Урок 1 поиск решения оптимизация оптимальный план производства

Обновлено: 02.07.2024

Основной целью экономики является рациональное функционирование хозяйствующих субъектов или, иначе говоря, оптимальная деятельность при ограниченных ресурсах. Поэтому в экономической области существует широкий класс задач оптимизации, или, как их еще называют, экстремальных задач. В задачах оптимизации вычисляются значения параметров некоторой функции

при которых она принимает экстремальное значение (максимальное или минимальное) и при условии, что на эти параметры наложены ограничения.
Эту функцию называют целевой функцией, а набор количественных значений между переменными, выражающих определенные требования к параметрам экономической задачи в виде уравнений или неравенств называют системой ограничений.
Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы, называют математической моделью экономической задачи оптимизации.
Если целевая функция линейна и на ее аргументы наложены линейные ограничения, то такую задачу оптимизации называют задачей линейного программирования.
Существуют различные методы решения задач линейного программирования. В MS Excel для этой цели предназначен инструмент Поиск решения. Принцип его работы заключается в использовании итерационного способа подбора параметров целевой функции в сочетании с градиентным методом. Применение этого инструмента позволяет решать задачи оптимизации с высокой точностью. Технологическая последовательность решения задачи включает следующие шаги:

1. На основе постановки задачи и уяснения ее экономической сути, разрабатывается математическая модель, аналитически представляющая целевую функцию и функции ограничений.

2. Ввод исходных данных и формул, реализующих математическую модель в электронную таблицу.

3. Настройка параметров инструмента Поиск решения и его применение для решения задачи.

Оптимальный план выпуска продукции

Покажем последовательность решения задачи линейного программирования на простом примере.

Пример . Фирма производит два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг готового продукта и их суточные запасы приведены в таблице.

Суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того известно, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного – 14 ден. ед.

Требуется определить в каком количестве мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Шаг 1 – разработка математической модели

Введем обозначения: x1 – суточный объем производства сливочного мороженого, х2 - суточный объем производства шоколадного мороженого. Исходя из условия задачи целевая функция будет иметь вид

Для начала скажу, что я зарабатываю через вот этого брокера , проверен он временем! А вот хороший пример заработка , человек зарабатывает через интернет МНОГО МНОГО МНОГО и показывает все на примерах, переходи и читай! Добавь страницу в закладки. А теперь читаете информацию ниже и пишите свой отзыв

Видео: Поиск решения. Задача о выборе инвестиций

Чтобы познакомиться с мощным инструментом Excel Поиск решения, рассмотрим и решим с вами задачу.

Необходимо найти оптимальные объемы выпуска трех видов продукции для получения максимальной прибыли от их продажи.

При решении данной задачи должны быть учтены следующие ограничения:

общий объем производства – всего 300 изделий;
должно быть произведено не менее 50 изделий А;
должно быть произведено не менее 40 изделий В;
должно быть произведено не более 40 изделий С.

Внести в новый рабочий лист данные для вычисления прибыли от продажи трех видов продукции, причем в ячейки столбца D, и в ячейку B6 должны быть введены формулы.
Запустить задачу поиска решений. Для этого: выполнить команду в Excel 2003 Сервис | Поиск решений … (В Excel 2007 и 2010 необходимо зайти в раздел Данные | Поиск решения)

и в окне “Поиск решений” ввести данные:

Видео: Урок 1.Поиск решения, оптимизация, оптимальный план производства

Задание. Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, и С. Потребность aij на каждую единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bj соответствующего вида сырья и прибыль cj от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей.
1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x1 и x2 единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.
2. В условиях задачи 1 составить оптимальный план (x1,x2) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль Z. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс–методом)
3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль Z.

Решение находим с помощью калькулятора. Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x₁ + 2x₂ при следующих условиях-ограничений.
x₁ + 2x₂ 0 в столбце x2 означает, что использование x₂ - не выгодно. Значение 3 в столбце x₄ означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 3.

Тема: Задачи оптимизации (поиск решения) в MS Excel .

Цель: - изучение технологии поиска решения для задач оптимизации (минимизации, максимизации).

Вид работы: фронтальный

Время выполнения: 2 часа

Задания к практической работе

Задание 1. Минимизация фонда заработной платы фирмы.

Пусть известно, что для нормальной работы фирмы требуется 5…7 курьеров, 8…10 младших менеджеров, 10 менеджеров, 3 заведующих отделами, главный бухгалтер, программист, системный аналитик, генеральный директор фирмы.

Общий месячный фонд зарплаты должен быть минимален. Необходимо определить, какими должны быть оклады сотрудников фирмы, при условии, что оклад курьера не должен быть меньше 1400 р.

В качестве модели решения этой задачи возьмем линейную модель. Тогда условие задачи имеет вид N₁*A₁*x+N₂*(A₂*x+B₂)+. +N₈*(A₈*x+B₈) = Минимум, где N_i – количество работников данной специальности; x – зарплата курьера; A_i и B_i – коэффициенты заработной платы сотрудников фирмы.

Ход работы

3. В окне Установить целевую ячейку укажите ячейку F14, содержащую модель – суммарный фонд заработной платы.

Рисунок 1 - Задание условий для минимизации фонда заработной платы

Поскольку необходимо минимизировать общий месячный фонд зарплаты, активизируйте кнопку равный – Минимальному значению.

В окне Изменяя ячейки укажите адреса ячеек, в которых будет отражено количество курьеров и младших менеджеров, а также зарплата курьера - $E$6:$E$7:$D$3 (при задании ячеек E6, E7 и D3 держите нажатой клавишу [Ctrl]).

Используя кнопку Добавить в окнах Поиск решения и Добавление ограничений, опишите все ограничения задачи: количество курьеров изменяется от 5 до 7, младших менеджеров од 8 до 10, а зарплата курьера >1400 (рис.2).

Рисунок 2 - Добавление ограничений для минимизации фонда заработной платы

Ограничения наберите в виде

Активизируйте кнопку Параметры, введите параметры поиска, как показано на рис. 3.

Рисунок 3 - Задание параметров поиска решения по минимизации фонда заработной платы.

Окончательный вид окна Поиск решения приведен на рис. 1.

Запустите процесс поиска решения нажатием кнопки Выполнить. В открывшемся диалоговом окне Результаты поиска решения задайте опцию Сохранить найденное решение (рис. 4).

Рисунок 4 - Сохранение найденного при поиске решения

Решение задачи приведено на рис. 5. Оно тривиально: чем меньше сотрудников и чем меньше их оклад, тем меньше месячный фонд заработной платы.

Рисунок 5 - Минимизация фонда заработной платы

Задание 2. Составление плана выгодного производства.

Фирма производит несколько видов продукции из одного и того же сырья – А, В и С. Реализация продукции А дает прибыль 10 р., В – 15 р. и С – 20 р. на единицу изделия.

Продукцию можно производить в любых количествах, поскольку известно, что сбыт обеспечен, но ограничены запасы сырья. Необходимо определить, какой продукции и сколько надо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной.

Нормы расхода сырья на производство продукции каждого вида приведены в табл. 1.

Цель урока: научить учащихся решать задачи оптимального планирования средствами MS Excel.

познакомить учащихся с особым видом экономических задач – задач оптимального планирования, способом их решения в среде MS Excel;

закрепить навыки работы с формулами в среде электронных таблиц;

развивать умение анализировать и обобщать материал, строить математическую модель задачи;

воспитывать самостоятельность и ответственность в принятии решения.

Компьютеры учащихся – 10 шт.

Программное обеспечение: MS PowerPoint, MS Excel

Продолжительность урока: 40 мин.

Ход урока

Организующее начало урока.

Выявление имеющихся знаний и умений.

1. а) Что такое корреляционная зависимость?

б) Что такое корреляционный анализ?

в) Какие типы задач можно решать с помощью корреляционного анализа?

г) Какая величина является количественной мерой корреляции? Какие значения она может принимать?

С помощью какого средства табличного процессора можно вычислить коэффициент корреляции?

а) Для данных из таблицы, представленной на рис. 2.18, постройте две линейные регрессионные модели.

б) Для этих же данных вычислите коэффициент корреляции. Сравните с приведенными на рис. 2.18 результатами.

3. Изучение нового материала.

Решение задачи оптимального планирования в MS Excel.

Объектами планирования могут быть самые разные системы: деятельность отдельного предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец, государства.

Постановка задачи планирования выглядит следующим образом:

имеются некоторые плановые показатели: х, у и другие;

имеются некоторые ресурсы: R1, R2 и другие, за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты. Эти ресурсы практически всегда ограничены; имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений х, у и других плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.

Нужно определить значение плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным планом.

Рассмотрим пример, из которого вы получите представление об одном из подходов к решению задачи оптимального планирования.

Пусть совхоз занимается возделыванием только двух культур — зерновых и картофеля — и располагает следующими ресурсами: пашня — 5000 га, труд — 300 тыс. чел.-ч, возможный объем тракторных работ — 28 000 условных га.

Цель производства—получение максимального объема валовой продукции (в стоимостном выражении).

Найдите оптимальное сочетание посевных площадей культур.

Этап I. Для составления математической модели воспользуемся нормативами затрат и выхода продукции для данного совхоза.

Затраты на 1 га посева

Стоимость валовой продукции с 1 га, р.

тракторных работ, усл. га

Критерием оптимальности является максимум стоимости валовой продукции. Этот максимум должен достигаться в условиях использования ограниченных ресурсов пашни, труда и механизированных работ.

Задача является многовариантной, так как имеется множество допустимых вариантов сочетания посевных площадей двух культур, но не все они равнозначны с точки зрения требования оптимальности.

Допустим, что примем решение всю площадь засеять картофелем, который обеспечивает наибольший выход валовой продукции с 1 га. Но для возделывания картофеля на площади 5000 та потребуется 150·5000 = 750 000 Чел.-ч., а мы такими ресурсами не располагаем. Ясно, что такое решение не является приемлемым. Если же засеем всю площадь зерновыми, объем валовой продукции не окажется наибольшим, да и значительная часть трудовых ресурсов не будет использована.

Для поиска оптимального решения задачи обозначим через х₁ -га площадь, отводимую под зерновые, а через х₂ га — площадь, отводимую под картофель. Тогда стоимость зерновых составит 400 х₁ р., а стоимость картофеля — 1000 х₂ р. Отсюда стоимость всей валовой продукции составит ( 400 х₁ + 1000 х₂) р. Обозначим это выражение через у и назовем его целевой функцией:

Нам надо найти максимум этой целевой функции при соблюдении следующих условий:

а) общая площадь зерновых и картофеля не должна превышать 5000 га, т. е. х₁ + х₂≤5000;

б) общие затраты труда не должны превосходить 300 тыс. человеко-часов, т. е. 30 х₁ + 150 х₂≤ 300 000;

в) общий объем механизированных работ не должен превосходить 28 000 усл. га, т. е. 4 х₁ + 12 х₂≤28 000;

г) площади, отводимые под зерновые и картофель, могут принимать только неотрицательные значения: х₁≥0 и х₂ ≥0.

Таким образом, условия задачи выражаются следующей системой неравенств

Требуется найти такие значения х₁ и х₂, при которых целевая функция у = 400 х₁ + 1000 х₂ принимает наибольшее значение.

Этап II. Решим задачу графически.

Построим прямую х₁ + х₂=5000. Координаты всех точек треугольника LOK удовлетворяют неравенству х₁ + х₂≤5000.

Построим прямую 30 х₁ + 150 х₂=300 000. Координаты всех точек треугольника АОС удовлетворяют неравенству 30 х₁ + 150 х₂≤ 300 000.

Построим прямую 4 х₁ + 12 х₂=28 000. Координаты всех точек треугольника BOD удовлетворяют неравенству 4 х₁ + 12 х₂≤28 000.

Неравенствам х₁≥0 и х₂ ≥0 удовлетворяют все точки I четверти координатной плоскости х₁0х₂ .

Таким образом, наибольшее значение целевой функции достигается в вершине М, что соответствует варианту плана, по которому под зерновые отводится 4000 га, а под картофель — 1000 га.

Практическая работа 19.

Цели работы:

• получение представления о построении оптимального плана методом линейного программирования;

Вначале надо подготовить электронную таблицу к решению задачи оптимального планирования. В режиме отображения формул таблица показана на рис. 2.20. Ячейки В5 и С5 зарезервированы соответственно для значений х₁ га (площадь отведенная для посевов зерна ) и х₂ га (площадь отведенная под картофель). Ниже этих ячеек представлена система неравенств (а), определяющая ограничения на искомые решения. Неравенства разделены на левую часть (столбец В) и правую часть (столбец D). Знаки неравенств в столбце С имеют чисто оформительское значение. Целевая функция (Р) занесена в ячейку В15.

Далее надо выполнить следующий алгоритм:

Ввести координату ячейки с целевой функцией. В нашем случае это В15. (Заметим, что если перед этим установить курсор на ячейку В15, то ввод произойдет автоматически).

Этап III. Оптимальное сочетание посевных площадей культур: зерновые — 4000 га, картофель—1000 га. Существенно провести экономический анализ оптимального решения задачи.

При х₁=4000 и х₂=1000 х₁ + х₂=5000, а это значит, что пашня используется полностью.

4 х₁ + 12 х₂≤ 300 000= 4·4000+ 12·1000 = 28 000. Это означает, что ресурсы тракторного парка используются полностью.

30 х₁ + 150 х₂= 30·4000+150·1000 = 270 000. Мы выяснили, что трудовые ресурсы недоиспользованы на 30 000 чел.·ч. Полное использование трудовых ресурсов сдерживается ограниченностью пашни и мощностью тракторного парка. Как видим, для рассмотренного в задаче совхоза ресурсы имеют разную ценность: человеческих рук в избытке, а механизированный труд дефицитен.

5. Закрепление новой темы по вопросам:

В чем состоит задача оптимального планирования?

Что такое плановые показатели, ресурсы, стратегическая цель? Приведите примеры.

Попробуйте сформулировать содержание оптимального планирования своей учебной деятельности.

Что такое математическое программирование, линейное программирование?

6. Д/З § 38, читать конспект, составить математическую модель для решения 1 задачи

Список используемой литературы:

1. Семакин И.Г Учебник Информатика и ИКТ. Базовый уровень 10-11 класс.. М. Бином.

2. И.М. Шапиро. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. М. Просвещение 1990 г.

-75%

Читайте также: