В каком случае говорят что вписанный угол опирается на дугу кратко

Обновлено: 06.07.2024

Вписанным углом называют угол с вершиной, расположенной на окружности, и сторонами, обладающими точками пересечения с этой окружностью.

Изобразим вписанный угол ВАС, исходя из определения:

Заметим, что дуга ВLС находится во внутренней области данного угла. В таком случае принято говорить, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

Меру вписанного угла определяют, как ½ дуги, на которую данный угол опирается.

Доказательство, описание 3 случаев

Запишем исходные данные для доказательства теоремы о вписанном угле. Представим, что имеется некая окружность с центром в точке О. При этом ∠ А В С является вписанным по определению. Заметим, что ⏝ А С расположена во внутренней области ∠ А В С . Требуется подтвердить справедливость следующего соотношения:

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

В процессе доказательства необходимо рассмотреть три случая.

Первый случай: совпадение луча ВО с какой-то из сторон ∠ А В С .

Предположим, что возможно совпадение ВО с ВС. Перенесем это условие на рисунок:

Заметим, что ⏝ А С меньше по сравнению с половиной окружности. По этой причине:

Объясним это равенство определением ∠ А О С , как центрального, который меньше полуокружности и равен дуге, являющейся опорой этого угла.

Заметим, что треугольник АВО является равнобедренным. Роль его основания играет АВ по равенству радиусов ОА = ОВ. В результате ∠ 1 = ∠ 2 , так как это углы, расположенные при основании.

По определению ∠ А О С является внешним углом в треугольнике АВО. Таким образом:

∠ А О С = ∠ 1 + ∠ 2 = 2 ∠ 1 .

С учетом условия ∠ А О С = ⏝ А С можно сделать следующий вывод:

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

Второй случай: с помощью луча ВО можно ∠ А В С поделить на два угла.

При этом условии луч ВО имеет с ⏝ А С точку пересечения D:

Заметим, что точка D делит ⏝ А С , получаем две дуги:

⏝ А С = ⏝ А D + ⏝ D С

С помощью BD луча ∠ А В С образует два угла, по этой причине:

∠ А В С = ∠ А В D + ∠ D В С

Ранее при рассмотрении первого случая было доказано, что:

∠ А В D = 1 2 ⏝ А D

∠ D В С = 1 2 ⏝ D С

При сложении перечисленных равенств получим, что:

∠ А В D + ∠ D В С = 1 2 ⏝ А D + 1 2 ⏝ D С

∠ А В D + ∠ D В С = 1 2 ( ⏝ А D + ⏝ D С )

∠ А В С = 1 2 ⏝ А С

Третий случай: не предусмотрено деление лучом ВО угла АВС на два угла. Луч ВО также не совпадает со стороной данного угла.

При этом условии луч ВС имеет точку пересечения с дугой AD. Обозначим эту точку за С:

Точка С делит ⏝ А D на пару дуг:

По этой причине:

⏝ А D = ⏝ А С + ⏝ С D

⏝ А С = ⏝ А D - ⏝ С D

Заметим, что ВС луч делит ∠ А В D . В результате получаем два угла. В таком случае:

∠ А В D = ∠ А В C + ∠ C В D

∠ А В C = ∠ А В D - ∠ C В D

Исходя из доказательства, рассмотренного в первом случае:

∠ А В D = 1 2 ⏝ А D

∠ C В D = 1 2 ⏝ С D

Отнимем из первого выражения второе:

∠ А В D - ∠ C В D = 1 2 ⏝ А D - 1 2 ⏝ С D

∠ А В D - ∠ C В D = 1 2 ( ⏝ А D - ⏝ С D )

∠ А В C = 1 2 ⏝ А С

Следствия из теоремы о вписанном угле

В том случае, когда вписанные углы опираются на одинаковую дугу, они являются равными.

Вписанный угол, который опирается на полуокружность, является прямым.

При пересечении двух хорд произведение получившихся отрезков первой хорды соответствует произведению отрезков второй хорды.

Докажем эту теорему. Изобразим для наглядности на рисунке некую окружность, построим хорды АВ и CD. При этом:

Требуется доказать, что:

А Е · В Е = С Е · D Е

Рассмотрим треугольники АDЕ и СВЕ:

Справедливость данного краткого соотношения следует из того, что эти углы являются вписанными по формулировке и опираются на одинаковую дугу BD по следствию 1 из теоремы о вписанном угле. Запишем еще одно соотношение:

Эти углы являются вертикальными, поэтому можно сделать вывод о подобии треугольников АDЕ и СВЕ с учетом признака подобия треугольников. Зная, что подобные треугольники обладают пропорциональными сходственными сторонами, запишем:

А Е С Е = D Е В Е

А Е · В Е = С Е · D Е

Угол, который расположен между касательной и хордой, проведенной в точку касания, определяют, как ½ дуги, стягиваемой данной хордой.

Докажем записанную теорему. Изобразим некую окружность с центральной точкой О и радиусом r. Введем основные обозначения:

АВ является хордой;
АС обозначает касательную;
А редставляет собой точку касания.

Заметим, что треугольник АОВ является равнобедренным. АВ представляет собой основание данного треугольника, что объясняется следующим равенством:

В результате, углы при основании равны:

В этом случае, исходя из свойства касательной:

∠ O A B = ∠ O B A = 90 ° - ∠ B A C

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника:

∠ O A B = 180 – 2 ( 90 ° - ∠ B A C ) = 180 ° – 180 ° + 2 ∠ B A C = 2 ∠ B A C

∠ B A C = 1 2 ∠ A O B .

Заметим, что ∠ A O B является центральным. По этой причине:

∠ B A C = 1 2 ⏝ А B .

Примеры решения задач

На рисунке изображены окружность с центром в точке О, угол АОВ и угол АСВ, равный 125 ° . Требуется определить, чему равна градусная мера угла АОВ.

Рассмотрим следующие дуги:

Заметим, что эти дуги дополняют друг друга, и образуется окружность. Таким образом:

⏝ A C B + ⏝ A K B = 360 °

Заметим, что ∠ A C B является вписанным и опирается на ⏝ A K B . В результате:

⏝ A K B = 2 ∠ A C B = 2 · 125 ° = 360 °

⏝ A C B = 360 ° – 250 ° = 110 °

Заметим, что ∠ A O B является центральным и опирается на ⏝ A C B . По этой причине:

∠ A O B = ⏝ A C B = 110 °

Дана окружность с центром в точке О. На этой окружности отмечены точки C и D так, что они расположены с одной стороны от диаметра окружности АВ. Градусная мера ∠ B C D составляет 34 ° . Нужно определить, чему равен ∠ A B D .

Проведем отрезок через точки А и D:

Если рассмотреть треугольник ABD, то можно заметить, что:

∠ A B D = 90 ° , так как является вписанным и опирается на диаметр;

∠ B A D = ∠ B C D , так как это вписанные углы, которые опираются на одинаковую ⏝ B D .

Зная, что в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 ° , запишем следующее выражение:

∠ A B D = 90 ° - ∠ B A D = 90 ° - 34 ° = 56 °

Изображена окружность с центром О. Диаметры этой окружности обозначены, как AF и BC. Точки С и К расположены с одной стороны относительно диаметра AF. Градусная мера углов составляет:

Требуется определить градусную меру угла ∠ B C K .

Построим два отрезка KC и AC:

Заметим, что в треугольнике АВС имеется вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр этой окружности, то есть:

Зная, что острые углы в прямоугольном треугольнике в сумме дают 90 ° , запишем:

∠ A C B = 90 ° - ∠ A B C = 90 ° - 62 ° = 28 °

Углы ∠ A C K и ∠ A E K являются вписанными и опираются на одну дугу, поэтому:

С появлением окружности, а затем колеса человечество сильно упростило себе жизнь.

И через много веков на ЕГЭ появились задачи по этой теме, конечно же 🙂

Зная свойства вписанного и центрального угла окружности, ты сможешь решить множество таких задач. И в этой статье мы тебе с этим поможем.

Как измерить дуги и окружности
Свойства вписанного угла и следствия из них
Как выразить углы между хордами и секущими через центральный угол
и многое другое…

Вписанный и центральный угол окружности — коротко о главном

Центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,

Радиус равен половине диаметра.

Кроме хорд бывают еще и секущие.

Вспомнили самое простое?

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

А теперь – вписанный угол.

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

При этом говорят, что вписанный угол \( \displaystyle ABC\) опирается на дугу (или на хорду) \( \displaystyle AC\).

Смотри на картинку:

Измерение дуг и углов окружности

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах.

Сперва о градусах

Для углов проблем нет – нужно научиться измерять дугу в градусах.

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Видишь две дуги \( \displaystyle AB\) и два центральных угла?

Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше \( \displaystyle 180<>^\circ \)), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о радианах

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной \( \displaystyle 1\) радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в \( \displaystyle 2,5\) раза или в \( \displaystyle \sqrt\) раз больше радиуса!

Итак, \( \displaystyle \pi \) – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём \( \displaystyle \pi \) радиан. Именно оттого, что половина окружности в \( \displaystyle \pi \) раз больше радиуса.

\( \displaystyle \pi \approx 3,14\)

И тогда эта длина окружности окажется равной \( \displaystyle 2\pi \). И конечно, длина окружности радиуса \( \displaystyle R\) равна \( \displaystyle 2\pi R\).

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится \( \displaystyle \pi \) радиан.

\( \displaystyle 180<>^\circ -\pi \) рад.

\( \displaystyle 30<>^\circ -\ x\) рад.

Значит, \( \displaystyle x=\frac^\circ \text< >\!\!\pi\!\!\text< >>^\circ >=\frac\!\!\pi\!\!\text< >>\)рад., то есть \( \displaystyle 30<>^\circ =\frac<\pi >\)рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.

\( \displaystyle 30<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<\pi >\)
\( \displaystyle 45<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<\pi >\)
\( \displaystyle 90<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<\pi >\)
\( \displaystyle 180<>^\circ\)	\( \displaystyle \pi \)
\( \displaystyle 270<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<3\pi >\)
\( \displaystyle 360<>^\circ\)	\( \displaystyle 2\pi \)

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву или выражение \( \displaystyle \frac<7\pi >\) и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву \( \displaystyle \pi\) всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь.

А для убедительности ещё раз взгляни на табличку:

\( \displaystyle 30<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<\pi >\)	\( \displaystyle \frac\) от \( \displaystyle 180<>^\circ \), то есть от \( \displaystyle \pi \)
\( \displaystyle 45<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<\pi >\)	\( \displaystyle \frac\) от \( \displaystyle 180<>^\circ \), то есть от \( \displaystyle \pi \)
\( \displaystyle 90<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<\pi >\)	\( \displaystyle \frac\) от \( \displaystyle 180<>^\circ \), то есть от \( \displaystyle \pi \)
\( \displaystyle 180<>^\circ\)	\( \displaystyle \pi \)	это и есть \( \displaystyle \pi \)
\( \displaystyle 270<>^\circ\)	\( \displaystyle \frac<3\pi >\)	\( \displaystyle 270<>^\circ \) в \( \displaystyle 1,5\) раза больше, чем \( \displaystyle 180<>^\circ \)
\( \displaystyle 360<>^\circ\)	\( \displaystyle 2\pi \)	А это \( \displaystyle 2\) раза по \( \displaystyle 180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle 2\pi \)

Вписанный угол вдвое меньше центрального — доказательство

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Почему же так? Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?

Давай разберёмся сначала на простом случае.

Случай 1. Хорда проходит через центр окружности

Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

Что же тут получается? Рассмотрим \( \displaystyle \Delta AOB\). Он равнобедренный – ведь \( \displaystyle AO\) и \( \displaystyle OB\) – радиусы. Значит, \( \displaystyle \angle A=\angle B\) (обозначили их \( \displaystyle \alpha \)).

Теперь посмотрим на \( \displaystyle \angle AOC\). Это же внешний угол для \( \displaystyle \Delta AOB\)!

Читать далее…

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь.
Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного.

Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда \( \displaystyle BC\) проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет.

Случай 2. Центр окружности лежит внутри угла

Смотри, второй случай: пусть центр лежит внутри \( \displaystyle \angle ABC\).

Давай сделаем вот что: проведём диаметр \( \displaystyle \text\). И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае.

Поэтому уже имеем, что

\( \displaystyle \angle ~AOK=2~\angle ~ABK\) и \( \displaystyle \angle ~COK=2~\angle CBK\)

Читать далее…

Случай 3. Центр окружности лежит вне угла

Итак, центр лежит вне угла \( \displaystyle ABC\):

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку \( \displaystyle \text\). Все то же самое, но вместо суммы – разность.

\( \displaystyle \angle ~AOC=2~\angle ~ABC\)

Вписанный угол вдвое меньше центрального — следствия

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой
Следствие 2. Угол, опирающийся на диаметр – прямой

Следствие 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга \( \displaystyle AC\)) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол (\( \displaystyle \angle ~AOC\)), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2. Угол, опирающийся на диаметр – прямой

Смотри: какой угол является центральным для \( \displaystyle \angle ABC\)?

Конечно, \( \displaystyle \angle ~AOC\). Но он равен \( \displaystyle 180<>^\circ \)! Ну вот, поэтому \( \displaystyle \angle ~ABC\) (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на \( \displaystyle AC\)) и равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Угол между хордами и секущими, выраженный через центральный угол

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы?

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол

Нас интересует \( \displaystyle \angle ABC\).

\( \displaystyle \angle \text< >\!\!~\!\!\text< ABC>=\text< >\!\!~\!\!\text< >\angle \text< >\!\!\alpha\!\!\text< >+\angle \text< >\!\!\beta\!\!\text< >\) ( как внешний угол для \( \displaystyle \Delta ADB\)).

Но \( \displaystyle \angle \text< >\!\!\alpha\!\!\text< >\) — вписанный, опирается на дугу \( \displaystyle DE\) — \( \displaystyle \angle \text< >\!\!\alpha\!\!\text< >=\frac\text< >\!\!~\!\!\text< >\angle \text\).

\( \displaystyle \angle \text< >\!\!\beta\!\!\text< >\) – вписанный, опирается на дугу \( \displaystyle AC\) — \( \displaystyle \angle \text< >\!\!\beta\!\!\text< >=\frac\text< >\!\!~\!\!\text< >\angle \text\).

Значит, \( \displaystyle \angle ~ABC=\frac\angle \text+\frac\angle \text\).

Для красоты говорят:

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

\( \displaystyle \angle \text< >\!\!~\!\!\text< ABC>=\frac>+\frac>\) – так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы.

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол

Как же быть? Да почти так же!

Только теперь \( \displaystyle \angle \text< >\!\!\beta\!\!\text< >=\angle \text< >\!\!\alpha\!\!\text< >+\text< >\!\!~\!\!\text< >\angle \text\) (снова применяем свойство внешнего угла для \( \displaystyle \Delta ADB\)).

То есть теперь \( \displaystyle \angle \text=\angle \text< >\!\!\beta\!\!\text< >-\angle \text< >\!\!\alpha\!\!\text< >\).

Читать далее…

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью.

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

∠ABC =	1	AC.
	2

Доказательство:

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

∠AOC = ∠A + ∠B,

а так как углы A и B равны, то

∠B =	1	∠AOC.
	2

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =	1	AC.
	2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2.

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

∠1 =	1	AD и ∠2 =	1	DC.
	2		2

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

∠1 + ∠2 =	1	AD +	1	DC
	2		2

∠ABC =	1	AC.
	2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведём диаметр BD.

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD.

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =	1	( AD - CD),
	2

∠ABC =	1	AC.
	2

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Читайте также: