности точку Pα, в которую переходит точка P₀ (1; 0) единичной окружности при повороте на угол α. В какой координатной четверти находится точка P_α в заданиях 3–6?
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=7π/6;

4) α=−3π/4; 5) α=4π/3; 6) α=7π/4.

2. Найдите значение sin α, cos α, tg α, ctg α (если они существуют) при:
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=−π/2;

4) α=5π/2; 5*) α=−5π/6; 6*) α=3π/4.

3°. Пользуясь определением синуса и косинуса, с помощью единичной окружности укажите знаки sin α и cos α, если:
1) α=6π/5; 2) α=−π/6; 3) α=5π/6;

4*. Пользуясь линией тангенсов, укажите знак tg α, если:
1) α=4π/3; 2) α=−3π/4; 3) α=11π/6;

5*. Пользуясь линией котангенсов, укажите знак сtg α, если:
1) α=−4π/3; 2) α=3π/4; 3) α=−11π/6;

Читайте также: