Приведите доказательства того что цифра не более чем условный знак кратко
Обновлено: 06.07.2024
Цифры (позднелат. cifra, от араб. сифр - нуль, буквально — пустой; арабы этим словом называли знак отсутствия разряда в числе). Наиболее ранней и вместе с тем примитивной является словесная запись чисел. С развитием хозяйственной жизни народов возникают различные принципы записи цифровых знаков. Прообразы современного написания цифр (включая нуль) появились в Индии не позднее 5 в. н.э. Удобство записи чисел при помощи этих знаков в десятичной позиционной системе счисления обусловило их распространение из Индии в другие страны. В Европу индийские цифры были занесены в 10—13 вв. арабами и получили всеобщее распространение со 2-й половины 15 в. Начертание индийских цифр претерпело со временем ряд крупных изменений.
Как только люди стали общаться, т.е. передавать информацию, они стали считать. Первыми инструментами счета были пальцы рук и простые предметы. Затем расчеты стали фиксировать, что привело к появлению систем счисления.
Система счисления- это свод приемов обозначения и записи чисел при помощи специальных символов - цифр.
Система счисления — это система отображения любого числа с помощью ограниченного количества условных знаков, называемых цифрами.
Сначала люди придумали непозиционные или кодовые системы счисления (IV тысячелетие до н.э.), в которых расположение цифр в числе не имеет значения и для обозначения каждого числа существует свой символ.
Но в непозиционных системах трудно записывать большие числа и выполнять арифметические действия. Более совершенной системой (переходной от непозиционных систем к позиционным) стала - римская (500 лет до н.э.), которая применяется и в наше время. Алфавитом (цифрами) этой системы служат символы:
I (1)
V (5)
X (10)
L (50)
C (100)
D (500)
M (1000)
Здесь уже положение цифры в числе меняет ее значение. Например, в числеIV I отнимается от V, а в числе VI - прибавляется к V. Число 1995 в этой системе запишется так: MCMXCV.
Но и этой системе присущи все недостатки непозиционных систем. Чтобы от них избавиться понадобились позиционные системы.
Если место, занимаемое символом в записи числа, придает этому символу определенное значение, то такая система счисления называется позиционной.
Количество цифр системы (символов алфавита) называется ее основанием, место цифры в числе - разрядом, а количество цифр в числе - его разрядностью.
Индо-арабская десятичная система (VI в.) наиболее естественна для человека, т.к. считать мы учимся на пальцах, а их на двух руках как раз 10. В этой системе 10 цифр: от 0 до 9. Каждая цифра в числе при перемещении справа налево в следующий разряд увеличивает свое значение в 10 раз.
Любое число может быть представлено в виде суммы, где каждое слагаемое представляет собой произведение коэффициента (цифры числа) на основание системы (10) в степени, равной разряду этой цифры.
Итак, основание системы счисления - это количество цифр (символов алфавита) в ней. Какое число можно принять за основание системы? Любое натуральное, например, 1. В этом случае мы получаем унарную систему счисления, древнейшую в истории культуры счета. В ней для записи чисел применяется только один символ (камешек, палочка, зарубка). Число в ней - это количество таких символов.
Какая разница между числом и количеством? Одно и то же количество может быть выражено разными числами. Числа записываются с помощью цифр. Не следует путать понятия: цифра, число, количество. Использовать текстовую информацию позволяет алфавит, а количественную — системы счисления.
Давайте докажем, что цифра — это условный знак для записи чисел. Возьмем число 8 136 547. Теперь представим себе, что цифра 3 обозначается как Δ , цифра 4 как , цифра 5 как ○, остальные же цифры остались прежними. При таких обозначениях цифр наше число будет выглядеть так:
Как вы думаете, изменилось ли количество, которое определяется этим числом? Конечно, нет. Изменился вид самого числа, да и то потому, что изменились условные знаки, называемые цифрами.
Трудно определить, сколько всего существует систем счисления. Скорее всего, бесконечное множество. В позиционных системах счислениявес цифры зависит от места (позиции), которую она занимает в числе.
Мы помним, что в записи числа используются позиции (разряды) единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, т. е. число можно представить в следующем виде:
35 876 = 6*1 + 7*10 + 8*100 + 5*1000 + 3*10 000 .
Цифра 5, входящая в число 35 876, обозначает пять тысяч, потому что она находится именно в той позиции, в которой указывается количество тысяч, или, иными словами, именно нахождение в данной позиции определяет ее вес. В числе 68952 тоже есть цифра 5, но ее вес, определяемый позицией в этом числе, составляет пять десятков.
В непозиционных системах счислениятакой закономерности нет, т.е. вес цифры не зависит от ее позиции в числе. Классический пример непозиционной системы счисления — римская система, которая используется до сих пор, правда в основном для нумерации.
Особый интерес из позиционных систем для нас представляют такие, веса которых являются членами геометрической прогрессии. Рассмотрим несколько рядов чисел:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024, 2 048 .
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6561, 19683, 59045 .
1, 4, 16, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262 144 .
1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15 625, 78 125, 390 625 .
Что общего в этих рядах чисел? Каждое следующее число в них получается из предыдущего путем умножения его на конкретное число. В первом ряду это 2, во втором 3, в третьем 4, в четвертом 5 и т.д.
Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией, сами числа ряда — это члены геометрической прогрессии, а то число, умножая на которое предыдущий (или n-й) член прогрессии, мы получаем последующий, или (п + 1)-й, является знаменателем геометрической прогрессии, обозначим его р.
Давайте теперь представим десятичное число 64572 187 в весовом виде:
64 572 187 = 7*1 + 8*10 + 1*100 + 2*1000 + 7*10000 + 5*100000 + 4* 1000000 + 6*10000000
и в виде таблицы по весам позиций и цифрам в этих позициях:
Вес позиции. 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 100000000
Цифра. 7 8 12 7 5 4 6
Видно, что веса привычной нам десятичной системы счисления являются членами геометрической прогрессии, знаменателем такой прогрессии выступает число 10, т.е. р = 10, оно называется основанием системы счисления, а сама система называется р-ричной системой счисления.
Запишем теперь число из таблицы с использованием степеней числа 10 — основания десятичной системы счисления:
64572 187 = 7*10 0 + 8*10 1 + 1*10 2 + 2*10 3 + 7*10 4 + 5*10 5 + 4*10 6 + 6*10 7 . (1)
Теперь попробуем записать представления числа по степеням основания р-ричной системы счисления в общем виде:
(2)
где ai — цифра, находящаяся в позиции, имеющей вес i = п, п - 1, п - 2, . 2, 1, 0 соответственно; п, п - 1, п - 2, . 2, 1, 0 — веса позиций, или степень, в которую возводится р в данной позиции; р — основание системы счисления.
Но ведь число может иметь и дробную часть, а веса позиций в дробной части — числа отрицательные. Рассмотрим пример десятичного дробного числа 0,874562. Веса позиций, если идти от десятичной запятой вправо, таковы:
Если использовать десятичные дроби, то веса будут выглядеть следующим образом:
0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001,
или то же самое с использованием отрицательных степеней числа 10:
Значит, аналогично записи (1) предложенное дробное число можно представить так:
Следовательно, выражение (2) для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть, примет следующий вид:
(3)
Мы говорили о том, что любая система счисления использует ограниченное число условных знаков — цифр. Оказывается, что количество этих знаков равно основанию системы р. И действительно, в десятичной системе их десять, это 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А сколько их должно быть, например, в шестеричной системе счисления, т. е. когда р = 6. Цифр будет шесть, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. А в восьмеричной? Восемь, это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Сформулируем правило: количество цифр в р-ричной системе счисления равно р, причем это цифры от 0 до (р - 1).
Как быть, если основание системы больше 10, например 12 или 16?
Особо мы будем еще рассматривать двоичную систему счисления, поскольку она более удобна для использования в компьютерах. Основным элементом, который хранит 1 бит информации в компьютере, является триггер. Для хранения нескольких бит информации используются столько элементов, сколько бит надо хранить. Как правило, эти элементы и есть триггеры, в этом случае они образуют интегральную схему, которая называется регистром.
Если попытаться дать более строгое определение, то регистр — это совокупность элементов, которые могут принимать, хранить и выдавать информацию в компьютере. Регистры играют очень большую роль в работе микропроцессора компьютера и других его частей.
Задание: ответить на вопросы учебника Цв. Стр.54, вопр. 1-5.
Как только люди стали общаться, т.е. передавать информацию, они стали считать. Первыми инструментами счета были пальцы рук и простые предметы. Затем расчеты стали фиксировать, что привело к появлению систем счисления.
Система счисления- это свод приемов обозначения и записи чисел при помощи специальных символов - цифр.
Система счисления — это система отображения любого числа с помощью ограниченного количества условных знаков, называемых цифрами.
Сначала люди придумали непозиционные или кодовые системы счисления (IV тысячелетие до н.э.), в которых расположение цифр в числе не имеет значения и для обозначения каждого числа существует свой символ.
Но в непозиционных системах трудно записывать большие числа и выполнять арифметические действия. Более совершенной системой (переходной от непозиционных систем к позиционным) стала - римская (500 лет до н.э.), которая применяется и в наше время. Алфавитом (цифрами) этой системы служат символы:
I (1)
V (5)
X (10)
L (50)
C (100)
D (500)
M (1000)
Здесь уже положение цифры в числе меняет ее значение. Например, в числеIV I отнимается от V, а в числе VI - прибавляется к V. Число 1995 в этой системе запишется так: MCMXCV.
Но и этой системе присущи все недостатки непозиционных систем. Чтобы от них избавиться понадобились позиционные системы.
Если место, занимаемое символом в записи числа, придает этому символу определенное значение, то такая система счисления называется позиционной.
Количество цифр системы (символов алфавита) называется ее основанием, место цифры в числе - разрядом, а количество цифр в числе - его разрядностью.
Индо-арабская десятичная система (VI в.) наиболее естественна для человека, т.к. считать мы учимся на пальцах, а их на двух руках как раз 10. В этой системе 10 цифр: от 0 до 9. Каждая цифра в числе при перемещении справа налево в следующий разряд увеличивает свое значение в 10 раз.
Любое число может быть представлено в виде суммы, где каждое слагаемое представляет собой произведение коэффициента (цифры числа) на основание системы (10) в степени, равной разряду этой цифры.
Итак, основание системы счисления - это количество цифр (символов алфавита) в ней. Какое число можно принять за основание системы? Любое натуральное, например, 1. В этом случае мы получаем унарную систему счисления, древнейшую в истории культуры счета. В ней для записи чисел применяется только один символ (камешек, палочка, зарубка). Число в ней - это количество таких символов.
Какая разница между числом и количеством? Одно и то же количество может быть выражено разными числами. Числа записываются с помощью цифр. Не следует путать понятия: цифра, число, количество. Использовать текстовую информацию позволяет алфавит, а количественную — системы счисления.
Давайте докажем, что цифра — это условный знак для записи чисел. Возьмем число 8 136 547. Теперь представим себе, что цифра 3 обозначается как Δ , цифра 4 как , цифра 5 как ○, остальные же цифры остались прежними. При таких обозначениях цифр наше число будет выглядеть так:
Как вы думаете, изменилось ли количество, которое определяется этим числом? Конечно, нет. Изменился вид самого числа, да и то потому, что изменились условные знаки, называемые цифрами.
Трудно определить, сколько всего существует систем счисления. Скорее всего, бесконечное множество. В позиционных системах счислениявес цифры зависит от места (позиции), которую она занимает в числе.
Мы помним, что в записи числа используются позиции (разряды) единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, т. е. число можно представить в следующем виде:
35 876 = 6*1 + 7*10 + 8*100 + 5*1000 + 3*10 000 .
Цифра 5, входящая в число 35 876, обозначает пять тысяч, потому что она находится именно в той позиции, в которой указывается количество тысяч, или, иными словами, именно нахождение в данной позиции определяет ее вес. В числе 68952 тоже есть цифра 5, но ее вес, определяемый позицией в этом числе, составляет пять десятков.
В непозиционных системах счислениятакой закономерности нет, т.е. вес цифры не зависит от ее позиции в числе. Классический пример непозиционной системы счисления — римская система, которая используется до сих пор, правда в основном для нумерации.
Особый интерес из позиционных систем для нас представляют такие, веса которых являются членами геометрической прогрессии. Рассмотрим несколько рядов чисел:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024, 2 048 .
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6561, 19683, 59045 .
1, 4, 16, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262 144 .
1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15 625, 78 125, 390 625 .
Что общего в этих рядах чисел? Каждое следующее число в них получается из предыдущего путем умножения его на конкретное число. В первом ряду это 2, во втором 3, в третьем 4, в четвертом 5 и т.д.
Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией, сами числа ряда — это члены геометрической прогрессии, а то число, умножая на которое предыдущий (или n-й) член прогрессии, мы получаем последующий, или (п + 1)-й, является знаменателем геометрической прогрессии, обозначим его р.
Давайте теперь представим десятичное число 64572 187 в весовом виде:
64 572 187 = 7*1 + 8*10 + 1*100 + 2*1000 + 7*10000 + 5*100000 + 4* 1000000 + 6*10000000
и в виде таблицы по весам позиций и цифрам в этих позициях:
Вес позиции. 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 100000000
Цифра. 7 8 12 7 5 4 6
Видно, что веса привычной нам десятичной системы счисления являются членами геометрической прогрессии, знаменателем такой прогрессии выступает число 10, т.е. р = 10, оно называется основанием системы счисления, а сама система называется р-ричной системой счисления.
Запишем теперь число из таблицы с использованием степеней числа 10 — основания десятичной системы счисления:
64572 187 = 7*10 0 + 8*10 1 + 1*10 2 + 2*10 3 + 7*10 4 + 5*10 5 + 4*10 6 + 6*10 7 . (1)
Теперь попробуем записать представления числа по степеням основания р-ричной системы счисления в общем виде:
(2)
где ai — цифра, находящаяся в позиции, имеющей вес i = п, п - 1, п - 2, . 2, 1, 0 соответственно; п, п - 1, п - 2, . 2, 1, 0 — веса позиций, или степень, в которую возводится р в данной позиции; р — основание системы счисления.
Но ведь число может иметь и дробную часть, а веса позиций в дробной части — числа отрицательные. Рассмотрим пример десятичного дробного числа 0,874562. Веса позиций, если идти от десятичной запятой вправо, таковы:
Если использовать десятичные дроби, то веса будут выглядеть следующим образом:
0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001,
или то же самое с использованием отрицательных степеней числа 10:
Значит, аналогично записи (1) предложенное дробное число можно представить так:
Следовательно, выражение (2) для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть, примет следующий вид:
(3)
Мы говорили о том, что любая система счисления использует ограниченное число условных знаков — цифр. Оказывается, что количество этих знаков равно основанию системы р. И действительно, в десятичной системе их десять, это 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А сколько их должно быть, например, в шестеричной системе счисления, т. е. когда р = 6. Цифр будет шесть, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. А в восьмеричной? Восемь, это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Сформулируем правило: количество цифр в р-ричной системе счисления равно р, причем это цифры от 0 до (р - 1).
Как быть, если основание системы больше 10, например 12 или 16?
Особо мы будем еще рассматривать двоичную систему счисления, поскольку она более удобна для использования в компьютерах. Основным элементом, который хранит 1 бит информации в компьютере, является триггер. Для хранения нескольких бит информации используются столько элементов, сколько бит надо хранить. Как правило, эти элементы и есть триггеры, в этом случае они образуют интегральную схему, которая называется регистром.
Если попытаться дать более строгое определение, то регистр — это совокупность элементов, которые могут принимать, хранить и выдавать информацию в компьютере. Регистры играют очень большую роль в работе микропроцессора компьютера и других его частей.
Учебник по Информатике 8 класс Семакин
of your page -->
Задание 1. Что такое система счисления?
Системой счисления называется способ записи чисел и соответствующие ему правила действия над числами.
Задание 2. В чем основное различие позиционных и непозиционных систем счисления?
Основное различие в том, что в непозиционных системах счисления не зависит положение (позиция) знака в записи числа от количественного значения. А в позиционной системе счисления, наоборот, зависит.
Задание 3. Чему равно основание системы счисления?
Задание 4. Почему арабская система записи чисел называется десятичной позиционной?
Задание 5. Каково наименьшее основание позиционной системы?
Задание 6. Чему в десятичной системе счисления равны следующие числа, записанные римскими цифрами: XI; IX; LX; СLX; MDCXLVIII?
XI = 10 + 1 = 11
IX = 10 – 1 = 9
LX = 50 + 10 = 60
CLX = 100 + 50 + 10 = 160
MDCXLVIII = 1000 + 500 + 100 + (–10 + 50) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1648
Задание 7. Запишите римскими цифрами числа, равные следующим десятичным: 13; 99; 666; 444; 1692.
13 = 10 + 1 + 1 + 1 = XIII
99 = 100 - 1 = IC
666 = 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = DCLXVI
444 = (-100 + 500) + (-10 + 50) + (-1 + 5) = CDXLIV
1692 = 1000 + 500 + 100 + (-10 + 100) + 1 + 1 = MDCXCII
Задание 8. Запишите последовательность двадцати чисел натурального ряда, начиная от единицы, для позиционных систем с основаниями 2, 3, 5, 8. Оформите результаты в виде таблицы.
Задание 9. Постройте таблицы умножения для однозначных чисел в двоичной и троичной системах счисления.
Двоичная система счисления:
Троичная система счисления:
различие между цифрами и числами: число — это абстрагированная от конкретики запись количества (например, число 25 — это двадцать пять предметов чего угодно и не только предметов, а, скажем, лет или килограммов) , а цифра — это специальный знак для обозначения количества единиц. Следует обратить внимание, что цифры — это тоже записи чисел, например 8 — это не только цифра, но и число.
Справка
Слово "цифра" происходит от позднелатинского слова "cifra", первые цифры появились у египтян и вавилонян, причем интересно, что цифры, как специальные знаки, образовались позже, чем буквы. Так, многие народы (греки, финикияне, евреи, сирийцы) для цифр использовали буквы алфавита, в России аналогичная система применялась вплоть до XVI века. Современные так называемые "арабские цифры" имеют неясное происхождение, например, утверждают, что они принесены в Европу арабами в XIII веке возможно из Индии. Повсеместно их стали использовать с XV века.
Справка
Число — это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики; оно появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем, абстрагировавшись, стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4. и т. д. Для наших целей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В частности, задачи измерения площадей привели к понятию рационального (дробного) числа, затем появились отрицательные числа, необходимость в вычислении отношения диагонали квадрата к его стороне привела к открытию иррациональных чисел, рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел и т. д. И лишь в XIX веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.
Со школьной скамьи известно, что числовая ось бесконечна, поскольку к каждому числу можно прибавить еще единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом понятно, что придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально.
Невозможно каждому числу на бесконечной числовой оси поставить в соответствие особый знак — цифру.
Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольких систем счисления.
Счисление (система счисления) — это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу.
"При этом понятно, что придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально. "
pod "специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) " vi imeli v vidu termin? po proshe govoria chislo est a kak nazvat ego(termin) nevazmojno - ischerpani vse kombinacii at 0 do 9.
Несколько дней пользователи Интернета гадали, что значат буквы V и Z на российской военной технике, которая участвует в спецоперации на Украине. Версии были разные - от правдивых до фантастических. Наконец Минoбороны РФ сделало официальное заявление по поводу загадочных буквенных символов и их значение оказалось совсем другим.
ФОТО: TWITTER и instagram МИНОБОРОНЫ РФ /Коллаж "МК в Новосибирске"
За символом V зашифрована фраз "Сила в правде". Буква Z обозначает слова "За Победу" и "Задача будет выполнена". Фото с такими трактовками Министерствo обороны РФ разместило в своем Instagram-аккаунте.
Так что конспирологическая версия, объясняющая, что буквой Z на танках и другой технике российские военные пугают американцев опровергнута. Предполагалось, что, дескать, американцы отлично знают знак Зорро, мексиканского народного героя, боровшего против тирании, коррупции и американской оккупации родной земли и буква Z должна была внушить им соответствующие чувства.
Одной из распространённых трактовок в военных кругах в шутливой форме этого символа была также расшифровка "Заколебал Зеленский". Спецоперацию на Украине даже называли "Операция Z".
Также существовала и весьма прозаичная версия, что Z и V - это обозначения российской военной группировки - "Запад" и "Восток".
В пользу данной версии говорит тот факт, что часть российской военной техники на Украине сейчас отмечена и буквой V - Vostok. Однако и эта версия опровергнута.
Минoбороны объяснило значение обоих символов и ни одно из них не совпало с тем, что озвучивали пользователи Интернета.
Читайте также: