Словесные высказывания заменяются на язык символов моделей формул какая школа
Обновлено: 05.07.2024
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний – решение логических задач.
Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы истинности.
Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные числа, а операции – сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел. Действия с направленными отрезками (векторами) изучает векторная алгебра.
Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0.
| А | В | АВ |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| А | В | А+В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| А | |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Пользуясь определенными выше операциями, можно из простых высказываний образовывать сложные. Например, всевозможные значения для высказывания можно записать в виде таблицы
| А | B | A | ||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Тождественные высказывания. Эквивалентные высказывания. Формулы Августа де Моргана.
Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний. Например, высказывание всегда истинно, а высказывание всегда ложно. Доказать это можно составив таблицу истинности этих высказываний.
Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными.
Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем:
Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например, высказывания и (то есть ). Это можно проверить составив таблицы истинности этих высказываний:
- Образовательная: расширить представление обучающихся об алгебре высказываний, познакомить с логическими операциями и таблицами истинности.
- Развивающая: развивать умение учащихся оперировать понятиями и символикой математической логики; продолжить формирование логического мышления; развивать познавательную активность; расширение кругозора обучающихся.
- Воспитательная: воспитывать умения высказывать свое мнение; прививать навыки самостоятельной работы.
ТИП УРОКА: комбинированный урок - объяснение нового материала с последующим закреплением полученных знаний.
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ УРОКА: 40 минут.
- Интерактивная доска SmartBoard.
- Приложение MS Windows - PowerPoint 2007.
- Подготовленная учителем версия электронного урока (презентация в среде PowerPoint 2007).
- Карточки-задания, подготовленные учителем.
I. Организационный момент - 1 мин.
II. Постановка целей урока - 2 мин.
III. Актуализация знаний - 9 мин.
IV. Презентация нового материала - 15 мин.
V. Закрепление изученного материала - 8 мин.
VI. Рефлексия "Незаконченные предложения" - 3 мин.
VII. Заключение. Домашнее задание - 2 мин.
I. Организационный момент.
Приветствие, отметка отсутствующих на уроке.
Продолжаем изучать раздел "Логический язык". Сегодня наше занятие посвящено теме "Логические высказывания". Работу начнем с проверки домашнего задания (зачитываются стихотворения обучающихся, в которых содержится много логических связок (операций) и делается вывод, что произвольную информацию можно однозначно интерпретировать на основе алгебры логики).
Т.о., цель нашего урока - изучить логические операции, и выяснить, что произвольную информацию можно однозначно интерпретировать на основе алгебры логики. Но сначала необходимо повторить материал, изученный на прошлом уроке.
III. Актуализация знаний (фронтальный опрос).
-
Наука, изучающая законы и формы мышления. (Логика)
- Константа, которая обозначается "1". (Истина)
- Константа, которая обозначается "0". (Ложь)
- Повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. (Высказывание)
- Виды высказываний (Простые и сложные)
- Какие из перечисленных предложений являются высказываниями?
- Здравствуй!
- Аксиома не требует доказательств.
- Идет дождь.
- Какая температура на улице?
- Рубль - денежная единица России.
- Без труда не вытянешь и рыбку из пруда.
- Число 2 не является делителем числа 9.
- Число х не больше 2.
- Информатика изучается в курсе средней школы.
- "Е" - шестая буква в алфавите.
- Квадрат является ромбом.
- Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Сумма углов треугольника равна 1900.
- 12+14 > 30.
- Пингвины обитают на Северном полюсе Земли.
- 23+12=5*7.
- Зимой дети катаются на коньках или на лыжах. (слайд 3)
- Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. (слайд 4)
- Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3. (слайд 5)
- Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь день гулял. (слайд 6)
- A = У меня дома есть компьютер. (слайд 9)
- A = Все юноши 11-х классов - отличники.
- Будет ли, является отрицанием высказывание: "Все юноши 11-х классов - не отличники". (слайд 10)
- Мне на уроке было интересно потому, что:
- Больше всего на уроке мне понравилось:
- Для меня новым было:
Итак, что же такое высказывание? (Повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.)
Что такое простое высказывание? (Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть не является высказыванием.)
Что такое составное высказывание? (Составное высказывание состоит из простых высказываний, соединенных логическими связками (операциями).)
Задание 2. Построить составные высказывания из простых высказываний: "А = Петя читает книгу", "В = Петя пьёт чай". (на экране - слайд 2)
IV. Презентация нового материала.
В предыдущих заданиях использовались различные логические связки: "и", "или", "не", "если : то :", "тогда и только тогда, когда:". В алгебре логике логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия. Рассмотрим 3 базовые логические операции - инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию, с помощью которых можно получать составные высказывания. (слайд 7)
Любая логическая операция определяется таблицей, которую называют таблицей истинности. Таблица истинности логического выражения - это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой - значение выражения для каждой комбинации.
Отрицание - логическая операция, которая каждому простому (элементарному) высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. (слайд 8)
Рассмотрим правило построения отрицания к простому высказыванию.
Правило: При построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот "неверно, что", либо отрицание строится к сказуемому, тогда к сказуемому добавляется частица "не", при этом слово "все" заменяется на "некоторые" и наоборот.
Высказывание "Все юноши 11-х классов - не отличники" не является отрицанием высказывания "Все юноши 11-х классов - отличники". Высказывания "Все юноши 11-х классов - отличники" ложно, а отрицанием к ложному высказыванию должно быть истинное высказывание. Но высказывание "Все юноши 11-х классов - не отличники" не является истинным, так как среди 11-классников есть как отличники, так и не отличники.
Графически отрицание можно изобразить в виде множества. (слайд 11)
Рассмотрим следующую логическую операцию - конъюнкцию. Высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой "и", называется конъюнкцией или логическим умножением (дополнительно используются связки - а, но, хотя).
Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. (слайд 12)
Графически конъюнкцию можно изобразить в виде множества. (слайд 13)
Рассмотрим следующую логическую операцию - дизъюнкцию. Высказывание, составленное из двух высказываний объединенных связкой "или", называется дизъюнкцией или логическим сложением.
Дизъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. (слайд 14)
Графически дизъюнкцию можно изобразить в виде множества. (слайд 15)
Итак, назовите три базовые операции, которые мы изучили. (слайд 16)
Давайте попробуем применить новые знания при выполнении проверочной работы.
V. Закрепление изученного материала (работа у доски).
Задание 5. Приведите в соответствие диаграмму и ее обозначение. (слайд 17)
Задание 6. Есть два простых высказывания: А = "Число 10 - четное", В = "Волк - травоядное животное". Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.
А&B
А v B
┐А
┐В
0
1
0
1
Задание 7. Приведите в соответствие определения или обозначения. Выпишите соответствующие номера.
| 1. Логика | 1. Логическое сложение |
| 2. Высказывание | 2. Наука о формах и способах мышления |
| 3. Алгебра логики | 3. Логическое отрицание |
| 4. Дизъюнкция | 4. ИСТИНА и ЛОЖЬ |
| 5. Логическая константа | 5. Наука об операциях над высказываниями |
| 6. Инверсия | 6. Повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается |
| 7. Конъюнкция | 7. & |
Ответ: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.
Задание 8. Даны два простых высказывания: А = "Рубль - валюта России", В = "Гривна - валюта США". Какие высказывания истины?
1) ┐А
2) ┐В
3) А&B
4) А v B
Ответы: 1) 0; 2) 1; 3) 0; 4) 1.
VII. Заключение. Домашнее задание.
Оценивается работа класса в целом и отдельных учащихся, отличившихся на уроке.
1) Выучить основные определения, знать обозначения.
2) Придумать простые высказывания. (Всего должно быть 5 наборов по два высказывания). Из них составить всевозможные составные высказывания, определить их истинность.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Тема: Высказывания и операции над ними
Образовательные
ознакомить с понятиями: алгебра логики, понятие, высказывание, умозаключение;
дать понятия таблиц истинности логических операций;
научиться формализовывать высказывания.
Развивающие
создать условия для развития мышления, внимания, памяти, коммуникативных навыков, умений работать с ЭОР и ЦОР, умений анализировать;
способствовать развитию познавательного интереса.
Воспитательные
воспитывать культуру общения в ходе групповой и фронтальной работы.
Организационный момент (5 минут)
Актуализация опорных знаний (15 минут).
Фронтальный опрос по вопросам:
Что изучает логика? Какие ученые внесли вклад в развитие логики?
Что изучает математическая логика?
Какие ученые внесли вклад в зарождение и развитие математической логики?
Какое значение принесла математическая логика в середине 20 века?
Где находит применение математическая логика?
Работа с презентацией: сопоставить этапы развития математической логики и фамилии ученых, работавших в это время.
Огастес де Морган – шотландский математик и логик. Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики пришёл независимо от Дж. Буля. С его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).
П.С. Порецкий, по специальности астроном, первым в России стал заниматься вопросами математической логики. Его труды стали значительным вкладом в развитие этой науки. Порецкий построил теорию качественных умозаключений (логика классов), получившую признание в мировой науке.
Работы Чарльза Пирса по логике занимают выдающееся место в философии 19 в. Наиболее важные результаты были получены в логике, где он высказал ряд новых идей, касающихся исчисления высказываний, теории следования, методов разрешения в логике предложений, логики отношений, логических парадоксов, логической семантики, многозначной логики и др. Пирс внес значительный вклад в теорию вероятностей.
Яблонский С.В. работал над проблемами, связанными с синтезом логических устройств. Среди результатов важное место занимают его работы о тестировании электрических схем.
Мотивация знаний (5 минут)
Вы сидите в вертолете, перед вами конь, сзади верблюд. Где Вы находитесь? ( в самолете)
Вы зашли в темную комнату. В ней есть газовая и бензиновая лампа. Что вы зажжете в первую очередь? (спичку)
Обычно месяц заканчивается 30 или 31 числом. В каком месяце есть 28 число? (в любом)
Когда человек бывает в комнате без головы? (когда он высунул голову в окно)
Все эти задачи являются логическими, то есть от нашего умения мыслить мы может прийти к правильному решению.
А как человек мыслит? Какие бывают формы мышления? Что в нашей речи является высказыванием, а что - нет?
Изучение нового материала (40 минут)
Обратите внимание - слово ЛОГИКА записано в сочетание со словом АЛГЕБРА.
Что же изучает алгебра?
Алгебра изучает числа, числовые величины, числовые выражения, а также правила выполнения действий над ними.
Что изучает логика?
Логика – (от древнегреч. logoz - слово, мысль, понятие, рассуждение) - наука о законах и формах мышления.
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний может быть получено новое суждение
И тогда, давайте попробуем понять, чем же занимается алгебра логики!? Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями.
Алгебра высказываний (алгебра логики) – раздел математической логики, изучающий логические высказывания и способы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.
Основы данной алгебры были положены английским математиком Джорджем Булем в 19 веке, также называли булевой алгеброй.
Высказывание – это форма мышления, связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
Примеры (определите, какие предложения являются высказываниями и их истинность):
Дважды два равно четырем (истинное высказывание).
2 (истинное высказывание).
Река Волга впадает в Японское море (ложное высказывание).
Площадь отрезка меньше длины куба (связное повествовательное предложение, о котором нельзя сказать истина оно или ложь).
Является ли х=3 корнем уравнения х 2 -5х+6=0? (не повествовательное предложение).
Меньше один в является два при (несвязное предложение).
Слава российским студентам! (не повествовательное предложение).
3 >5 (ложное высказывание).
Вещественное число х меньше 2 (Не высказывание, несмотря на свою повествовательность, связность и осмысленность. В нем содержится переменная и при разных значениях переменной возможно получение истинного или ложного высказывания. Объекты такого типа являются обобщением понятия высказывания и их мы будем изучать позже).
Высказывания могут быть простыми и составными.
Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла. Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.
В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами.
В дальнейшем нас будет интересовать не то, о чем идет речь в высказывании (его содержательная часть), а лишь какое значение истинности (истина или ложь) оно имеет.
Если высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0.
Тогда: A = 0, B = 1
Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Логические операции над высказываниями
В русском языке (как и в любом другом) из простых связных повествовательных предложений с помощью некоторых стандартных связок (конструкций) можно образовать новые (составные) повествовательные предложения. В алгебре высказываний этим конструкциям соответствуют логические операции.
Логическое отрицание (инверсия)
Отрицание высказывания А – высказывание, которое истинно, когда высказывание А ложно и наоборот.
Определяется следующей таблицей истинности:
В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность.
Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
Число 5 не составное.
Постройте отрицания следующих высказываний :
Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми числами.
Логическое умножение (конъюнкция)
Обозначения: А·В; А^В; А&В.
Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А, В. Определяется следующей таблицей:
В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание. Определите их истинность.
Число 376 четное и трехзначное.
Солнце движется вокруг Земли, и Луна – спутник Венеры.
На уроке математики студенты отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.
Логическое сложение (дизъюнкция)
Обозначение: АВ; A + B .
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, которое ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А, В. Определяется следующей таблицей:
Сформулируйте на обычном языке высказывание K = M Ú N , и определить его истинность.
Логическое следование (импликация)
Обозначения: А→В, АВ
Импликацией высказываний А, В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А – истина, а В – ложь.
Высказывания, образующие импликацию имеют специальные названия: А – посылка (гипотеза, антецедент), В – заключение (вывод, консеквент).
Определяется следующей таблицей:
Пример. 1. Теорема из арифметики: Если натуральное число делится на 4, то оно делится на 2.
2. Священник Православной церкви носит бороду
Х – священник; Y – борода
0 0 некто не священник и он без бороды – это истина
0 1 некто не священник, но он с бородой – истина, обычный бородатый человек
1 0 священник, но без бороды, это неверно
1 1 – священник с бородой
Логическое равенство (эквиваленция)
Обозначение эквивалентности: А=В; АВ; А~В.
Эквиваленцией высказываний А, В называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда образующие ее высказывания А, В имеют одинаковые значения истинности. Определяется следующей таблицей:
Пример: Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90 0 .
С помощью логических операций над высказываниями из простых высказываний можно строить различные составные высказывания.
Всякое составное высказывание, которое может быть получено из простых высказываний с помощью логических операций, называется формулой логики (логическим выражением).
В формулу логики входят логические переменные, обозначающие высказывания и знаки логических операций, обозначающие логические функции.
Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В, С и т.д.
Для записи составного высказывания на формальном языке нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.
Формализацией высказываний называют операцию замены высказывания естественного языка формулой логики.
Решение задач (20 минут)
Записать составное высказывание в виде формулы логики: "Если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Обозначим буквой A высказывание: "купить яблоки", буквой B - высказывание: "купить абрикосы", буквой C - высказывание: "испечь пирог". Тогда высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог" формализуется в виде формулы: (AB)C.
Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывание с помощью символов алгебры логики: 45 кратно 3 и 41 не кратно 3.
Составьте следующие сложные высказывания. Какие из них истинны?
Г) ;
Д) А В.
3. Найдите значения выражений:
4. Даны простые высказывания:
Определите истинность составных высказываний:
А) (А&В)&(С D ) = (0&1)&(0 1) = 0
Б) (А& В) (В& С) = (0&1) → (1&0) = 1
В) (АВ) (С& D ) = (01) ↔ (0&1) = 0
Г) = 1↔0 = 0
Домашнее задание
У меня хорошее настроение, если на улице отличная погода (В -> А)
Мы поедем на природу, будем отдыхать и веселиться: А -> (В и С)
"Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги".
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний – решение логических задач.
Объекты алгебры высказываний. Операции над высказываниями. Таблицы истинности.
Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные числа, а операции – сложение и умножение, то это алгебра натуральных чисел. Действия с направленными отрезками (векторами) изучает векторная алгебра.
Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0.
Пользуясь определенными выше операциями, можно из простых высказываний образовывать сложные. Например, всевозможные значения для высказывания можно записать в виде таблицы
Тождественные высказывания. Эквивалентные высказывания. Формулы Августа де Моргана.
Среди высказываний особое место занимают те, в таблице истинности которых либо одни единицы, либо только нули. Это означает, что высказывание либо всегда истинно, либо ложно, независимо от истинности входящих в него высказываний. Например, высказывание всегда истинно, а высказывание всегда ложно. Доказать это можно составив таблицу истинности этих высказываний.
Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными.
Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем:
Среди высказываний встречаются такие, таблицы истинности которых совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например, высказывания и (то есть ). Это можно проверить составив таблицы истинности этих высказываний:
Логика высказываний: теория и применение. Примеры решений задач
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Логика высказываний: определение и применение
Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.
Логические операции над высказываниями
Таблица истинности для конъюнкции:
| A | B | A ∧ B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
Таблица истинности для дизъюнкции:
| A | B | A ∨ B |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
Таблица истинности для следования (импликации):
| A | B | A → B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
4. Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается
A (можно встретить также употребление не символа
, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A).
A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.
Таблица истинности для отрицания:
Таблица истинности для эквивалентности:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | И | Л |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | И | И | И |
В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).
Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.
Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).
Для логических операций верны законы алгебры логики, которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:
Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:
Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:
2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;
Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:
Пример 5. Определите логическое значение выражения
Формулы логики высказываний
Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний.
В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.
Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы
Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций
Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:
1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;
3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).
Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).
| p | q | r | f | ||||
| И | И | И | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И | И | Л | И |
| И | Л | И | И | Л | Л | Л | Л |
| И | Л | Л | И | Л | Л | И | И |
| Л | И | И | Л | И | Л | И | И |
| Л | И | Л | Л | И | Л | И | Л |
| Л | Л | И | И | И | И | И | И |
| Л | Л | Л | И | И | И | Л | И |
Заметим, что никакой атом не имеет вида
Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что
1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;
В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак
(при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.
Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔
Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:
Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C) и
(A → B) дальнейшее исключение скобок невозможно.
Тавтологии и противоречия
Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.
Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.
Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.
Решение. Составляем таблицу истинности:
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| Л | И | Л | И | И |
| Л | Л | Л | Л | И |
Пример 10. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.
Решение. Составляем таблицу истинности:
| И | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | Л | Л |
| И | Л | И | Л | И | И |
| И | Л | Л | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л | И | И |
| Л | И | Л | Л | Л | И |
| Л | Л | И | Л | И | И |
| Л | Л | Л | Л | Л | И |
Как видно ниже, таблица истинности для такой замещающей логической операции идентична таблице истинности для импликации.
Пример 11. Перепишите формулу логики высказываний без использования импликации и эквиваленции, пользуясь тождеством и законами де Моргана:
Заменяем импликацию между двумя парами скобок, отрицая самый левый знак отрицания:
Убираем эквиваленцию между p и q и между q и не r :
Используя закон де Моргана, немного упрощаем и окончательно получаем:
Посылки и выводы. Валидный и не валидный аргумент
Пример валидного аргумента:
То есть, из посылок логически следует вывод.
Пример не валидного аргумента:
То есть, из посылок логически не следует вывод.
Пример 12. Проверьте валидность аргумента, если
Решение. Составляем таблицу истинности:
| И | И | Л | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | Л | И |
| Л | И | И | И | И | Л |
| Л | Л | И | И | И | И |
Применение логики высказываний в информатике и программировании
Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.
Читайте также: